摘 ? 要?公式教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)載體。在分析公式教學(xué)的一般特征及學(xué)習(xí)心理、公式教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的“三線四環(huán)節(jié)”公式教學(xué)模式，并分析了模式內(nèi)涵，給出了各環(huán)節(jié)的具體操作建議，為數(shù)學(xué)教師依據(jù)數(shù)學(xué)素養(yǎng)開(kāi)展公式教學(xué)實(shí)踐提供理論支撐與實(shí)踐參考。

關(guān)鍵詞?核心素養(yǎng) ?公式教學(xué) ?三線四環(huán)節(jié) ?教學(xué)模式

發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)已然成為當(dāng)今教育的熱點(diǎn)，它是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是深化基礎(chǔ)教育改革的指導(dǎo)方向。發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)離不開(kāi)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。所謂學(xué)科核心素養(yǎng)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐漸形成的、適合個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力[1]。它既能在學(xué)生身上體現(xiàn)和落實(shí)一門(mén)學(xué)科獨(dú)特的教育價(jià)值，又能對(duì)人的核心素養(yǎng)發(fā)展帶來(lái)獨(dú)特貢獻(xiàn)和作用，它不僅體現(xiàn)了學(xué)科自身的專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，也體現(xiàn)了學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的通適基礎(chǔ)[2]。數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)[1]。作為“必備品格”和“關(guān)鍵能力”交融而成的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要還是在知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程中逐漸形成和發(fā)展起來(lái)的，知識(shí)的學(xué)習(xí)無(wú)疑是核心素養(yǎng)生成的基礎(chǔ)[3]。自然而然會(huì)產(chǎn)生這樣的問(wèn)題：數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何將知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為有利于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的學(xué)習(xí)樣態(tài)，使學(xué)生理解學(xué)科本質(zhì)的同時(shí)，獲得個(gè)人素養(yǎng)的全面發(fā)展？

數(shù)學(xué)命題教學(xué)是指數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則、數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)等的教學(xué)，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。其中，數(shù)學(xué)公式稱(chēng)為程序性命題，其實(shí)質(zhì)是解決一類(lèi)問(wèn)題的規(guī)則和程序[4]。按傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)公式是一種“作為事實(shí)”的客觀存在，是“人類(lèi)的認(rèn)識(shí)成果”，是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上產(chǎn)生又經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)的對(duì)客觀實(shí)際的反映。然而對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)而言，公式卻不應(yīng)只是事實(shí)、規(guī)則和程序，它應(yīng)是可研討、可批判、可再創(chuàng)造的對(duì)象[5]。因此，本文擬在分析公式教學(xué)的一般特征及學(xué)習(xí)心理、公式教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的公式教學(xué)，以此打開(kāi)學(xué)生學(xué)習(xí)與素養(yǎng)發(fā)展的內(nèi)部轉(zhuǎn)換過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，同時(shí)促使教師教育理念的更新和教學(xué)行為的改進(jìn)。

一、公式教學(xué)的一般特征及學(xué)習(xí)心理

一般情況下，公式教學(xué)可分為公式的獲得、證明和應(yīng)用三個(gè)階段。其中，公式的獲得常有以下三種教學(xué)方式：第一，直接展示公式。比如學(xué)習(xí)幾何概型定義后，直接給出其概率計(jì)算公式。第二，展示公式的部分內(nèi)容，再探索獲得完整公式。比如學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式，先明確要解決問(wèn)題，再探究其展開(kāi)結(jié)果。第三，通過(guò)考察公式的特例，抽象、概括、歸納出公式。例如學(xué)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，先觀察特例，再類(lèi)比歸納一般公式。從學(xué)習(xí)心理上看，方式一可看作是公式的同化。學(xué)生應(yīng)先將原有觀念與公式中的各有關(guān)概念聯(lián)系起來(lái)，得到刺激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，再將激活的結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來(lái)，然后將新公式納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改組和加工，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu);后兩種方式可理解為公式的形成，學(xué)生根據(jù)已有信息，經(jīng)歷辨認(rèn)、分化、假設(shè)、驗(yàn)證、抽象、概括等系列認(rèn)知加工過(guò)程，進(jìn)而獲得公式[4]。公式證明中，學(xué)生需激活與公式相關(guān)的概念、命題，再通過(guò)評(píng)判、選擇適合的結(jié)點(diǎn)，探索連接條件和結(jié)論的通路[4]。應(yīng)用公式時(shí)，只需將其與待解決問(wèn)題進(jìn)行模式識(shí)別，按照既定規(guī)則和程序操作即可[4]。

