丁益民

【摘 要】 以蘇教版新教材必修中“常用邏輯用語(yǔ)”為切入口，挖掘相關(guān)學(xué)材在激趣、引領(lǐng)、啟發(fā)、探究等方面的教學(xué)功能，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)活動(dòng)，達(dá)到理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的目的.

【關(guān)鍵詞】 學(xué)材;常用邏輯用語(yǔ);教學(xué)功能;深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是對(duì)學(xué)習(xí)狀態(tài)的質(zhì)性描述，涉及學(xué)習(xí)的投入程度、思維層次和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)等多個(gè)層面，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解和對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的批判性吸收和利用，追求有效的學(xué)習(xí)遷移和真實(shí)問(wèn)題的解決，屬于高階思維為主要認(rèn)知活動(dòng)的有意義學(xué)習(xí).杜威的兒童觀和教材觀強(qiáng)調(diào)以學(xué)生需要為出發(fā)點(diǎn)，在“學(xué)生為本”的理念下，注重學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn)的相互融合，教材更關(guān)注學(xué)生的自主空間，關(guān)注學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生的主體意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自我價(jià)值，發(fā)揮教材應(yīng)有的教育功能.

各版新教材相繼出版并陸續(xù)進(jìn)入使用狀態(tài)，新教材都突出體現(xiàn)了教材的“學(xué)材”屬性，研析這些素材的教學(xué)功能，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)，深度學(xué)習(xí).本文以蘇教版必修第一冊(cè)第2章“常用邏輯用語(yǔ)”為例談?wù)勔恍┱J(rèn)識(shí)與思考，敬請(qǐng)指正.

1 發(fā)揮學(xué)材的激趣功能，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力

新教材從素材的選取及呈現(xiàn)方式，到先行組織者的設(shè)計(jì)、欄目板塊的設(shè)計(jì)、正文的敘述方式、習(xí)題的編設(shè)等方面都盡可能地以引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣為目的，讓學(xué)生帶著濃厚的興趣去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).

本章的“閱讀”欄目給出了兩則著名的“悖論”，“悖論”以故事的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生在感受樂(lè)趣的同時(shí)也會(huì)理性思考“悖論”產(chǎn)生的原因——“悖論”的出現(xiàn)往往是由于人們對(duì)某些概念的理解和認(rèn)識(shí)不夠深刻所致.具體來(lái)說(shuō)，“芝諾悖論”是由于以形而上學(xué)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，不承認(rèn)無(wú)限是客觀存在的，反而用一系列有限的過(guò)程來(lái)逼近無(wú)限.“理發(fā)師悖論”（“羅素悖論”）的提出，促使許多數(shù)學(xué)家去研究集合論的無(wú)矛盾性問(wèn)題，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的一個(gè)重要分支——公理集合論.在教學(xué)中若能將這些素材背后隱藏的數(shù)學(xué)史料開(kāi)發(fā)成顯性材料，以通俗易懂的故事形式呈現(xiàn)出來(lái)，必將激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探求欲望.

在習(xí)題方面，教材分別在習(xí)題2.1、習(xí)題2.3、復(fù)習(xí)題的“探究·拓展”欄目中設(shè)置了相應(yīng)的激趣素材.如在習(xí)題2.1的這道題：

考察下述推導(dǎo)過(guò)程，找出錯(cuò)誤原因.

若x=y，則有xy=y2，從而有x2-xy=x2-y2，即有x（x-y）=（x+y）（x-y）.

所以x=x+y.又因?yàn)閤=y，所以x=2x.所以1=2.

這道題旨在引導(dǎo)學(xué)生閱讀材料，反思該“偽證”背后的邏輯漏洞，以這樣的示錯(cuò)過(guò)程來(lái)啟發(fā)學(xué)生在進(jìn)行推理時(shí)要注重步驟間的邏輯性與等價(jià)性.很明顯，這樣的學(xué)材能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，尤其是誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)邏輯用語(yǔ)的積極的心理驅(qū)動(dòng)，學(xué)生在邏輯推理中感受數(shù)學(xué)的理性力量.

2 發(fā)揮學(xué)材的引導(dǎo)功能，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)的方向

教材特別重視章首語(yǔ)在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的作用.章首語(yǔ)作為一章之首，提供了與整章內(nèi)容相關(guān)的問(wèn)題情境，一般以學(xué)生熟悉的生活背景或?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)作為引子，既是本章核心內(nèi)容的原型，也是引領(lǐng)整章內(nèi)容的問(wèn)題，是該章的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)、核心內(nèi)容或研究方法，對(duì)本塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)起先行組織者的作用.

