鄒楚瑜

[提要] 天氣衍生品是交易資產(chǎn)為標(biāo)準(zhǔn)化的天氣指數(shù)的金融衍生工具。作為新型的天氣風(fēng)險(xiǎn)管理工具，其風(fēng)險(xiǎn)對沖的效果主要由定價模型的預(yù)測精度決定。因此，本文使用北京市近60年每日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，基于ARIMA模型擬合北京市平均氣溫動態(tài)變化過程，并結(jié)合蒙特卡洛模擬法對氣溫期貨進(jìn)行定價，考察ARIMA模型的預(yù)測精度。研究表明：ARIMA模型能夠較好地?cái)M合氣溫動態(tài)變化過程，并且以此為基礎(chǔ)得到的氣溫期權(quán)價格能夠較好地?cái)M合實(shí)際價格。

關(guān)鍵詞：天氣衍生品;ARIMA模型;蒙特卡羅模擬法

基金項(xiàng)目：河北省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目：“農(nóng)業(yè)信貸結(jié)構(gòu)、配置效率與河北省農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)增長”（編號：SD191051）

中圖分類號：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

收錄日期：2020年7月20日

一、引言

隨著全球氣候變暖的不斷加劇，極端天氣發(fā)生的頻率陡增，災(zāi)害破壞力不斷加大，各國基礎(chǔ)設(shè)施、民生和經(jīng)濟(jì)發(fā)展正在面臨日益凸顯的威脅。而中國是世界上自然災(zāi)害發(fā)生最為頻繁、災(zāi)害種類最多，造成損失最為嚴(yán)重的國家之一，其中干旱、暴雨洪澇、寒潮、臺風(fēng)等災(zāi)害對經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的威脅程度愈發(fā)升高，因此對于天氣風(fēng)險(xiǎn)的防范工作必須得到廣泛關(guān)注。相較于上述災(zāi)難性天氣對經(jīng)濟(jì)社會的毀滅性破壞，社會各界對于近年來出現(xiàn)的一般性天氣異?，F(xiàn)象的重視程度嚴(yán)重不足，例如連續(xù)多日高溫、雨季提前到來、暖冬等，這些現(xiàn)象對于一國經(jīng)濟(jì)的影響不像災(zāi)難性天氣那樣來得迅速、猛烈，但其無異于“溫水煮青蛙”，最終可能對一個行業(yè)或者整個經(jīng)濟(jì)社會產(chǎn)生難以估量的持久不可逆?zhèn)Α６覈壳皩τ谏鲜鲲L(fēng)險(xiǎn)的防控措施十分匱乏，進(jìn)入21世紀(jì)后，天氣保險(xiǎn)被廣泛地運(yùn)用于災(zāi)難性天氣的防控和賠償之中，但這種產(chǎn)品對于應(yīng)對一般性的天氣異常現(xiàn)象幾乎沒有任何幫助。因此，致力于對沖上述一般性天氣風(fēng)險(xiǎn)的天氣衍生品逐漸得到政府機(jī)構(gòu)和學(xué)術(shù)界的重視。

天氣衍生品是以氣溫、降雨量、風(fēng)力等氣象數(shù)據(jù)計(jì)算的天氣指數(shù)作為交易對象，用以防范宏觀、中觀和微觀經(jīng)濟(jì)主體所面臨的一般性天氣風(fēng)險(xiǎn)的新型金融衍生品。1997年發(fā)生的厄爾尼諾暖冬事件促使美國能源企業(yè)科赫與安然首次簽訂天氣互換合約，這是天氣衍生品迄今為止最早的場外交易記錄。1999年，天氣衍生品的場外交易規(guī)模迅速膨脹，倒逼芝加哥商品交易所（以下簡稱CME）設(shè)計(jì)并發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化的1月期氣溫指數(shù)期貨合約，由此天氣衍生品場內(nèi)交易市場正式建立。隨后逐漸推廣至歐洲其他發(fā)達(dá)國家資本市場、日本以及發(fā)展中國家之中，交易量迅速攀高。

