施俊源

摘 要：為了學(xué)生能更好地從數(shù)學(xué)角度去形成概念、方法與體系，高度概括與認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，能在相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題。在平時(shí)的課堂中就需要用數(shù)學(xué)眼光去觀察，用數(shù)學(xué)思維去分析，用數(shù)學(xué)語言去表達(dá)。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)角度

一、實(shí)例——數(shù)學(xué)抽象能力的前提

數(shù)學(xué)抽象的實(shí)現(xiàn)過程是一系列比較和區(qū)分、舍棄和收括的思維操作過程。函數(shù)單調(diào)性首先從函數(shù)圖像上直觀感受它，并用自然語言加工經(jīng)歷第一次數(shù)學(xué)抽象過程。

問題1：請(qǐng)同學(xué)畫出下面兩組函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間[1，2]上的圖像，然后指出每一組在性質(zhì)上的共同點(diǎn)是什么？第一組：，;第二組，;

生：第一組圖像呈現(xiàn)一個(gè)上升的形式，第二組圖像呈現(xiàn)一個(gè)下降的形式。

師：我們可以思考怎么樣用y與x之間存在的變化關(guān)系去描述圖像的這一特征呢？

生：第一組圖像中y隨著x的增大而增大，第二組圖像中y隨著x的增大而減小。

設(shè)計(jì)意圖：給出若干函數(shù)的圖像，從一系列的比較和區(qū)分開始，在思維中比較出每組圖像的共同特征用自己的語言表達(dá)出來，同時(shí)兩組之間不同的特征也進(jìn)行區(qū)分，形成一個(gè)表達(dá)概念的詞，完成一個(gè)初步的抽象過程。

問題2：怎么把“在區(qū)間上，函數(shù)隨著x的增大而增大”用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示？

師：同學(xué)們的身高在每年都會(huì)發(fā)生變化，我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中是怎么量化這種變化的呢？如果身高變高了一般怎么發(fā)現(xiàn)？

生：體檢的時(shí)測(cè)量身高的時(shí)候就會(huì)知道，今年的身高減去去年的身高，如果大于零就可以代表長高了。

師：那么x的增大可以怎么表示，我們用可以用，，來表示嗎？

生：用第二x個(gè)減去第一個(gè)x大于零表示。

師：很好，那么現(xiàn)在請(qǐng)大家思考，如何表示函數(shù)隨著x的增大而增大？

生：如果時(shí)，。

師：那我們?cè)囍鴣碛眉险Z言來描述“，在區(qū)間[a，b]上”，并且完整的描述“在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）隨著x的增大而增大?！?/p>

生：，“若，時(shí)，”。

設(shè)計(jì)意圖：通過教師啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)隨著x的增大就是自變量發(fā)生了變化，從而引出用任意的兩個(gè)自變量，來表示。同理，學(xué)生也可以自然而然地想到用和來表示

增大。

二、反例——數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)密的保證

在第一次，第二次的抽象中把重點(diǎn)放在初步描述單調(diào)性，即和x之間的變化關(guān)系上，但是對(duì)于定義中部分嚴(yán)密性的認(rèn)識(shí)存在不足。因此還需要對(duì)定義中部分的名詞作一個(gè)更為深刻地理解。

生：還是用前面那個(gè)函數(shù)圖像，上有無數(shù)對(duì)，

使得，都有，但是不能說在

（0，2）上是增函數(shù)。

師：這無數(shù)多對(duì)是怎么取出來的？

生：這無窮多對(duì)可以全部從區(qū)間（1，2）中取出，但是函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是既有單調(diào)遞減的部分，也有單調(diào)遞增的部分。

師：現(xiàn)在讓我再仔細(xì)來看看增函數(shù)的定義“如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意（重音）兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)，都有，那么就說在區(qū)間D上是增函數(shù)?！蹦苡^察到哪一個(gè)哪一個(gè)重要的詞？

設(shè)計(jì)意圖：在對(duì)單調(diào)性概念的有一定的理解后，再利用反例幫助學(xué)生更深刻地理解概中出現(xiàn)的一些關(guān)鍵詞，完善對(duì)單調(diào)性概念的一個(gè)嚴(yán)密的定義。

有一些知識(shí)是比較相接近的或者是密切聯(lián)系的，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中往往容易混淆，反例可以有效地加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí).同時(shí)，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力，將所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)呈線性展開，并且構(gòu)建整體框架。

三、對(duì)教學(xué)中實(shí)踐“數(shù)學(xué)抽象”形成的反思

本節(jié)課有梯度地從具體到抽象引導(dǎo)學(xué)生逐漸地完善數(shù)學(xué)抽象概念——單調(diào)性概念——訓(xùn)練提高他們的思維水平。在抽象化過程中，利用反例完善概念的理解，拓展學(xué)生的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)抽象形成過程中可以幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，理解數(shù)學(xué)知識(shí)中層次性與構(gòu)建知識(shí)中所體現(xiàn)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，這就是數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。

任何一個(gè)抽象概念都不是一蹴而就，教學(xué)中我們要習(xí)慣整理借用已有的知識(shí)背景，通過設(shè)計(jì)有序展示在課堂中。在過程設(shè)定初步抽象，第二次抽象所要完成的教學(xué)目標(biāo)，幫助學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵以及在形成數(shù)學(xué)抽象過程中需要具備的能力。最終通過學(xué)習(xí)不同數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而加深個(gè)部分知識(shí)潛在聯(lián)系。高中函數(shù)是初中函數(shù)的深化，形成一個(gè)整體概念。

從一般事物通過觀察，分析，歸納，猜想，驗(yàn)證，得出結(jié)論的這種思維方式是人們認(rèn)識(shí)規(guī)律的體現(xiàn)，而在數(shù)學(xué)概念形成中更能夠充分的體現(xiàn)這一過程。要數(shù)學(xué)抽象的形成讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)習(xí)知識(shí)，更是一種學(xué)習(xí)與認(rèn)知世界的一種方法。

參考文獻(xiàn)

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[2]王萍.聚焦核心素養(yǎng)追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)——淺談如何錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[J].陜西教育2016（12）：46-47.