吳宇

摘 要：線性代數(shù)課程已經(jīng)成為理工科學(xué)校大學(xué)生最有用和最有趣的數(shù)學(xué)課程之一。線性代數(shù)課程教學(xué)應(yīng)當(dāng)結(jié)合實際問題數(shù)學(xué)模型的解決方案，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。本文通過對線性方程組進(jìn)行一題多解的解析，闡述了數(shù)學(xué)思維在教學(xué)中的作用，使學(xué)生從多角度加深了對數(shù)學(xué)抽象概念的理解，重新感受了數(shù)學(xué)的無窮魅力，進(jìn)而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);數(shù)學(xué)模型;一題多解;數(shù)學(xué)思維

DOI：10.12249/j.issn.1005-4669.2020.27.306

1 前言

線性代數(shù)[1，2]是高等學(xué)校理工科專業(yè)學(xué)生必修的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的重要工具。隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”、人工智能（AI）等科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的發(fā)展，線性代數(shù)已滲透到經(jīng)濟(jì)、金融、信息、社會等各個領(lǐng)域，成為在校大學(xué)生最有用和最有趣的數(shù)學(xué)課程之一。線性代數(shù)課程理論深邃、概念繁雜抽象、晦澀難懂且知識點又彼此相互聯(lián)系。因此，本文將從學(xué)生熟知線性方程組，通過一題多解入手，使學(xué)生加深了對線性代數(shù)抽象概念的理解，并且對學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到良好的拓寬和培養(yǎng)，從而使他們提高了學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣并終生受益。

2 一題多解是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有效途徑

數(shù)學(xué)模型? ?求解線性方程組

以上數(shù)學(xué)模型是典型的三元一次非齊次線性方程組求解問題，根據(jù)對實際問題和數(shù)學(xué)問題研究的需要，我們需要考慮以下幾個問題：

1）線性方程組是否有解？有解時，有多少個解？

2）線性方程組的解不唯一時，解得結(jié)構(gòu)如何？

3）如何求線性方程組的解？

4）采用哪種算法能夠快捷、方便、有效的求解該數(shù)學(xué)模型？

面對問題能學(xué)會思考、體會、聯(lián)想、感悟等情感思維，將數(shù)學(xué)的思維轉(zhuǎn)化為發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題等能力時，數(shù)學(xué)科學(xué)的真諦才真正得以體現(xiàn)。

下面通過對數(shù)學(xué)模型一題多解的解析思路，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思維方式的熏陶，日積月累，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成有顯著的提高。

（這里Dj（j=1，2，3）是把系數(shù)行列式D的第j列的元素替換為方程組（1.1）的常數(shù)項所得到的3階行列式）

顯然，用克拉默求解線性方程組計算量大且有諸多條件限制。例如，當(dāng)系數(shù)行列式D=0時或方程組中方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)不相等時，克拉默法則失效等。

解題思路2? ? 逆矩陣法

由矩陣乘法的定義，可將線性方程組（1.1）寫成矩陣方程式：

其中為系數(shù)矩陣，為未知數(shù)矩陣，

為常數(shù)項矩陣。

因|A|=3≠0，故A可逆，于是，即

得到矩陣方程（1.2）的解為。

上述利用逆矩陣方法求解線性方程組，也要檢驗求解的題目是否滿足制約條件，且計算量大，因此該方法并不具有一般性和推廣性。

解題思路3? ? 高斯（Gauss）—約當(dāng)（Jrodan）算法

該算法其實質(zhì)就利用初等行變換求解線性方程組，這種算法更具有普遍性和推廣性。其具體的做法是先運(yùn)用矩陣的初等行變換將

增廣矩陣[a，b]階梯陣[J，β]，然后利用系數(shù)矩陣的

秩R（A）與增廣陣的秩R（A，b）二者之間的關(guān)系判斷出線性方程組解的情況，如果方程組有解，繼續(xù)將階梯陣[J，β]行最簡形陣

最后將最簡形陣對應(yīng)的線性方程組中的主變量用自由未知量線性表示，即得矩陣方程（1.2）的通解。因此我們有：

即得

解題思路4? 數(shù)學(xué)模型的MATLAB實現(xiàn)及其直觀印象

MATLAB[3]主要用于數(shù)值計算，計算速度十分快捷。以數(shù)學(xué)模型（1.1）為載體，以計算機(jī)為工具，以數(shù)學(xué)軟件MATLAB為平臺，以學(xué)生為主體，由學(xué)生自己動手、動腦去“玩”計算機(jī)，去理解數(shù)學(xué)中的抽象概念和結(jié)論，在實踐中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維解決實際問題有很大的幫助。

其MATLAB程序如下：

clear;

A=[1 -1 -1;2 -1 -3;3 2 -5];

b=[2;1;0];

X=A＼b

輸出結(jié)果：

X=

5.0000

-0.0000

3.0000

然后，采用圖形的方法求解，具體用MATLAB做出問題模型的曲線圖，得到一個直觀的印象，如圖1所示。

其MATLAB程序如下：

clear;

[x，y]=meshgrid（0：0.1：5）;

z1=x-y-2;

z2=（2*x-y-1）./3;

z3=（3*x+2*y）./5;

mesh（x，y，z1）

hold on

mesh（x，y，z2）

hold on

mesh（x，y，z3）

顯而易見，MATLAB數(shù)學(xué)軟件、線性代數(shù)理論的有機(jī)結(jié)合并應(yīng)用于解決實際問題之中，簡單、快速、便捷、高效，優(yōu)勢凸顯，對培養(yǎng)大學(xué)生的計算和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)十分必要。

3 結(jié)束語

針對以上數(shù)學(xué)模型，本文運(yùn)用四種方法進(jìn)行了分析、求解、對比，既讓學(xué)生掌握了線性代數(shù)這門課的基礎(chǔ)知識和基本方法，又培養(yǎng)了他們學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維與方法去解決實際問題，從而得出經(jīng)驗，并根據(jù)經(jīng)驗歸納出合適的的解決問題的思路、辦法，這就是數(shù)學(xué)思維，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真正的用意。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[第六版][M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]丘維聲.高等代數(shù)[第二版][M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]卓金武，李必文等.MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[第二版][M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2014.