孫佳燕

摘? 要：“數(shù)學(xué)化”能賦予學(xué)生數(shù)學(xué)實驗自然生長的力量。“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)實驗?zāi)茏尅皻w納”與“演繹”深度對接，能讓“直覺”與“理性”并蒂共生，能讓“思維”與“創(chuàng)造”和諧相融。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要用解疑證惑引發(fā)數(shù)學(xué)實驗，用合情猜想引領(lǐng)數(shù)學(xué)實驗，用理性審視反哺數(shù)學(xué)實驗。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實驗;數(shù)學(xué)化

當(dāng)下，一個個新教育理念的誕生，一項項新教學(xué)材料的問世，一種種新教育技術(shù)的呈現(xiàn)，昭示著數(shù)學(xué)實驗可以越來越“精致化”。著眼于對學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的培育，對學(xué)生數(shù)學(xué)縝密思維、數(shù)學(xué)批判質(zhì)疑意識的培育。筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)實驗的過程中，教師可以進(jìn)行對數(shù)學(xué)實驗進(jìn)行數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化，能賦予數(shù)學(xué)實驗自然生長的力量。

一、“數(shù)學(xué)實驗”的數(shù)學(xué)化釋義

所謂數(shù)學(xué)實驗的“數(shù)學(xué)化”，是指學(xué)生借助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具、器材、實物等，通過“數(shù)學(xué)化”的觀察、操作等方式來建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)法則、公理等。數(shù)學(xué)實驗的“數(shù)學(xué)化”特質(zhì)，是數(shù)學(xué)實驗區(qū)別于其他實驗如科學(xué)實驗、美術(shù)實驗等的核心素質(zhì)。數(shù)學(xué)實驗的“數(shù)學(xué)化”，要求學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光”來考量實驗，用“數(shù)學(xué)的思維”來進(jìn)行思考、探究。具體而言，數(shù)學(xué)實驗的“數(shù)學(xué)化”應(yīng)該包括數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)想象、數(shù)學(xué)操作、數(shù)學(xué)概括等。

1. “歸納”與“演繹”深度對接

從根本上說，學(xué)生數(shù)學(xué)實驗探究與驗證的主要方式有三：類比、歸納與演繹。數(shù)學(xué)實驗，不僅有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)演繹，更有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)類比、歸納。在數(shù)學(xué)實驗的過程中，學(xué)生需要進(jìn)行合情猜想，需要進(jìn)行清晰的、有條理的實驗論證，等等。比如教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”（蘇教版四年級下冊），教師提供結(jié)構(gòu)性的小棒讓學(xué)生分類操作，則屬于外在的歸納性實驗操作。而學(xué)生在實驗過程中，不僅通過物質(zhì)實驗，而且通過思想實驗（如兩點之間線段最短）等進(jìn)行論證，則體現(xiàn)了學(xué)生實驗的演繹性品質(zhì)。數(shù)學(xué)的公理、法則等，往往就是在“歸納”與“演繹”的和諧圓融中得到數(shù)學(xué)化的論證。

2. “直覺”與“理性”并蒂共生

數(shù)學(xué)實驗的數(shù)學(xué)化特質(zhì)，不僅僅表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，更表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)理性。一般來說，數(shù)學(xué)直覺有助于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)猜想，而數(shù)學(xué)理性有助于數(shù)學(xué)論證。數(shù)學(xué)實驗，要充分開發(fā)學(xué)生的全腦，讓學(xué)生的左右腦協(xié)同活動、和諧共融。比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”，學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)直覺，用“量角法”“折角法”“拼角法”等進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，這樣的一種探究就是基于數(shù)學(xué)直覺的實驗探究。在探究過程中，有學(xué)生不滿足于實驗的粗糙，尋求更為數(shù)學(xué)化的驗證方式。比如有學(xué)生畫出了平行線，利用角之間的相等關(guān)系進(jìn)行嚴(yán)密推理;有學(xué)生將長方形分成兩個直角三角形，推導(dǎo)直角三角形的內(nèi)角和;將銳角三角形、鈍角三角形沿著高分成兩個直角三角形，從而推導(dǎo)出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和，進(jìn)而概括出三角形的內(nèi)角和?！爸庇X”與“理性”的并蒂共生，讓數(shù)學(xué)實驗煥發(fā)出生命的活力。

