摘 要：高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，立足于課本教材，充分挖掘課本例題、習(xí)題資源，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。注重邏輯推理，有較強的復(fù)雜運算能力，發(fā)散思維，以期面對新的高考、新的學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課本;核心素養(yǎng);高考

高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識之后，再次翻開課本前面的內(nèi)容，充分利用課本資源，適度拓展和延伸，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。文章先從一道課本例題談起。

一、 課本例題

【例1】 （課本例3，文[2]第31頁）：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，an=1+1an-1（n>1）。

寫出這個數(shù)列的前5項。

顯然，按照遞推公式，這里求解是機械的、容易的。已經(jīng)學(xué)過的等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式都可以看作是遞推公式，那么例1有沒有通項公式？如果有，怎樣求解？

二、 不動點

（一）不動點的概念

設(shè)函數(shù)f（x），若f（α）=α，則稱α是f（x）的不動點。

在數(shù)列{an}中，若an=f（αn-1）（n>1），α是f（x）的不動點，則稱α是{an}的不動點。

（二）不動點與數(shù)列通項

關(guān)于函數(shù)不動點與數(shù)列通項公式之間的關(guān)聯(lián)，通過簡單的數(shù)學(xué)變換即可推證。與例1相關(guān)的結(jié)論表述如下：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a，b，c∈R，ac-b≠0）。數(shù)列{an}，若a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1），那么：

（1）若f（x）有兩個不同的不動點α，β，則有

an+1-αan+1-β=k·an-αan-β，

其中k=a-αa-β ①

（2）若f（x）有唯一一個不動點α，則有

1an+1-α=1an-α+k，

其中k=2a+c ②

（3）若f（x）沒有不動點，則數(shù)列{an}具有某種周期性。

實際上，上述結(jié)論的得到是容易的，可以引導(dǎo)學(xué)生示意性的推導(dǎo)，以期提高他們的運算推理能力，培養(yǎng)他們的探索創(chuàng)新能力。其他各種形式的不動點與數(shù)列通項公式的關(guān)聯(lián)，無非就是an+1-α與an-α（α為不動點）的各種組合、變形，以期得到熟悉的等差、等比數(shù)列，進(jìn)而求得其通項公式。

其實，（3）若f（x）沒有不動點，那它必有兩個不同的復(fù)數(shù)根，這樣完全可以歸結(jié)為（1）。甚至（1）中也可以只選一個不動點，變形處理即可。

三、 例1的通項公式

考慮f（x）=1+1x=x+1x，由f（x）=x得f（x）有兩個不同的不動點α=1-52，β=1+52，又a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1）。

（一）用兩個不動點

比照①式，

k=1-1-521-1+52=-3+52，

從而

an+1-1-52an+1-1+52=-3+52·an-1-52an-1+52，

這是一個新的等比數(shù)列，其中首項a1-1-52a1-1+52=1-1-521-1+52=-3+52，

于是

an-1-52an-1+52=-3+52·（-3+52）n-1，

解之

an=12·（1-5）n+1-（1+5）n+1（1-5）n-（1+5）n ③

（二）用一個不動點

現(xiàn)在選用一個不動點，作差處理。取α=1-52，

由an+1-1-52=an+1an-1-52=1+52·an-1-52an，

取倒數(shù)

1an+1-1-52=an1+52·an-1-52=5-32·1an-1-52+5-12。

這里涉及另一種類型的不動點，即f（x）=dx+e（d≠0，1），f（x）有不動點δ，則對應(yīng)數(shù)列{bn}（bn=f（bn-1）（n>1）），有bn+1-δ=d（bn-δ），從而出現(xiàn)一個新的等比數(shù)列。