盡管公式教學(xué)環(huán)節(jié)簡(jiǎn)明，有規(guī)可循，但這主要是基于知識(shí)本位的教育立場(chǎng)分析公式教學(xué)的特征，忽視了學(xué)生主體和素養(yǎng)本位的教育立場(chǎng)。例如，公式同化過(guò)程中，如果學(xué)生沒(méi)有對(duì)學(xué)習(xí)信息進(jìn)行主動(dòng)的篩選、比較、價(jià)值評(píng)判，就有可能導(dǎo)致機(jī)械學(xué)習(xí)[4]。又如在公式證明中，若學(xué)生無(wú)法建立知識(shí)間的關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，或結(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)線長(zhǎng)、關(guān)聯(lián)強(qiáng)度弱，則無(wú)法形成證明通路。而應(yīng)用公式時(shí)，公式并非總與問(wèn)題情景完美匹配，很多時(shí)候需要對(duì)公式或問(wèn)題進(jìn)行系列轉(zhuǎn)換。這顯然不是簡(jiǎn)單的程序操作，需要抽象理解、推理運(yùn)算，甚至還包含“頓悟”的靈感。所以，要使公式表象進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶進(jìn)而形成體系，內(nèi)化為系統(tǒng)邏輯結(jié)構(gòu)和優(yōu)秀思維品質(zhì)，顯然需要進(jìn)行深入的教學(xué)思考。

二、公式教學(xué)的現(xiàn)狀分析

知識(shí)立場(chǎng)和教學(xué)習(xí)慣傾向受教育價(jià)值觀的影響。從長(zhǎng)期以來(lái)的課堂教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，教師的教育價(jià)值觀主要受到兩個(gè)方面的影響：首先，以升學(xué)率為指揮棒的價(jià)值取向使得教育走向功利。社會(huì)、學(xué)校、家長(zhǎng)對(duì)分?jǐn)?shù)和名校的追逐，忽視了教育的本真意義和價(jià)值。其次，受“工具邏輯”的影響，人們發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的同時(shí)也在一定程度上為學(xué)生設(shè)定了一個(gè)成人視域下的目標(biāo)，就好比將學(xué)生的培養(yǎng)放在了“預(yù)定軌道”，結(jié)果是壓抑了人的生態(tài)成長(zhǎng)[6]。這就導(dǎo)致了公式教學(xué)發(fā)展的兩種傾向：第一，公式教學(xué)陷入“一背二套三應(yīng)用”的模式。重視公式表層的符號(hào)語(yǔ)言和結(jié)構(gòu)特征，較少關(guān)注公式的背景和形成過(guò)程;追求公式證明的多解和奇解，忽略對(duì)思想方法深度和廣度的挖掘;熱衷于公式的變形和應(yīng)用，缺乏系統(tǒng)梳理邏輯依據(jù)和價(jià)值意義;過(guò)分強(qiáng)調(diào)教師講授，忽視學(xué)生的參與體驗(yàn)。第二，課堂教學(xué)流于形式，缺乏深度。所謂一些活動(dòng)豐富的課堂，無(wú)非就是根據(jù)教師臆想的難點(diǎn)、預(yù)設(shè)的環(huán)節(jié)按部就班，又或是個(gè)別優(yōu)等生的獨(dú)角戲。

