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        因式分解的簡單應用

        2020-12-17 13:07:31文田
        初中生世界 2020年13期
        關鍵詞:單項式代數(shù)式化簡

        文田 瀟

        進入初中后,我們對數(shù)學的認識有了質(zhì)的飛躍,學會了用字母表示數(shù)。類比數(shù)的運算,我們研究了式的運算。在式的運算中,單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式是常見的運算,這讓字母的一般性發(fā)揮到了極致。同學們對整式的運算很容易理解,但往往不能把握因式分解恒等變換的本質(zhì)。如規(guī)定某一矩形的長和寬分別為(a+1)和(b+1),則同學們很容易理解兩個代數(shù)式的和為長與寬之和,兩個代數(shù)式的積為該矩形的面積。但同學們?nèi)绻姷剑╝b+a+b+1),卻不易思考到該代數(shù)式的意義和價值。因此,我們在初中數(shù)學中學習整式乘法這章內(nèi)容時,還學習了另外一部分恒等變換內(nèi)容——因式分解。本文將介紹因式分解在數(shù)學中的作用,以供同學們參考。

        一、化繁為簡

        因式分解可化繁為簡。例如,同學們在學習因式分解之前,得到這種式子后便不能再化簡了,而在學習因式分解后,還可將x2+3x+2化為(x+1)(x+2),于是上述式子便最終化簡為(x+2)。因式分解在后續(xù)圖形的數(shù)據(jù)運算或代數(shù)應用中都有很多用處,能把復雜的式子化為簡單的代數(shù)式,將數(shù)學的簡單美體現(xiàn)得淋漓盡致。

        二、解高次方程

        初中代數(shù)領域中,解方程占很大一部分內(nèi)容。從一元一次方程,到分式方程,再到一元二次方程,甚至高次方程,用因式分解能很容易地解決。例如,解方程:x3+x2-2x=0。對于解一元三次方程,一般方法比較麻煩,初中階段也不涉及,感興趣的同學可以自行了解一下。這里,我們可以利用因式分解,將方程化為x(x+2)(x-1)=0。幾個因式的積為零,其中某個式子必為零。因此解得x1=0,x2=-2,x3=1,這樣就將上述方程輕而易舉地解出來了。

        三、解決面積問題

        在初中數(shù)學中,因式分解還能使數(shù)形結(jié)合應用得更加順暢。例如,如何利用兩個邊長為x的正方形,3個邊長為y的正方形,5個邊長分別為x、y的長方形,拼接成一個面積最大的長方形?用因式分解,我們便能輕松地解決。無論如何拼湊,圖形的總面積不變,是2x2+3y2+5xy。我們可將上式因式分解,試著尋找拼接的長方形的邊長,可以得到(x+y)(2x+3y)。觀察此式,我們不難看出,拼接的長方形的長和寬分別為(2x+3y)和(x+y),因此構(gòu)造長和寬如上的長方形即可。

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