相對(duì)于初中數(shù)學(xué)知識(shí)，本章內(nèi)容較為抽象，對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用等能力要求較高，是學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一.為了降低學(xué)生的認(rèn)知難度，教材選擇之前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)命題作為導(dǎo)引，從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問(wèn)題，讓學(xué)生在熟悉的語(yǔ)言環(huán)境中感受邏輯用語(yǔ)在進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)推理時(shí)的作用，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用邏輯用語(yǔ)準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容（對(duì)象），為更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)交流做好準(zhǔn)備.

本章章首語(yǔ)是這樣給出的：

命題1 兩個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù).

命題2 和是偶數(shù)的兩個(gè)數(shù)一定都是偶數(shù).

為了判斷這兩個(gè)命題的正確性，我們換一種語(yǔ)言來(lái)表述它們：

命題1 如果a是任意的偶數(shù)，b是任意的偶數(shù)，那么a+b一定是偶數(shù).

命題2 如果a+b是偶數(shù)，那么a和b都是偶數(shù).（活動(dòng)1）

對(duì)于命題1，因?yàn)閍是偶數(shù)，所以存在m∈Z，使a=2m;

因?yàn)閎是偶數(shù)，所以存在n∈Z，使b=2n;所以a+b=2m+2n=2（m+n）.

因?yàn)閙∈Z，n∈Z，所以m+n∈Z，所以a+b為偶數(shù).（活動(dòng)2）

對(duì)于命題2，取a=3，b=5，這時(shí)a+b=8是偶數(shù)，但3不是偶數(shù)，5也不是偶數(shù).（活動(dòng)3）

該章首語(yǔ)包含多個(gè)方面的信息：既有數(shù)學(xué)命題基本格式（如果……那么……）的呈現(xiàn)，又有邏輯量詞（任意，存在）的使用，也有演繹推理中“三段論”的格式體現(xiàn)，更有“反證法”進(jìn)行推理的示范，這些都直指本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)——邏輯用語(yǔ)的含義以及如何使用邏輯用語(yǔ).進(jìn)一步地還給出本章的學(xué)習(xí)定位與核心問(wèn)題：

數(shù)學(xué)研究過(guò)程中，提出問(wèn)題、解決問(wèn)題需要進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，數(shù)學(xué)推理要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，需要使用一些基本用語(yǔ)，例如，“如果”“那么”“因?yàn)椤薄八浴薄叭我獾摹薄按嬖凇薄?/p>

●這些用語(yǔ)的含義是什么？

●在推理過(guò)程中，怎樣使用這些用語(yǔ)？

在后繼學(xué)習(xí)中，學(xué)生的認(rèn)知方向是按照上述章首語(yǔ)的引領(lǐng)路線遞進(jìn)的：首先要能像活動(dòng)1那樣將命題寫成“若p則q”的形式，并能通過(guò)合適的方法（活動(dòng)2、活動(dòng)3）判斷真假，當(dāng)然還需要了解真命題與定理、定義之間的關(guān)系，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)時(shí)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明提供理論依據(jù)，為此就需深入到命題的結(jié)構(gòu)中去考查條件p與結(jié)論q之間的關(guān)系，具體感受性質(zhì)定理和判定定理之間的區(qū)別，從整體的角度以邏輯的視角理解這兩類定理的邏輯屬性.最后再學(xué)習(xí)另一類含有量詞的命題，從邏輯的角度理解和表達(dá)具有部分與整體意義的命題.在學(xué)材的引領(lǐng)下，學(xué)生的學(xué)習(xí)是具有方向和目的性的整體建構(gòu)過(guò)程，為學(xué)生的有意義建構(gòu)奠定了基礎(chǔ).

3 發(fā)揮學(xué)材的啟發(fā)功能，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的思考力

教材注重通過(guò)文本與學(xué)生進(jìn)行無(wú)聲互動(dòng)，讓學(xué)生在問(wèn)題中思考，在思考中感悟.正文部分每節(jié)均設(shè)計(jì)了“節(jié)問(wèn)題”，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思考，問(wèn)題直指概念本質(zhì).除此之外，還通過(guò)“思考”“旁白”等欄目來(lái)啟發(fā)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力.

