李建國 劉梁華

【摘 要】 由“一核”“四層”“四翼”組成的中國高考評價體系，解決了高考“為什么考、考什么、怎么考”的問題，給出了高考命題的理論指引和方法指導. 本文通過分析2020年的一道高考立體幾何試題，意在探尋高考數(shù)學學科命題中如何遵循這一指導方案.

【關鍵詞】 高考;立體幾何試題;一核、四層、四翼

2019年教育部考試中心制定《中國高考評價體系》，在高考“為什么考、考什么、怎么考”的問題上給出了明確的理論指引和方法指導. 該體系包括了高考的核心功能、考查內(nèi)容和考查要求，即“一核：立德樹人、服務選才、引導教學;四層：核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識;四翼：基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性.”[1] 2020年全國新高考Ⅰ卷（山東卷）數(shù)學試題就充分體現(xiàn)了該文件的指示精神，本文以卷中的一道立體幾何試題為例闡釋一二.

1 試題呈現(xiàn)

根據(jù)題目條件，四棱錐PABCD是一個棱長為1的正方體內(nèi)的四棱錐，如圖5（略去圖中的無關線段），直線l是棱A1P所在直線，平面QCD即為平面CDQR.

易知平面BCC1B1⊥平面CDQR，過點B作BH⊥RC，垂足為點H，則BH⊥平面CDQR，連接OH，∠BOH即為PB與平面QCD（平面CDQR）所成的角，設∠BOH=θ. 后面的解法同解法3.

上述兩種解法都需要學生在復雜的條件下綜合運用圖形的位置關系和數(shù)量關系獲得點B（或點P）到平面QCD的距離，并通過相互關聯(lián)的情境確定線段BO（或PO）的長度，計算出線面角的正弦值，獲得數(shù)學模型，并加以優(yōu)化，最終解決問題，達到直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng)的水平二的要求，甚至接近直觀想象素養(yǎng)水平三的要求 [3]. 對于解法1，學生需要根據(jù)日常學習的“基本圖形”并結(jié)合圖形中保持不變的量，通過創(chuàng)造性的思維方法獲得解題思路，過程中不僅需要有高水平的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)水平，更需要綜合運用直覺、形象、有邏輯的理性思維，提出新視角、新方法，創(chuàng)造性地解決問題，是創(chuàng)新思維的能力的具體體現(xiàn).

在關鍵能力層面，試題第（2）問不同的解題方法，展現(xiàn)不同層次的能力水平. 創(chuàng)新性的解法1是在探索研究了圖形中變與不變的關鍵量之后得出的解答方法，是高水平的創(chuàng)新實踐能力、空間想象能力、問題分析能力、推理論證能力的整合. 解法2（向量法）是立體幾何最為常規(guī)的解題思路，在得出函數(shù)模型以后，對模型的變形、分析、求解要求學生有很高層次的運算求解能力和問題分析能力. 解法3和4展現(xiàn)了學生高層次的空間想象能力、推理論證能力和函數(shù)模型的求解能力.

在必備知識層面，立體幾何的主干知識包括基本立體圖形、基本圖形位置關系兩部分. 具體構(gòu)成如下圖：

試題以四棱錐為載體，考查了線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)與判定，線面角、三棱錐的體積的計算和空間向量坐標、向量的夾角、向量的數(shù)量積、向量的模的運算. 囊括了立體幾何絕大部分的主干知識.

2.3 基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的試題四維設計理念

“四翼”立足于素質(zhì)教育的基本要求，呈現(xiàn)出高考命題需要把握的四個維度，是貫穿“四層”內(nèi)容的四條紐帶，通過對高考試題“基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”的命題要求，實現(xiàn)對學生學業(yè)水平達成度的科學評價和試題命制的難度、區(qū)分度、效度的有效調(diào)控.

在“基礎性”緯度上，試題利用立體幾何基本圖形四棱錐作為條件的載體，第（1）問是學生熟悉的證明線面垂直，第（2）問直接利用題目中原有的線線關系就可以建立空間直角坐標系，增加了條件“PD=AD=1”后，四棱錐可以補充為一個正方體，這些條件、所求、解題方法都在考查學生的基礎知識、基本能力和基本素養(yǎng)，所以說試題注重情境的典型性、條件的基本性和解題方法的通用性，是“四翼”之基礎性特征的顯現(xiàn). 在“綜合性”緯度上，本題的第一個綜合點是在直線l的畫法上，題目沒有在已知的圖形上給出直線l，而是通過文字語言“設平面PAD與平面PBC的交線為l”描繪出直線的屬性，要求學生在只有一個公共點的圖形中作出直線l，綜合考查學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)水平;第二個綜合點是第（2）問的探索與解答，難點表現(xiàn)在兩方面，一是線面角的圖難畫，難以找到斜線的射影，二是最值的尋找，需要綜合運用幾何、三角、代數(shù)三方面知識解決問題，考查學生靈活調(diào)用所學知識，采用科學有效方法解決問題的能力水平，呈現(xiàn)出命題人高超的“綜合性”設計水平. 本題運用空間向量知識和函數(shù)知識來解決立體幾何問題，屬于“應用性”緯度的展現(xiàn). 在“創(chuàng)新性”維度上，試題一改往年“一問證明，二問計算”的傳統(tǒng)套路，展現(xiàn)了一個探究最值的新面孔，體現(xiàn)了試題創(chuàng)新性的特點，而創(chuàng)新性的解法1，也體現(xiàn)出命題人對考生創(chuàng)新性解答的期待.

高考試題是一面鏡子也是一盞燈，它反映著考生的能力層次和素養(yǎng)水平，也給下一屆學生備考提供了努力的方向.在備考時，要關注立德樹人方面對數(shù)學學科的具體要求，把價值觀的引領和數(shù)學素養(yǎng)的提升結(jié)合起來，讓學生積極思考主動探究，充分發(fā)揮學生理想信念和科學精神的引領作用;要關注核心價值、數(shù)學素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識的研究與探索，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng);要關注試題命制的特點，抓基礎、促綜合，注重數(shù)學應用能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展.

參考文獻

[1] 教育部考試中心制定. 中國高考評價體系[S]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2] 祁平，任子朝，趙軒. 指明改革方向繪就培養(yǎng)藍圖[J]. 數(shù)學通報，2020，4（01）.

[3] 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

作者簡介 李建國（1969—），男，山東沂南人，中學高級教師，山東省臨沂市教育科學研究與發(fā)展中心數(shù)學教研員，山東省骨干教師. 近年在省級以上刊物發(fā)表論文10余篇.