因此，為擺脫功利應(yīng)試下題海戰(zhàn)術(shù)的“束縛”，走出應(yīng)試教育的“牢籠”，促使公式學(xué)習(xí)與學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的“相遇”，探索如下“三線四環(huán)節(jié)”公式教學(xué)模式，使學(xué)生能夠充分參與到知識(shí)的學(xué)習(xí)中來(lái)，并成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者、擁有者和貢獻(xiàn)者。

三、“三線四環(huán)節(jié)”公式教學(xué)模式內(nèi)涵及環(huán)節(jié)分析

1.模式內(nèi)涵分析

喻平教授認(rèn)為，知識(shí)的理解、知識(shí)的遷移、知識(shí)的創(chuàng)新是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三級(jí)表現(xiàn)形態(tài)[7]。對(duì)應(yīng)到公式教學(xué)，關(guān)鍵是解決兩個(gè)層面的問(wèn)題：知識(shí)理解層面，如何把握公式的本質(zhì)內(nèi)涵和系統(tǒng)邏輯結(jié)構(gòu)、如何挖掘資源促進(jìn)知識(shí)的創(chuàng)造和思維的創(chuàng)新;教學(xué)操作層面，如何觸發(fā)學(xué)生內(nèi)源性學(xué)習(xí)目標(biāo)和動(dòng)力，如何提供學(xué)生獨(dú)立思考和對(duì)話協(xié)作的空間平臺(tái)?；诖?，構(gòu)建了如圖1所示的“三線四環(huán)節(jié)”公式教學(xué)模式。其中，“四環(huán)節(jié)”按順序分別是課前探究、成果展示、自評(píng)互評(píng)、遷移拓展。“三線”是圍繞四環(huán)節(jié)發(fā)展的三條“暗線”，即學(xué)線、教線、問(wèn)題線。具體來(lái)講，以“課前探究”作為學(xué)生自主學(xué)習(xí)、深度思考的時(shí)空保障，以“成果展示”作為溝通對(duì)話、協(xié)作互助的交流平臺(tái)，以“自評(píng)互評(píng)”作為學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)改進(jìn)的長(zhǎng)效機(jī)制，以“遷移拓展”作為形成能力，提升素養(yǎng)的價(jià)值體現(xiàn)。這四環(huán)節(jié)并非將教學(xué)割裂孤立，四環(huán)節(jié)之間有著深度的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，而聯(lián)系樞紐就是圍繞公式內(nèi)化、整合、外化而形成的“問(wèn)題線”，圍繞“學(xué)什么”“怎么學(xué)”所形成的“學(xué)線”，還有圍繞“教什么”“怎么教”所形成的“教線”。“三線”中，又以“學(xué)線”為主體，“問(wèn)題線”為核心，“教線”為主導(dǎo)，“教線”通過(guò)“問(wèn)題線”作用于“學(xué)線”，又服務(wù)于“學(xué)線”，“學(xué)線”通過(guò)“問(wèn)題線”反饋“教線”，又改進(jìn)“教線”[8]，三者相依相存，支撐四環(huán)節(jié)的展開(kāi)與深入，使得整個(gè)教學(xué)成為一個(gè)有機(jī)的整體。

2.模式各環(huán)節(jié)分析

（1）課前探究

章建躍博士指出：“學(xué)習(xí)歸根到底是自己的事情，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，學(xué)會(huì)思考，進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界。”[9]然而，受限于教學(xué)時(shí)間和進(jìn)度安排，很多時(shí)候的公式教學(xué)只提供三、五分鐘的課堂探究，學(xué)生顯然無(wú)法深入思考，教師也無(wú)法了解真實(shí)學(xué)情。因此，對(duì)于公式教學(xué)，可以安排學(xué)生課前思考。這一環(huán)節(jié)并非簡(jiǎn)單預(yù)習(xí)，學(xué)生需明確學(xué)習(xí)任務(wù)，經(jīng)歷思維沖突，探索解決方法，而這些體驗(yàn)正是思維發(fā)展的搖籃，是教師無(wú)法替代和傳授的。同時(shí)，這一環(huán)節(jié)是讓學(xué)生“學(xué)然后知不足”的重要途徑，讓教師“教然后知困”的有力手段，是教學(xué)返璞歸真，有的放矢的必備基礎(chǔ)。當(dāng)然，為落實(shí)這一環(huán)節(jié)，教師應(yīng)把握目標(biāo)性、啟發(fā)性、量力性、循序漸進(jìn)性等原則，精心設(shè)計(jì)探究任務(wù)，確保探究任務(wù)的有效、可行性。