以“旁白”為例，旁白是正文的解說(shuō)詞，是正文的補(bǔ)充與延伸，對(duì)正文起支撐、傳承的作用，具有良好的啟發(fā)性，能激發(fā)學(xué)生思考與探究，促進(jìn)他們主動(dòng)地學(xué)習(xí)研究，理解知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì).如2.1節(jié)設(shè)置旁白1：“判斷命題為真，需要進(jìn)行證明.判斷命題為假，該怎么做？”旁白1是啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用“舉反例”進(jìn)行思維活動(dòng)，“舉反例”是判斷命題為假、驗(yàn)證“充分性、必要性”時(shí)重要的思維操作程式，通過(guò)此旁白讓學(xué)生體會(huì)到判斷命題真假時(shí)不同的思維過(guò)程（判斷命題為真時(shí)需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理，判斷為假時(shí)則需要尋找反例進(jìn)行否定）.為了加強(qiáng)“舉反例”在教學(xué)中的作用，在2.2節(jié)再次設(shè)置了表述性的旁白2：“還可以通過(guò)舉反例來(lái)說(shuō)，如22=（-2）2，但2≠-2.”旁白2是讓學(xué)生在進(jìn)一步學(xué)習(xí)時(shí)更深地體會(huì)“舉反例”的邏輯價(jià)值，鞏固這種運(yùn)用逆向思維進(jìn)行辨析與思考的思維成果，形成批判意識(shí).又如在2.3.1節(jié)設(shè)置旁白3：“在語(yǔ)句（1）～（5）中，哪些是命題？如果是命題，又有哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題？”該旁白是學(xué)生初步接觸“全稱量詞命題”和“存在量詞命題”概念后提出的，運(yùn)用旁白讓學(xué)生在解決“節(jié)問(wèn)題”后進(jìn)行的深度認(rèn)知，讓學(xué)生從概念的本質(zhì)去理解“全稱量詞命題”“存在量詞命題”，并不是從外在形式進(jìn)行的表淺認(rèn)識(shí)，而是對(duì)抽象概念進(jìn)行具體操作的同化順應(yīng)過(guò)程，這顯然利于對(duì)概念的準(zhǔn)確把握.

很明顯這些旁白的活動(dòng)目標(biāo)指向明確，通過(guò)旁白設(shè)置相應(yīng)的思維活動(dòng)，讓學(xué)生在目標(biāo)指向明確的活動(dòng)中對(duì)概念的內(nèi)涵、外延進(jìn)行理解，是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、準(zhǔn)確理解本質(zhì)的重要途徑.

4 發(fā)揮學(xué)材的探究功能，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的理解力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確將“閱讀自學(xué)”作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)之一，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)閱讀”在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.信息時(shí)代，學(xué)生知識(shí)的獲取、能力的形成以及情感的培養(yǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能僅依賴于教材或課堂.如果將閱讀材料視為區(qū)別于正文的內(nèi)容，只是將其視為“閱讀”的文本，則大大削弱了這些資源的教學(xué)價(jià)值.教材中的閱讀素材所設(shè)置的問(wèn)題與建議，在拓寬學(xué)生視野的同時(shí)還關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，這其實(shí)代表著一種引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的導(dǎo)向.

本章習(xí)題中設(shè)置兩道“閱讀題”——第2.3節(jié)第6題和復(fù)習(xí)題第6題，很明顯這兩道題的定位均為“探究·拓展”，這兩道題是基于幫助學(xué)生正確理解“含有量詞的命題的否定”“充分條件”“必要條件”等概念而設(shè)計(jì)的，分別從生物學(xué)科和數(shù)學(xué)文化的視角對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行理解，拓寬了理解的方式.第2.3節(jié)第6題是從生物學(xué)科的視角去理解數(shù)學(xué)中的全稱量詞命題及存在量詞命題之間的關(guān)系，而這種關(guān)系又可從集合的視角來(lái)進(jìn)行表征，這樣便溝通了其他學(xué)科與數(shù)學(xué)，集合與邏輯之間的關(guān)系，由此打開(kāi)學(xué)生思維，讓學(xué)生進(jìn)行更為廣泛的探究，最終定位于從集合角度理解命題與命題的否定的邏輯意義.復(fù)習(xí)題的第6題則是一道數(shù)學(xué)文化題，《墨經(jīng)》中關(guān)于“小故”和“大故”就是我國(guó)墨辯邏輯的用語(yǔ)，其分別對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)邏輯中的“必要條件”和“充分條件”，體現(xiàn)了我國(guó)古代在邏輯學(xué)上研究的卓越成就.

為了適應(yīng)不同學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)性化需求，教材還設(shè)置一些具有探究性質(zhì)的學(xué)材，來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)行探究拓展的活動(dòng)，如教材在每章末專設(shè)“問(wèn)題與探究”，以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng).本章的“DY三角形”是新情境，讓學(xué)生從命題的角度對(duì)“DY三角形”的定義、性質(zhì)定理、判斷定理進(jìn)行理性認(rèn)識(shí)，形成關(guān)于命題研究的體系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)命題價(jià)值的深度理解，引導(dǎo)學(xué)生在新情境中去解決問(wèn)題，形成遷移能力.

總之，教師在教材的使用過(guò)程中要挖掘?qū)W材的教學(xué)功能，讓學(xué)材更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升，促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).