3. “思維”與“創(chuàng)造”和諧相融

“數(shù)學(xué)實驗”開辟了學(xué)生“用手思考問題”的道路。正是在“動手做”的過程中，解壓了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。思維的解壓助推學(xué)生萌發(fā)創(chuàng)意。因此，數(shù)學(xué)化的“數(shù)學(xué)實驗”能讓學(xué)生“思維”與“創(chuàng)造”的和諧相融。比如教學(xué)“圓錐的體積”（蘇教版六年級下冊），傳統(tǒng)的實驗都是教師給學(xué)生提供等底等高的圓柱和圓錐，借助沙子或水進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗。基于數(shù)學(xué)化的視角，教師應(yīng)當(dāng)放手讓學(xué)生探究。要把握好實驗的“主體”與“主導(dǎo)”關(guān)系，給學(xué)生提供必要的素材、指導(dǎo)。當(dāng)教師賦予學(xué)生充分的探究時空，學(xué)生就會產(chǎn)生各種創(chuàng)造性的實驗方式，比如將橡皮泥圓錐捏成圓柱;比如將圓錐完全浸入水中或裝滿水，借助量筒測量溢出的水的體積或圓錐中的水的體積;比如將圓錐裝滿水倒入圓柱，探求圓柱和等底等高的圓錐之間的關(guān)系，等等。在數(shù)學(xué)實驗的數(shù)學(xué)化過程中，教師不僅要指導(dǎo)學(xué)生觀察、操作，更要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象、概括——“必要的凝聚”。

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面：一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實驗性的歸納科學(xué)?！睌?shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)實驗，兼具數(shù)學(xué)實驗的歸納與演繹、直覺與理性、實踐與創(chuàng)造。正是通過“數(shù)學(xué)化”，數(shù)學(xué)實驗?zāi)軌蛘蔑@出獨特的育人課程價值。

二、“數(shù)學(xué)實驗”的數(shù)學(xué)化路徑

從根本上說，“數(shù)學(xué)化”也就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的活動過程?！皵?shù)學(xué)化”，可以分為“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，就是從實驗材料到實驗結(jié)論的過程;所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，就是對實驗結(jié)論進(jìn)行精致化的過程。在數(shù)學(xué)實驗過程中，教師要警惕過度追求實驗結(jié)果的實驗虛化;要警惕問題引領(lǐng)的實驗盲目;要警惕理性分析缺失的實驗回顧，等等。

1. 問題：讓解疑證惑引發(fā)數(shù)學(xué)實驗

基于“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)實驗不是機械的、盲目的，而應(yīng)當(dāng)具有一定的針對性。運用“問題引領(lǐng)”，能讓數(shù)學(xué)實驗有的放矢。問題引領(lǐng)，可以激發(fā)學(xué)生的實驗需求，可以引發(fā)學(xué)生的實驗期待，可以點燃學(xué)生的實驗興趣，可以引導(dǎo)學(xué)生的思維跟進(jìn)，等等。比如教學(xué)“長方形和正方形的面積”（蘇教版三年級下冊），筆者給學(xué)生提供了大小不一的長方形以及單位面積的小正方形，讓學(xué)生用單位面積的小正方形進(jìn)行自主地拼擺。在學(xué)生實驗的過程中，筆者提出了這樣的幾個要求：觀察每行拼擺的個數(shù)與長方形的長，拼擺的行數(shù)與長方形的寬，拼擺的總個數(shù)與長方形的面積。通過這樣的問題，引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗。學(xué)生一邊猜想一邊實驗驗證，一邊實驗驗證一邊猜想。通過不斷地猜想、驗證等活動，學(xué)生自主建構(gòu)長方形和正方形的面積公式。在數(shù)學(xué)化的實驗過程中，問題往往是思維的基礎(chǔ)。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問難，形成學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的生長點、生發(fā)點，進(jìn)而對學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗發(fā)揮推波助瀾的作用。