課程教學(xué)改革所倡導(dǎo)的“學(xué)生為主體”的理念已被廣大教師接受，但在尊重學(xué)生主體地位的同時(shí)，往往容易忽略“教師主導(dǎo)”。課前探究并非是讓學(xué)生“天馬行空”的思索，而是積極發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，圍繞教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu)，考慮學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，有目的、有計(jì)劃地設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，以此給學(xué)生創(chuàng)造有意義的思考空間。在“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的學(xué)習(xí)中，“復(fù)習(xí)”是基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，通過(guò)類(lèi)比終邊相同角的三角函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，為誘導(dǎo)公式的系統(tǒng)化做鋪墊。

（2）成果展示

成果展示環(huán)節(jié)鼓勵(lì)學(xué)生“大聲思維”，展示思維過(guò)程，表達(dá)觀點(diǎn)態(tài)度。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生形成“善表達(dá)”的意識(shí)和生成“批判學(xué)”的科學(xué)精神有著積極的作用。當(dāng)然，為保障學(xué)生清晰準(zhǔn)確地表達(dá)觀點(diǎn)，教師有針對(duì)性地評(píng)價(jià)和組織討論，需要教師在課前批閱學(xué)生的課前探究作業(yè)，了解學(xué)生想法、厘清學(xué)生錯(cuò)誤、思索學(xué)生疑惑，并以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為起點(diǎn)，設(shè)計(jì)教學(xué)方案，引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識(shí)間實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)的發(fā)生。這正如奧蘇貝爾所強(qiáng)調(diào)的：“影響學(xué)習(xí)的唯一重要因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)以此進(jìn)行教學(xué)。”同時(shí)，教師要根據(jù)學(xué)生作業(yè)情況對(duì)全班進(jìn)行分組，引導(dǎo)小組合作學(xué)習(xí)。心理學(xué)家溫勒的群體動(dòng)力理論認(rèn)為，在群體中，只要有別人在場(chǎng)，一個(gè)人的思想行為就同他單獨(dú)一個(gè)人時(shí)有所不同，會(huì)受到其他人的影響。協(xié)作學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)相互磋商，不斷啟發(fā)思維，導(dǎo)向深知。

在成果展示環(huán)節(jié)，教師先針對(duì)全班梳理問(wèn)題，展示典型解決方式;再由各組代表分別匯報(bào)小組成果，同時(shí)提出問(wèn)題或困惑。學(xué)生代表發(fā)言時(shí)，其他學(xué)生傾聽(tīng)，記錄，并積極思考、討論、補(bǔ)充、完善。這一期間，如果學(xué)生講解不對(duì)或深度不夠，教師可進(jìn)行及時(shí)的糾正、點(diǎn)撥。最后由教師總結(jié)各組發(fā)言，并給出解決疑惑、改進(jìn)優(yōu)化的思路或操作。整個(gè)過(guò)程，圍繞解“學(xué)生之所疑”，釋“學(xué)生之所惑”而不斷深入，伴隨著師生間想法的欣賞和認(rèn)同、觀點(diǎn)的沖突與爭(zhēng)鳴，學(xué)生并非被老師的問(wèn)題牽著走，老師也不會(huì)因?qū)W生的發(fā)言而失去調(diào)控。