定價研究是天氣衍生品研究的熱點(diǎn)。用于天氣衍生品定價的模型眾多，目前學(xué)界關(guān)于定價模型達(dá)成了一個共識，那就是傳統(tǒng)金融衍生工具的無套利定價理論在天氣衍生品定價領(lǐng)域不適用，因?yàn)樘鞖庋苌返慕灰踪Y產(chǎn)是不可交易的天氣指數(shù)，而不是可以實(shí)物交割的資產(chǎn)。此外，由于CME市場上流通的產(chǎn)品近90%都以溫度指數(shù)為交易資產(chǎn)，因此大多數(shù)學(xué)者的研究主要以溫度為標(biāo)的物的天氣衍生品為主，通過各種數(shù)理模型來預(yù)測氣溫的動態(tài)變動過程并為相應(yīng)的產(chǎn)品進(jìn)行定價。天氣衍生品的定價模型大致可分為以下兩類，即ARMA模型等傳統(tǒng)時間序列模型和均值回復(fù)模型。傳統(tǒng)的時間序列模型的基本實(shí)證過程較為相似，大體上是在剔除氣溫時間序列當(dāng)中的趨勢性因素和季節(jié)性因素的基礎(chǔ)上，使用ARMA模型等時間序列模型對殘差序列進(jìn)行建模，然后再結(jié)合蒙特卡洛模擬法對相應(yīng)產(chǎn)品定價。學(xué)界使用的均值回復(fù)模型基于氣溫的隨機(jī)變化在長期傾向于回歸均值水平的假設(shè)，通過不同的氣溫波動率，如日氣溫波動率和月氣溫波動率，結(jié)合Alaton（2000）提出的隨機(jī)微分方程（SDE）來構(gòu)建模型，最后再依靠蒙特卡羅仿真模擬法對相應(yīng)產(chǎn)品進(jìn)行定價。

當(dāng)前，國內(nèi)外學(xué)界在天氣衍生品領(lǐng)域研究的重心不同，國外主要集中于天氣衍生品定價問題的探索和改良，而國內(nèi)大多數(shù)學(xué)者當(dāng)前還停留在基礎(chǔ)的名片式定性研究當(dāng)中，研究進(jìn)展相對落后。因此，本文著眼于天氣衍生品定價研究在國內(nèi)的推廣，選擇北京市作為研究對象，基于ARIMA模型來擬合北京市的每日平均氣溫動態(tài)變化趨勢，并以此為基礎(chǔ)結(jié)合蒙特卡洛模擬法來對天氣期權(quán)開展定價研究。

二、數(shù)據(jù)與研究方法

（一）數(shù)據(jù)說明。本文選取北京市1960年1月1日至2018年12月31日的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)（消除閏年影響后，共計(jì)21，535個數(shù)據(jù)）作為實(shí)驗(yàn)組的數(shù)據(jù)樣本，2019年1月1日至2019年12月31日共計(jì)365個數(shù)據(jù)作為測試組的數(shù)據(jù)樣本。全部數(shù)據(jù)樣本均取自中國氣象局?jǐn)?shù)據(jù)共享網(wǎng)。

通過繪制氣溫變動趨勢圖來直觀地呈現(xiàn)氣溫在區(qū)間內(nèi)的變動情況，如圖1所示?？梢杂^察到平均氣溫存在明顯的周期性變化和緩慢的線性遞增趨勢，這意味著北京市的平均氣溫在近60年不斷的四季更迭中呈現(xiàn)出略微變暖的趨勢。（圖1）

（二）模型的設(shè)定。首先，根據(jù)傳統(tǒng)的時間序列分析理論將模型的基本形式設(shè)定為：

其中，Tt為日平均氣溫序列，St為氣溫變動的線性以及季節(jié)性趨勢變量，而Xt為剔除線性和季節(jié)因素后的隨機(jī)變量（殘差）。

從圖1不難發(fā)現(xiàn)，北京市近年來氣溫的變動趨勢比較接近于正弦函數(shù)曲線，此外圖1還呈現(xiàn)出略微的線性遞增趨勢，因此t時刻的趨勢變量St可以表示為線性趨勢和周期性趨勢兩部分。具體形式如下：

其中，a+bt為平均氣溫序列的長期線性遞增趨勢，βsin（2πft+？漬）為氣溫序列的周期性變動。β為曲線的振幅，平均氣溫將在區(qū)間[-β，β]內(nèi)波動;f為曲線的頻率，曲線在1/f個時間單位內(nèi)重復(fù)變動趨勢，1/f被定義為最小變動周期，本文取f=1/365，此時的最小周期為365天（1年）。？漬為曲線的相位，表示平均氣溫在時間軸上的任意初始值。

上式可以通過三角函數(shù)變換進(jìn)行進(jìn)一步簡化，如下所示：

由于相位角為常數(shù)，可以進(jìn)一步化簡得：

將公式（4）代入公式（1）中，得到平均氣溫序列Tt的最終表達(dá)式如下所示：

三、參數(shù)估計(jì)與結(jié)果分析

（一）ARIMA模型的參數(shù)估計(jì)。結(jié)合公式（5），通過Eviews10.0軟件對氣溫時間序列進(jìn)行普通最小二乘估計(jì)，得到待估參數(shù)的估計(jì)輸出結(jié)果如表1所示。（表1）

由表1的輸出結(jié)果可知，在0.05顯著性水平下的各系數(shù)值顯著大于臨界值且擬合優(yōu)度較高，說明模型擬合效果較好。將參數(shù)代入式（5），可得：