2. 想象：讓合情猜想引領(lǐng)數(shù)學(xué)實驗

數(shù)學(xué)猜想、想象是一種試探性的思維。想象導(dǎo)引不同于問題導(dǎo)引。問題導(dǎo)引往往是清晰的、明確的，而想象導(dǎo)引則是具有一定相關(guān)性的實驗引領(lǐng)。著名的數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，一個好的數(shù)學(xué)家必須是一個猜想家。數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)實驗，將猜想與實驗驗證緊緊地聯(lián)系在一起。比如教學(xué)“圓的面積”（蘇教版五年級下冊），許多教師在引導(dǎo)學(xué)生做實驗時，往往直接將圓剪拼成十六等份或三十二等份，然后拼成近似的長方形。這樣的實驗，學(xué)生完全被牽著走。筆者認(rèn)為，教師可以先借助方格圖引導(dǎo)學(xué)生猜想圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。以猜想為源頭，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理性實驗，能讓數(shù)學(xué)實驗具有方向性。比如學(xué)生會主動觀察長方形的長、長方形的寬與圓的半徑之間的關(guān)系，能主動思考長方形的面積與圓形的面積之間的關(guān)系，等等。在進(jìn)行數(shù)學(xué)比較的過程中，學(xué)生自然能建構(gòu)出“圓的面積”的公式。

3. 反思：讓理性審視反哺數(shù)學(xué)實驗

基于“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)實驗需要學(xué)生的積極反思。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對實驗的過程與實驗的結(jié)果作數(shù)學(xué)化的審視。換言之，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)化的眼光觀照實驗，用數(shù)學(xué)化的大腦考量實驗，用數(shù)學(xué)化的語言表達(dá)實驗。通過理性反思、審視，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。比如教學(xué)“平行四邊形的面積”（蘇教版五年級上冊），筆者在學(xué)生通過剪、拼、移的數(shù)學(xué)實驗將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，進(jìn)而推導(dǎo)出平行四邊形的面積之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對實驗過程進(jìn)行“回頭看”，引導(dǎo)學(xué)生反芻、追問：為什么要沿著平行四邊形的高剪開？這樣的問題倒逼學(xué)生自我審視。換言之，不沿著平行四邊形的高剪開還可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形嗎？這樣的反思，能讓學(xué)生用理性反哺數(shù)學(xué)實驗，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗走向深刻。學(xué)生對于數(shù)學(xué)實驗不僅“知其然”，更“知其所以然”，還“知其所必然”。

數(shù)學(xué)實驗的“數(shù)學(xué)化”路徑，關(guān)鍵是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗的過程中產(chǎn)生數(shù)學(xué)化的意識，形成數(shù)學(xué)化的認(rèn)識。只有借助“數(shù)學(xué)化”，學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗才不會劍走偏鋒，從而具有數(shù)學(xué)特質(zhì)。數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)實驗，不僅要求學(xué)生對實驗結(jié)果具有數(shù)學(xué)化的判斷，而且對實驗過程也有著相應(yīng)的理性認(rèn)知。

數(shù)學(xué)實驗的關(guān)鍵、核心在于讓數(shù)學(xué)實驗“數(shù)學(xué)化”。只有讓數(shù)學(xué)實驗“數(shù)學(xué)化”，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗不是僅僅停留在簡單的、機械的、盲目的“操作化”層面。通過數(shù)學(xué)化的操作、數(shù)學(xué)化的思考、數(shù)學(xué)化的探索、數(shù)學(xué)化的審視、數(shù)學(xué)化的拓展等，才能讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)實驗。通過“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)實驗，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能從低階邁向高階，進(jìn)而才能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。