例如在學(xué)習(xí)“正整數(shù)平方和公式”時(shí)，學(xué)生通過(guò)對(duì)公式證法的交流展示，一方面深刻體會(huì)到公式的豐富內(nèi)涵：數(shù)量關(guān)系上研究了數(shù)列的前n項(xiàng)和;空間形式上蘊(yùn)含了“正方形數(shù)”、“三角形數(shù)”及其關(guān)系;推理方法上既有歸納類(lèi)比的合情推理，又有分析綜合的演繹推理，具體涉及公式法、分組求和、裂項(xiàng)相消等多種數(shù)列求和方法，滲透整體、對(duì)稱(chēng)和模型思想。另一方面發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。盡管交流展示中有解答的困惑、方向的迷茫，但學(xué)生在分享對(duì)話中實(shí)現(xiàn)著知識(shí)意義的建構(gòu)，在困難挑戰(zhàn)中超越了自我。

（3）自評(píng)互評(píng)

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)不但是及時(shí)了解學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要手段和途徑，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容和策略，是學(xué)習(xí)活動(dòng)不可或缺的組成部分[10]。斯塔弗爾比姆指出：“評(píng)價(jià)最重要的意圖不是為了證明，而是為了改進(jìn)?！彼沟俳鹚挂舱J(rèn)為：“如果評(píng)價(jià)不能在日常的課堂實(shí)踐中有效地運(yùn)行，那么其他層面的評(píng)價(jià)完全是浪費(fèi)時(shí)間和金錢(qián)?！闭归_(kāi)課堂學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)就是為了全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)[2]。

評(píng)價(jià)中應(yīng)注意把握幾個(gè)關(guān)鍵：保證評(píng)價(jià)主體的多元化、重視評(píng)價(jià)目標(biāo)的多維化、關(guān)注評(píng)價(jià)內(nèi)容的多樣化。首先，改變教師單一評(píng)價(jià)的方式，提倡學(xué)生自我評(píng)價(jià)、組內(nèi)及全班同學(xué)互相評(píng)價(jià)、教師評(píng)定等共同參與的評(píng)價(jià)方式。這樣既保證了學(xué)生的主體地位，也促進(jìn)了生生、師生間的溝通融合。其次，摒棄“只重結(jié)果，不看過(guò)程”的單一評(píng)價(jià)目標(biāo)，即不能只關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平與結(jié)果，也要關(guān)注學(xué)生在課前探究及成果展示中所表現(xiàn)出來(lái)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀，讓評(píng)價(jià)成為學(xué)生有益的經(jīng)歷。比如，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情，肯定學(xué)生不畏挫折的勇氣。最后，評(píng)價(jià)內(nèi)容不僅要涉及學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程中所反映出的知識(shí)和技能，也要關(guān)注學(xué)生在問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)交流等方面的體驗(yàn)，比如贊賞學(xué)生為解決問(wèn)題所展示的獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)思維，評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用水平等等?？偟恼f(shuō)來(lái)，評(píng)價(jià)既是對(duì)前面環(huán)節(jié)的總結(jié)和反思，也是對(duì)后續(xù)環(huán)節(jié)的預(yù)測(cè)和調(diào)控，它幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我、悅納自我，并增強(qiáng)自我監(jiān)控、調(diào)整意識(shí)，這對(duì)提高學(xué)生元認(rèn)知水平具有積極意義。

（4）遷移拓展

遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響[4]，拓展是在此影響的基礎(chǔ)上，認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)所發(fā)生的質(zhì)的變化.如果說(shuō)前幾個(gè)階段是對(duì)公式學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備階段，那遷移則是提高認(rèn)知、積累經(jīng)驗(yàn)的起步階段，而拓展就是充實(shí)和完善個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的深化階段。對(duì)數(shù)學(xué)公式的遷移拓展并非是簡(jiǎn)單的規(guī)則套用和程序操作，也并非只是圍繞公式的文本拓展，它是知識(shí)方法體系的建構(gòu)，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的擴(kuò)張，是數(shù)學(xué)能力發(fā)展的歸宿。鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能使它們逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！被诖?，可考慮以下幾個(gè)層次的遷移拓展。