我們接著處理例1，有

1an+1-1-52-55=5-32·1an-1-52-55。

這里構(gòu)造了一個新的等比數(shù)列，類似于3.1后半段，可以解出

an=1-52+5·22n22n+（-1）n-1·（1-5）2n ④

四、 例1的變式

【例2】 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an=2-1an-1（n>1）。

求數(shù)列{an}的通項公式。

考慮f（x）=2-1x=x，得數(shù)列{an}有唯一一個不動點1，比照②式即可求出an=1+1n。

【例3】 （課本習(xí)題2.1A組4（2），文[2]第33頁）：寫出數(shù)列{an}的前5項：a1=-14，an=1-1an-1（n>1）。

這個數(shù)列沒有不動點（方程f（x）=1-1x=x無實數(shù)根），事實上由簡單計算，a1=a4=-14，它具有周期性。

為了激發(fā)學(xué)生的興趣，拓展學(xué)生的視野，可以對例1繼續(xù)變式：寫出數(shù)列{an}的前5項：a1=1，an=3an-1-7an-1-3（n>1）。易見數(shù)列{an}有兩個不同的不動點，故可比照①式寫出它的通項公式;很明顯它還具有周期性（a1=a3=1）。

五、 教學(xué)啟示

（一）用好課本，注重通解通法

用不動點處理數(shù)列的通項公式，課本中雖未提及，但它具有通解通法性，而且學(xué)生完全可以套搬套用。適當(dāng)運用不動點，可以避免解題的盲目性、增強解題的方向感。有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高教師教學(xué)的實效性。技高不壓人，常常會有意外的驚喜。

【例4】 （2019年高考浙江卷第10題）：設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=a2n+b，n∈N*。則（）

A. 當(dāng)b=12時，a10>10

B. 當(dāng)b=14時，a10>10

C. 當(dāng)b=-2時，a10>10

D. 當(dāng)b=-4時，a10>10

這是選擇題的最后一題，應(yīng)該算是壓軸題。對于A選項，用估算、迭代的辦法可以證明其真實性;本題如果從不動點的角度來考慮，它就變成了口算題！

考慮x=x2+b求出不動點，對于A選項，沒有不動點;對于B選項，取不動點12，令a=12，則an=12<10;對于C選項，取不動點-1，令a=-1，則an=-1<10;對于D選項，取不動點1-172，令a=1-172，則an=1-172<10。

（二）適度拓展，關(guān)注后繼學(xué)習(xí)

立根數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)該充分利用好課本材料。課本在例1之后，給出了《閱讀與思考》（文[2]第32頁），介紹了歷史上著名的Fibonacci數(shù)列{Fn}：

F1=F2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n>2）

細(xì)心的學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，例1的各項明顯具有數(shù)列{Fn}的影子！事實上數(shù)列{Fn}亦有“不動點”1±52（其實是特征方程特征根，這里借用“不動點”名稱），類似方法可以得到Fn=（1+5）n-（1-5）n5·2n，這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的經(jīng)典案例。這與例1的兩個通項公式③、④何其相像。

如果沿著這個閱讀材料繼續(xù)走下去，美麗而神奇的數(shù)學(xué)大門會越開越大。比如limn→∞FnFn+1=5-12（黃金分割比）。

適度拓展，適時引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值。有時一個小小的變式，毫厘之差，但卻相差萬里。比如數(shù)列{an}：an+1=2a2n-1，

若a1=13，則an=cos2n-1θ，（cosθ=13）;

若a1=3，則an=（3-22）2n-1+（3+22）2n-12。

關(guān)注學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)與發(fā)展，努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、運算求解能力，培養(yǎng)他們良好的數(shù)學(xué)興趣。立足課本，充分挖掘課本例題習(xí)題、閱讀探究材料，有的放矢地進(jìn)行課堂教學(xué)。數(shù)學(xué)的有趣，也許即在于此。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：2-3.

[2]人民教育出版社等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)5必修（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007：31-33.

[3]伍勝健.數(shù)學(xué)分析（第一冊）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009：28.

作者簡介：

王永軍，重慶市，重慶市廣益中學(xué)校。