周會(huì)娟 蘭曼

摘?要：本文以專業(yè)背景知識(shí)為基礎(chǔ)，結(jié)合專業(yè)前沿，介紹了高等數(shù)學(xué)課程中關(guān)于空間曲線的參數(shù)方程和用微元法建立微分方程的應(yīng)用案例及其解決過(guò)程，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：空間曲線參數(shù)方程;微元法;微分方程;案例教學(xué)

洛陽(yáng)理工學(xué)院在2013年被確立為河南省首批五所應(yīng)用型本科轉(zhuǎn)型發(fā)展試點(diǎn)院校之一，2016年被確定為河南省示范性應(yīng)用技術(shù)本科院校。應(yīng)用型本科院校人才培養(yǎng)注重的是將基礎(chǔ)理論知識(shí)有效應(yīng)用到實(shí)踐當(dāng)中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生適應(yīng)社會(huì)的能力，重點(diǎn)培養(yǎng)他們的基礎(chǔ)理論、拓展知識(shí)領(lǐng)域、提升專業(yè)技能與素養(yǎng)，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)[1]。因此這樣的培養(yǎng)目標(biāo)對(duì)高等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)提出了新的要求，作為教師不能再把思維禁錮于講授系統(tǒng)而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母叩葦?shù)學(xué)體系，更多的是要關(guān)注到數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，在學(xué)生所學(xué)專業(yè)中的應(yīng)用，以此發(fā)揮出高等數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)而又重要的課程對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力培養(yǎng)中的作用。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，在引入數(shù)學(xué)概念、定理的實(shí)際背景時(shí)仍采用古典幾何和物理學(xué)的相關(guān)知識(shí)作為應(yīng)用實(shí)例，因此學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，僅僅根據(jù)教材上所舉的理想化的例子很難體會(huì)到高等數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中和自己專業(yè)中的應(yīng)用，這樣的教學(xué)也有悖于應(yīng)用型人才的培養(yǎng)需求。

本文以高等數(shù)學(xué)中空間曲線參數(shù)方程的建立和一階微分方程的建立為例，結(jié)合機(jī)械生產(chǎn)中怎樣測(cè)量紡織繞線機(jī)的絲線繞線長(zhǎng)度和材料科學(xué)中新型功能材料的設(shè)計(jì)這兩個(gè)問(wèn)題，引入專業(yè)案例，將抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)與具有專業(yè)背景和科學(xué)前沿的實(shí)例緊密聯(lián)系在一起，形成理論與實(shí)踐相結(jié)合，教學(xué)與專業(yè)相結(jié)合的教學(xué)內(nèi)容，使得高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容更加貼近專業(yè)實(shí)踐需要[2]，幫助學(xué)生更好地掌握專業(yè)知識(shí)，成為應(yīng)用型人才。

一、針對(duì)空間曲線參數(shù)方程的應(yīng)用案例

（一）案例的背景分析

紡織業(yè)目前亟待解決的問(wèn)題：怎樣測(cè)量紡織繞線機(jī)的纏繞絲線長(zhǎng)度？目前國(guó)內(nèi)紡織行業(yè)主要采取的方法是對(duì)絲線密度長(zhǎng)度的測(cè)量。但是，由于絲線本身線徑很細(xì)，質(zhì)量很輕，而繞線機(jī)成品后絲線的長(zhǎng)度很長(zhǎng)，這就給準(zhǔn)確測(cè)量帶來(lái)了很大困難[3]。除了這些問(wèn)題，還要考慮到絲線越纏越厚、是否容易斷線，以及退線方式等問(wèn)題。所以，一種準(zhǔn)確可靠的測(cè)量手段亟待出現(xiàn)。為了解決這些實(shí)際問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上，最重要的就是建立合適的數(shù)學(xué)模型。

繞線機(jī)的工作過(guò)程：（1）絲線以螺旋方式纏繞到絲線輥上，絲線輥?zhàn)鲂D(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，撥叉做軸向往復(fù)運(yùn)動(dòng);（2）絲線線軸與絲線輥同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即絲線以恒定速度纏繞在線軸上;（3）通過(guò)撥叉的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，改變纏線位置;（4）絲線線軸一般為圓臺(tái)形狀，將絲線的線軸延長(zhǎng)，就形成了一個(gè)圓錐。因此，絲線的繞線曲線就可以看成是動(dòng)點(diǎn)在圓錐面上的運(yùn)動(dòng)軌跡。

所以，要解決上述問(wèn)題，測(cè)得絲線長(zhǎng)度，首先最重要的就是建立質(zhì)點(diǎn)在圓錐面上運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，也即建立空間曲線的參數(shù)方程。

（二）案例的數(shù)學(xué)描述——空間曲線的參數(shù)方程

（三）問(wèn)題分析與假設(shè)

