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        因式分解有妙方 化繁為簡“換元法”

        2020-12-17 13:07:31文沈徐添
        初中生世界 2020年13期
        關(guān)鍵詞:換元法原式公因式

        文沈徐添

        “換元法”是初中數(shù)學中經(jīng)常用到的一個方法。在因式分解中,我們可以將多項式的某些項用字母替換,將一個復(fù)雜的多項式轉(zhuǎn)換成較為簡單熟悉的形式,達到“化繁為簡”的目的。下面,我們談?wù)勔蚴椒纸庵械摹皳Q元法”。

        一、整體代換

        例1因式分解:a2(x-y)-b2(x-y)。

        【分析】題目中出現(xiàn)了相同的因式xy。我們可以將x-y看作一個整體,提取公因式,運用整體代換的方法。

        解:a2(x-y)-b2(x-y)=(x-y)(a2-b2)=(x-y)(a+b)(a-b)。

        【點評】當題中出現(xiàn)相同因式,我們可以將其看作一個整體進行運算。為讓式子更為簡約,我們也可以在這道題中令u=xy,變原式為a2u-b2u,那么下一步的提取公因式就更為明朗。這種方法我們稱之為“換元法”。要注意的是,最終的結(jié)果不能寫成u·(a+b)(a-b),要將換掉的“元”重新?lián)Q回去,將結(jié)果書寫為(x-y)(a+b)(a-b)的形式。

        例2 因式分解:(x+y)2-4(x+y)+4。

        【分析】題目中出現(xiàn)了相同因式(x+y),我們用整體代換,將x+y看作整體,令u=x+y。

        解:令u=x+y,得原式=u2-4u+4=(u-2)2,即原式=(x+y-2)2。

        例3 因式分解:(m2-3m+2)(m2-3m-4)+9。

        【分析】本題如果利用整式乘法將兩個多項式相乘,會得到一個四次多項式。高次多項式因式分解是比較困難的。我們可以看到題目中兩個括號內(nèi)也有相同因式m2-3m,利用換元法,令t=m2-3m。

        解:令 t=m2-3m,得(t+2)(t-4)+9=t2-2t+1=(t-1)2,即原式=(m2-3m-1)2。

        【點評】本題利用整體代換達到降次目的,但要注意,最后將“元”換回去后,括號里的因式是否還能進行分解,如果可以,則要繼續(xù)分解到不能分解為止。

        二、平均代換

        對于例3,有同學會疑惑:能將m2-3m+2看成一個整體進行換元嗎?當然可以。那么m2-3m加上任意一個常數(shù)為新元可以嗎?哪種換元法呈現(xiàn)出的因式最簡潔?下面我們給出另一種較為簡潔的換元法,稱之為平均代換。相較于上一種換元方法,平均代換保留了相同的部分,取兩個因式常數(shù)部分的平均值,構(gòu)成新元。

        解:令t=m2-3m-1,得(t+3)(t-3)+9=t2,即原式=(m2-3m-1)2。

        這種方法消去了奇次項,使得因式具有“對稱感”,從而利用平方差公式簡化運算進行分解。

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