于水源 鮑勇 徐美林

摘 要 高等數(shù)學(xué)是大學(xué)教育的公共基礎(chǔ)課，同時(shí)是工科、理科、財(cái)經(jīng)類研究生考試的基礎(chǔ)科目，為學(xué)生今后的專業(yè)課學(xué)習(xí)打下夯實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。極限思想在高等數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，本文以引入，舉例，總結(jié)定義，快速幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)列極限課程教學(xué)中的重難點(diǎn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，并且教師可以從知識(shí)的來(lái)源與內(nèi)涵中發(fā)掘課程的思政元素，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞 思政元素 數(shù)列極限 收斂

中圖分類號(hào)：G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.12.018

Abstract Advanced mathematics is a public basic course in university education， and also a basic subject for postgraduate examination of engineering， science and finance. It lays a solid foundation for students' future professional study and cultivates students' ability to analyze and solve problems. Limit thought plays an important role in higher mathematics. This paper introduces， exemplifies， summarizes the definition to help students quickly to understand and master the key and difficult points in the teaching of sequence limit course， improve students' learning quality， and teachers can explore the ideological and political elements of the course from the source and connotation of knowledge， so as to promote the overall development of students.

Keywords ideological and political elements; sequence limit; convergence

我們?cè)谟^察各種自然現(xiàn)象或研究實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，會(huì)遇到許多的量，這些量一般可分為兩種：一種是在考察的過(guò)程中保持不變的量，這種量被稱為常量。還有一種是在這一過(guò)程中會(huì)起變化的量，稱為變量。初等數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是常量，高等數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是變量。在同一現(xiàn)象中所碰到的各種變量里，通常并不是獨(dú)立變化的，它們之間存在著依賴關(guān)系，這種依賴關(guān)系就是函數(shù)。極限方法是研究變量的基本方法，也是高等數(shù)學(xué)的核心。

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1教學(xué)背景

數(shù)列極限這個(gè)概念是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)所必備的知識(shí)。極限也是從初等數(shù)學(xué)的思維方式到高等數(shù)學(xué)的思維方式的轉(zhuǎn)變，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等眾多領(lǐng)域。

1.2教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：理解數(shù)列極限的概念，了解極限的廣泛應(yīng)用，掌握利用極限的思想解決實(shí)際問(wèn)題的步驟，并能簡(jiǎn)單的證明數(shù)列極限。能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的抽象性、邏輯性以及嚴(yán)謹(jǐn)性的能力。素質(zhì)目標(biāo)：提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索知識(shí)，多問(wèn)幾個(gè)為什么，不盲從、學(xué)以致用。

1.3教學(xué)的重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)列極限定義的理解，啟發(fā)學(xué)生對(duì)于問(wèn)題要抓住本質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：如何從變化趨勢(shì)的角度，來(lái)理解數(shù)列極限的定義。

1.4思路設(shè)計(jì)（圖1）

1.5板書(shū)設(shè)計(jì)

45分鐘的課堂教學(xué)需要使用黑板（如圖2所示），多媒體翻頁(yè)后，黑板上的標(biāo)題會(huì)讓學(xué)生有清楚的思路。配合課件書(shū)寫(xiě)一些并不復(fù)雜的演算過(guò)程，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果。

2 教學(xué)過(guò)程

2.1問(wèn)題的引入

通過(guò)介紹我國(guó)古代思想家莊子，激發(fā)學(xué)生的民族自尊心和愛(ài)國(guó)主義思想情感。整節(jié)課以教師為主導(dǎo)，根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，以學(xué)生為主體，啟發(fā)學(xué)生的思維為主線。

春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的莊子在《莊子天下篇》中對(duì)“截杖問(wèn)題”有一段名言：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，有一根一尺長(zhǎng)的木棒，第一天，截取木棒的，第二天，截取木棒的，……，第天，截取木棒的，……，這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限制的進(jìn)行下去，雖然是無(wú)盡止的，但是可以看到，隨著的無(wú)限增大，這一系列變量，，… ，，…，是越來(lái)越接近0的，為了研究這種性質(zhì)，首先引入概念數(shù)列，數(shù)列是一系列可以無(wú)限延長(zhǎng)的數(shù)字排列，數(shù)列是特殊的函數(shù)，定義域是正整數(shù)集，值域是實(shí)數(shù)集。這里為一個(gè)數(shù)列。

2.2問(wèn)題的分析

我們來(lái)看以下的四個(gè)數(shù)列：

簡(jiǎn)單分析一下這幾個(gè)數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列，隨著項(xiàng)數(shù)的不斷增加，數(shù)列從1的兩側(cè)越來(lái)越接近1，越來(lái)越接近2，第三個(gè)第四個(gè)數(shù)列沒(méi)有這種特性。

一般地，我們說(shuō)對(duì)于數(shù)列，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，能無(wú)限地接近某一個(gè)常數(shù)，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列{}，常數(shù)稱為它的極限。不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂數(shù)列，稱為發(fā)散數(shù)列。

那么如何用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描繪這種特性，來(lái)看這個(gè)數(shù)列，