從表1還可以觀察到DW統(tǒng)計(jì)值僅為0.547，查表可知?dú)鉁貢r間序列Tt可能存在一階序列相關(guān)，這可能是殘差Xt導(dǎo)致的，因此需要對Xt進(jìn)行修正。將趨勢變量St從Tt中剔除后，即可得到殘差Xt。通過繪制殘差序列圖判斷出Xt可能不存在顯著的序列相關(guān)性。通過對殘差Xt進(jìn)行單位根ADF檢驗(yàn)，可以判斷出在多種信息準(zhǔn)則下，一階差分的殘差Xt是一個平穩(wěn)序列。通過繪制一階差分的Xt的自相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖，可以判斷出該序列是平滑的非白噪聲序列，因此需要構(gòu)建ARIMA模型對其進(jìn)行擬合。根據(jù)AIC準(zhǔn)則、Schwarz準(zhǔn)則和參數(shù)的顯著性判斷，引入ARIMA（2，1，2）模型最為恰當(dāng)，擬合的具體結(jié)果如表2所示。（表2）

從表2中可以看出，各項(xiàng)系數(shù)都是顯著的，且模型估計(jì)的DW統(tǒng)計(jì)量為2.002453，十分近似于2。因此，可以初步認(rèn)為構(gòu)建ARIMA（2，1，2）模型之后，殘差序列中原先存在的相關(guān)性問題得到適度的修正。因此，可以得到一階差分的殘差序列Xt和氣溫時間序列Tt的表達(dá)式如下：

（二）模型擬合的精確度檢驗(yàn)。根據(jù)上式，運(yùn)用Matlab對2019年北京市日平均氣溫進(jìn)行預(yù)測，并與2019年實(shí)際的平均氣溫進(jìn)行比較，得到圖2。觀察該圖能夠得出，通過ARIMA（2，1，2）修正后的模型能夠較為精準(zhǔn)地?cái)M合平均氣溫的動態(tài)變化過程。（圖2）

四、天氣衍生品定價

（一）天氣指數(shù)選取。天氣衍生品是以天氣指標(biāo)轉(zhuǎn)換而來的指數(shù)作為交易資產(chǎn)，其中使用最普遍的天氣指數(shù)是累積供暖指數(shù)（HDDs），被定義為一定時期內(nèi)的每日平均氣溫與基線溫度之間偏差的累計(jì)值?；€溫度是一個臨界溫度，當(dāng)氣溫低于該值時，社會各界傾向于開展供暖活動，而當(dāng)氣溫高于這一數(shù)值時，人們更愿意采取降溫措施。不同交易所對基線溫度的定義不同，現(xiàn)在最常用的是CME設(shè)立的華氏65度（18攝氏度）。HDDs指數(shù)的表達(dá)式如下：

其中，HDDi是每日的供暖指數(shù)，Ti為第i天的平均氣溫，Tref是基線氣溫。

（二）基于蒙特卡洛模擬的天氣衍生品定價。本文選擇基于累積供暖HDDs指數(shù)的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價研究。假設(shè)期權(quán)為歐式期權(quán)（即買方只有在行權(quán)日T當(dāng)天行權(quán)的權(quán)利），標(biāo)的指數(shù)為HDDs指數(shù)，K為合約執(zhí)行價格，C為價值轉(zhuǎn)換因子（將沒有實(shí)際貨幣價值的HDDs指數(shù)轉(zhuǎn)化為具體的貨幣量），U為期權(quán)的上限值，r為合約期限內(nèi)的無風(fēng)險(xiǎn)利率。于是在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，基于HDDs的歐式看漲期權(quán)在時刻t的價格如下所示：

其中，HDDs（0，t）是時刻t之前的HDDs數(shù)據(jù)，是已知量;而HDDs（t，T）是從時刻t到行權(quán)日T的HDDs，是需要通過蒙特卡洛模擬來進(jìn)行仿真的。

結(jié)合公式（5）和公式（6），利用蒙特卡洛仿真模擬法進(jìn)行預(yù)測，得到這一期限內(nèi)基于不同基線溫度的累積供暖指數(shù)HDDs的期望值，將其和該期限內(nèi)實(shí)際的HDDs指數(shù)進(jìn)行對比得到表3。其中，相對誤差率代表真實(shí)值相對于預(yù)測值的偏離程度。（表3）

從表3中不難看出，在五種基線溫度下的相對誤差率均小于6%，預(yù)測精度較高;另外，隨著基線溫度的升高，相對誤差率遞減。

假設(shè)北京市2019年2月份的HDDs歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格K=200（參考現(xiàn)值有利法，設(shè)定為低于歷年同期水平的價格），合約名義價值C=20，上限值U=10000，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=2.72%（取自2019年2月份的一月期SHIBOR利率）。因此，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，基于不同基線溫度的期權(quán)價格匯總結(jié)果如表4所示。（表4）