首先，組織學(xué)生總結(jié)反思。這是提高學(xué)習(xí)效率、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的重要策略[10]。它不僅幫助學(xué)生了解公式的來(lái)源與背景、把握公式的本質(zhì)與規(guī)律、領(lǐng)悟推證的思想與方法，更為學(xué)生形成穩(wěn)定的公式體系奠定基礎(chǔ)。拉卡托斯就曾指出：一個(gè)命題的確認(rèn)，是經(jīng)過(guò)了反復(fù)的猜想和批評(píng)、證明與反駁而逐漸發(fā)展形成的[11]。其次，圍繞教材內(nèi)容展開(kāi)拓展。教材是連接課程方案與教學(xué)實(shí)踐的樞紐，是教師教和學(xué)生學(xué)的載體[12]。對(duì)教材部分例題、習(xí)題的變式、推廣、改編，形成問(wèn)題系列，對(duì)增強(qiáng)學(xué)生在解決問(wèn)題中的模式識(shí)別、策略選擇、激活擴(kuò)散等信息加工能力有深遠(yuǎn)影響[4]。最后，引導(dǎo)學(xué)生課后探究。教學(xué)永遠(yuǎn)是一門(mén)缺憾的藝術(shù)，短暫的課堂時(shí)間無(wú)法滿足數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)知識(shí)的渴望和追求。鼓勵(lì)學(xué)生課后多元表征公式、探究多種證明推導(dǎo)方法，多視角變式推廣公式，以此挖掘?qū)W生潛力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和批判精神。正如弗萊登塔爾所說(shuō)：“即使是兒童，也已經(jīng)具有某種‘潛在的發(fā)現(xiàn)能力，它們的思維和行為方式已經(jīng)具備了某些教師甚至研究人員的特征?！?/p>

四、結(jié)束語(yǔ)

核心素養(yǎng)概念是對(duì)“教育應(yīng)該培養(yǎng)什么樣的人”的具體回答[13]。事實(shí)上，在關(guān)注人的素養(yǎng)發(fā)展、推進(jìn)人的素養(yǎng)發(fā)展與時(shí)代發(fā)展需求相融合的進(jìn)程中，“怎樣培養(yǎng)人”比“培養(yǎng)怎樣的人”更重要，“怎么教”“怎么學(xué)”比“教什么”“學(xué)什么”更重要[6]。這正如畢達(dá)哥拉斯所說(shuō)，在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道了什么，而是我們?cè)趺粗朗裁??！叭€四環(huán)節(jié)”公式教學(xué)模式通過(guò)各環(huán)節(jié)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，將對(duì)公式學(xué)習(xí)的內(nèi)容問(wèn)題化，情境化，并利用課前獨(dú)立思考、課中學(xué)生協(xié)作、師生對(duì)話、課后遷移拓展等途徑實(shí)現(xiàn)了知識(shí)學(xué)習(xí)途徑的翻轉(zhuǎn)，充分肯定了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，發(fā)揮了教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者的角色功能，不僅使得學(xué)生獲得了知識(shí)技能，更重要的是，幫助他們學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)了思考、學(xué)會(huì)了接納共處、學(xué)會(huì)了反思總結(jié)、學(xué)會(huì)了創(chuàng)新創(chuàng)造，這對(duì)提高學(xué)生的元認(rèn)知水平，發(fā)展可持續(xù)的學(xué)習(xí)能力，具有重要的意義。在課程改革不斷深入的今天，如何由“素養(yǎng)關(guān)懷”走向“教學(xué)關(guān)懷”，讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)生根落地并轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)行動(dòng)力，如何由“知識(shí)為本”轉(zhuǎn)向“學(xué)生為本”，將學(xué)科知識(shí)價(jià)值真正內(nèi)化為學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，還期待更多的理論探討和教學(xué)實(shí)踐積累。

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[作者：余小芬（1986-），女，四川內(nèi)江人，內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，副教授，碩士。]

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