（1）首先：隨著項(xiàng)數(shù)的增加，越來(lái)越接近2。

（2）換句話說(shuō)：當(dāng)不斷增大時(shí)，和2的差的絕對(duì)值越來(lái)越接近0。

（3）也就是說(shuō)：當(dāng)相當(dāng)大時(shí)，和2的差的絕對(duì)值將相當(dāng)小。

將這句話抽象的概括出來(lái)就是數(shù)列極限的定義。

2.3 數(shù)列極限的定義

設(shè)為數(shù)列，為給定的實(shí)數(shù)。若對(duì)任給的>0，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)，

則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)為數(shù)列的極限，記

讀作當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，的極限等于，或趨于。

2.4 數(shù)列極限定義中要注意的四個(gè)問(wèn)題

（1）為任意小的正數(shù)，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)被確定下來(lái)，以便依靠求出。

（2）等等同樣也是任意小的正數(shù)。（但是，不是任意小的正數(shù)，）。

（3）的表達(dá)式不唯一，比如充分大的正數(shù)，為充分小的正數(shù)。

（4）是相應(yīng)存在而存在的，暫時(shí)固定，確定相應(yīng)，與有關(guān)，但不是的函數(shù)。

2.5 用定義證明極限存在的步驟

2.6典型例題

因此以為極限，就是對(duì)任意給定的一個(gè)開(kāi)區(qū)間（，+），第項(xiàng)以后的一切數(shù)（無(wú)窮多項(xiàng)）全部落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，落在開(kāi)區(qū)間（，+）外的只有有限項(xiàng)。

可以看出，數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)以后有關(guān)，而與它前面的有限項(xiàng)無(wú)關(guān)。因此，在討論數(shù)列極限時(shí)，可以添加、去掉或改變它的有限項(xiàng)的數(shù)值，對(duì)數(shù)列的收斂性和極限值都不會(huì)發(fā)生影響。

4 收斂數(shù)列的性質(zhì)

注（1）若每一個(gè)部分的極限都存在，則其代數(shù)和、乘積、商的極限都存在，且可以把極限符號(hào)分給每一個(gè)部分。

（2）如果有一個(gè)部分極限不存在，則其代數(shù)和的極限不存在，乘積、商的極限不確定。

（3）如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上的部分極限不存在，則其代數(shù)和、乘積、商的極限都不確定。

定理7（絕對(duì)收斂性）（反推不回去）。

5 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

定義2 若，則稱為無(wú)窮小數(shù)列（或稱之為無(wú)窮小量）。

定理 數(shù)列收斂于的充要條件是為無(wú)窮小數(shù)列。

注 無(wú)窮小量的本質(zhì)是一個(gè)變量，而不是一個(gè)數(shù)值或很小的數(shù)。

定義3 若數(shù)列滿足：對(duì)任意正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有

由例1知，當(dāng)時(shí)有。于是，當(dāng)時(shí)，上式除了分子分母的第一項(xiàng)分別為與外，其余各項(xiàng)的極限皆為0，故此時(shí)所求的極限等于;當(dāng)時(shí)，由于，故此時(shí)所求的極限等于0。當(dāng)，為無(wú)窮大量。綜上所述，得到

6 數(shù)列極限的應(yīng)用

意大利的數(shù)學(xué)家斐波那契，他在1202年提出了一組特殊的數(shù)列，

這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。

在許多植物身上也有斐波那契數(shù)列的身影，比如松果。松果的表面是由順時(shí)針?lè)较蚵菪[片和逆時(shí)針?lè)较蚵菪[片纏繞而組成，順時(shí)針?lè)较蚵菪龜?shù)和逆時(shí)針?lè)较蚵菪龜?shù)始終是斐波那契數(shù)列中兩個(gè)挨著的數(shù)字，比如5-8型或者13-21型，但是絕不會(huì)找到6-9型或者8-11型之類的松果。

如今，斐波那契數(shù)列仍然被用來(lái)表示種群的動(dòng)態(tài)，探討隨著時(shí)間的推移，動(dòng)物種屬在生態(tài)系統(tǒng)下的變化。我們?cè)谘芯孔兞康淖兓^(guò)程中，構(gòu)造數(shù)學(xué)建模依然會(huì)用到數(shù)列，已廣泛應(yīng)用于植物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及氣象學(xué)等眾多領(lǐng)域?qū)W科。

7 教學(xué)實(shí)施情況小結(jié)及效果分析

本次的教學(xué)設(shè)計(jì)符合本科一年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和實(shí)際水平，教師以古人莊子開(kāi)始教學(xué)內(nèi)容，將課程思政元素融入數(shù)列極限的學(xué)習(xí)當(dāng)中，有助于掌握本次的學(xué)習(xí)內(nèi)容。理解數(shù)列極限的概念，領(lǐng)會(huì)極限的思想，更好的掌握數(shù)列極限，使學(xué)生將枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)與鮮活的生活結(jié)合起來(lái)，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和獨(dú)立思考的能力，更好的完成教學(xué)目標(biāo)。

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