1.問(wèn)題的分析

繞線機(jī)的繞線過(guò)程：考慮到卷繞絲線輥的結(jié)構(gòu)，絲線以螺旋方式纏繞到絲線輥上，工作過(guò)程中絲線輥?zhàn)鲂D(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，撥叉做軸向往復(fù)運(yùn)動(dòng);絲線的線軸與擺子（撥叉）同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即絲線以恒定速度纏繞在線軸上，通過(guò)撥叉的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，改變纏線位置。絲線線軸一般為圓臺(tái)形狀，簡(jiǎn)化工作過(guò)程，撥叉擺動(dòng)一次，卷繞絲線的纏繞曲線即為圓錐面上的螺旋線。由此可以考慮建立圓錐面上的螺旋線的參數(shù)方程。

2.根據(jù)分析，提出假設(shè)

由問(wèn)題分析，可以假設(shè)：（1）假設(shè)撥叉在往復(fù)擺動(dòng)一次時(shí)，絲線繞線軸旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)為2n圈（n值可由實(shí)際情況測(cè)出）;（2）不考慮線軸逐漸變厚。

3.由問(wèn)題分析和假設(shè)，建立方程

即為絲線纏繞的圓錐螺旋線的參數(shù)方程。

二、利用微元法建立微分方程的應(yīng)用案例

（一）案例的背景分析

在工業(yè)生產(chǎn)中，需要生產(chǎn)出一種能同時(shí)耐受溫差極大的材料。比如超音速燃燒沖壓式發(fā)動(dòng)機(jī)，在燃燒室內(nèi)部氣體燃燒后溫度能達(dá)到2000℃，使得燃燒室壁受到非常強(qiáng)烈的沖擊，但是燃燒室壁的另一側(cè)又需要承受住液氫的冷卻作用，溫度在-200℃左右。這樣燃燒室壁兩側(cè)需要承受極大的溫差，一般的材料很難滿足這個(gè)要求。功能梯度材料是一種新型材料，最早由日本科學(xué)家新野正之、平井敏熊和渡邊龍三等提出。其材料組分在一定的空間方向上連續(xù)變化，使界面消失，材料性能隨著材料的組成和結(jié)構(gòu)變化而緩慢變化，因此可用作界面層來(lái)連接不相容的兩種材料，減小殘余應(yīng)力和熱應(yīng)力，在新型材料科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用[4]。

（二）案例的數(shù)學(xué)描述

如果實(shí)際問(wèn)題所描述的是對(duì)象的某些性質(zhì)隨時(shí)間、空間的演變過(guò)程;那么就可以建立這樣一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，它以時(shí)間或者空間為自變量，以對(duì)象的性質(zhì)為未知函數(shù)，反映的是自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的變化率之間的關(guān)系，那么這就是一個(gè)微分方程，我們還可以結(jié)合微元法建立微分方程。

微元法的思想是：將研究對(duì)象化整為零，得到它的微元;分析微元，以勻代變，建立微分方程;用微分方程的解來(lái)分析所研究對(duì)象。

微元法的步驟如下：

（三）問(wèn)題的提出與解決

1.問(wèn)題的提出

粉末冶金是功能梯度材料的一種生產(chǎn)方式，將不同密度的材料碾成粉末，逐層排列，實(shí)現(xiàn)內(nèi)部性質(zhì)連續(xù)變化，兩端性質(zhì)滿足需求。由此我們可以一起來(lái)設(shè)計(jì)一種簡(jiǎn)單的功能梯度材料，密度逐層減小，要求每層密度的改變率與已經(jīng)鋪設(shè)的緊鄰層密度成比例，并實(shí)現(xiàn)當(dāng)厚度為6mm時(shí)，密度為初始密度的50%。

2.問(wèn)題的解決

第一步，選取距離底層的高度為自變量x;

三、結(jié)語(yǔ)

在教學(xué)內(nèi)容上選用既與學(xué)生專業(yè)相結(jié)合，又與科學(xué)前沿相結(jié)合的案例，可以將高等數(shù)學(xué)的理論性、技巧性與應(yīng)用性相結(jié)合。通過(guò)課上提出案例、分析案例以及解決案例，不但讓學(xué)生掌握了相關(guān)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，還進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析和應(yīng)用能力，以此達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通。

參考文獻(xiàn)：

[1]林美容，王逸勤.應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)課程改革與探索[J].山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，35（12）：147-148.

[2]黃浩，余雪.基于“案例+模塊化”的應(yīng)用型本科高校高等數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式改革探討[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，37（3）：106-110.

[3]宋繼紅，衣文索.紡織卷繞筒絲線長(zhǎng)度測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，22（8）：929-932.

[4]蘭曼，周會(huì)娟.結(jié)合專業(yè)前沿的高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J].科教文匯，2018，01：44-47.

作者簡(jiǎn)介：周會(huì)娟（1981—），女，碩士研究生，講師，主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。