從表4中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在五種基線溫度下的相對誤差率均小于10%，預(yù)測精度較高;另外，隨著基線溫度的升高，相對誤差率遞減，且在基線溫度為20攝氏度時的相對誤差最小，僅為6.85%，這說明將基線溫度設(shè)定在20攝氏度左右可能更適合于當(dāng)前我國市場的基本情況。

五、我國天氣衍生品開發(fā)及市場發(fā)展建議

目前，我國正面臨著日益增大的天氣風(fēng)險(xiǎn)管理需求與匱乏的天氣風(fēng)險(xiǎn)管理工具供給之間的矛盾，諸如天氣保險(xiǎn)、政策補(bǔ)貼等傳統(tǒng)意義上的天氣風(fēng)險(xiǎn)管理工具的作用范圍和效果有限。而天氣衍生產(chǎn)品已經(jīng)經(jīng)過了西方資本市場長達(dá)二十余年的檢驗(yàn)，是一種合格的天氣風(fēng)險(xiǎn)管理工具，應(yīng)該在我國進(jìn)行適度推廣，這不僅需要正確的意識基礎(chǔ)，還需要先進(jìn)的技術(shù)支撐和良好的政策環(huán)境。

第一，培養(yǎng)正確的天氣衍生品風(fēng)險(xiǎn)管理意識。想要推廣天氣衍生品，當(dāng)務(wù)之急就是讓社會各界開始認(rèn)識、理解并且重視該產(chǎn)品，進(jìn)而形成正確的天氣風(fēng)險(xiǎn)意識，最終培養(yǎng)出數(shù)量穩(wěn)定的市場需求。

第二，進(jìn)一步發(fā)展氣象技術(shù)、數(shù)據(jù)分析技術(shù)以及金融工程技術(shù)。天氣衍生品的精準(zhǔn)定價要求氣象數(shù)據(jù)盡可能的全面和精準(zhǔn)，首先就要求有關(guān)氣象部門觀測、歸納以及共享更為豐富且精準(zhǔn)的氣象數(shù)據(jù);其次需要發(fā)明更加先進(jìn)的數(shù)據(jù)算法、信息系統(tǒng)等數(shù)據(jù)分析技術(shù)，以便更加高效、準(zhǔn)確地處理龐雜的氣象數(shù)據(jù)。不僅如此，還應(yīng)研究出更為先進(jìn)的金融工程學(xué)理論和實(shí)踐方法，這樣才能將抽象的氣象數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為社會經(jīng)濟(jì)需要的金融產(chǎn)品。

第三，孕育良好的政策和投資環(huán)境。天氣衍生品在開發(fā)、推廣和交易中都需要經(jīng)費(fèi)支持和政策扶持來抵御較大的不確定性，這就要求政府提供一些切實(shí)有效的幫扶政策來分擔(dān)市場參與者的成本和風(fēng)險(xiǎn)，鼓勵更多的機(jī)構(gòu)、企業(yè)和個人進(jìn)入證券市場來轉(zhuǎn)移天氣風(fēng)險(xiǎn)，孕育足夠具有吸引力的政策環(huán)境。同時，市場監(jiān)管部門應(yīng)當(dāng)進(jìn)行嚴(yán)格的監(jiān)管和規(guī)范，加強(qiáng)對市場準(zhǔn)入、信用風(fēng)險(xiǎn)、信息披露以及行業(yè)自律的把控力度，必要時可以引入做市商制度來保證天氣衍生品發(fā)行初期的流動性和價格的合理性，為天氣市場的投資者培養(yǎng)出優(yōu)異的投資環(huán)境。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]劉國光.天氣預(yù)測與天氣衍生產(chǎn)品定價研究[J].預(yù)測，2006.25（6）.

[2]劉國光，茅寧.氣溫隨機(jī)模型與我國氣溫期權(quán)定價研究[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2008.27（6）.

[3]李永，夏敏，吳丹.O-U模型在天氣衍生品定價中的合理性測度[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011.345（21）.

[4]郭建國，牛珊.基于ARMA模型的氣溫衍生品定價研究[J].商業(yè)經(jīng)濟(jì)，2015.470（10）.

[5]曾小艷，陶建平.基于ARMA模型的氣溫衍生品定價研究：以武漢市為例.區(qū)域金融研究，2014.500（7）.

[6]Dischel，B.At last：A Model for Weather Risk [J].Energy and Power Risk Management，1998.11（3）.

[7]Dornier，F(xiàn).，Queruel，M.Caution to wind[R].Energy Power Risk Management，Weather Risk Special Report，2000（1）.

[8]Alaton，P.，Djehiche，B.，Stillberger，D.On Modelling and Pricing Weather Derivatives[J].Applied Mathematical Finance，2002.9（1）.