李懷忠
(甘肅省景泰縣第二中學(xué) 730400)
例2已知直線l:x+y-1=0與拋物線y=x2交于A,B兩點,求線段AB的長和點M(-1,2)到A,B兩點的距離之積.
點評參數(shù)方程把曲線上的點的橫、縱坐標(biāo)分別通過參數(shù)直接表達(dá)出來,比較清楚地指明了曲線上的點的坐標(biāo)特征.對于圓錐曲線上與動點有關(guān)的最值,以及處理兩線段長度的積、和、差等問題,有著普通方程無可比擬的優(yōu)越性.
分析曲線不明確焦點所在的位置,用標(biāo)準(zhǔn)形式求解需要分焦點在x軸和y軸上兩種情況,相對而言計算比較麻煩.可采用模糊設(shè)法.
點評中心在原點,對稱軸在坐標(biāo)軸的橢圓、雙曲線的一般方程都可設(shè)為Ax2+By2=1的形式,當(dāng)題設(shè)條件中沒有明顯的幾何量出現(xiàn)時,通常情況下使用模糊方程,它既可以避免分類討論,又能簡化運算.
例4已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點,O為原點,且OP⊥OQ,求實數(shù)m的值.
分析本題常規(guī)解法是由OP⊥OQ得出等量關(guān)系,聯(lián)立圓和直線方程組,借助韋達(dá)定理,構(gòu)建關(guān)于m的方程求解,過程運算繁雜,可以考慮用直線和圓相交的曲線系方程.
例5求過點A(2,1)和直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點的直線方程.
解所求直線過直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點,可設(shè)過兩直線交點的直線系方程為x-2y-3+λ(2x-3y-2)=0.又因為過A(2,1),所以代入得λ=-3.則所求方程為5x-7y-3=0.
點評在解析幾何中我們常常會涉及到兩圓錐曲線相交的相關(guān)問題,往往在處理這類問題時如按常規(guī)思路去解則運算量相對較大且不易算出來,相反如果利用好“曲線系”相關(guān)知識則可以大大簡化解題過程中的運算量,事實上當(dāng)兩條曲線方程C1:f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0,則過兩條曲線交點的曲線系方程為f1(x,y)+λ[f2(x,y)]=0.
例6已知雙曲線的一條漸近線方程為2x-3y=0且經(jīng)過點(1,2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
例7(2018·深圳一模)過點(3,2)且與橢圓3x2+8y2=24有相同焦點的橢圓方程為( ).
分析用直角坐標(biāo)方程求定值,需要設(shè)A、B的坐標(biāo),對應(yīng)的變量較多,化簡繁雜,而且容易出錯.認(rèn)真分析題目信息,待證結(jié)論是與線段有關(guān)系的問題,選擇極坐標(biāo)更加直觀、方便.
點評極坐標(biāo)法是解決平面解析幾何常用的方法,在解決過程中,遇到從一點出發(fā)的幾條線段長度問題和角度問題??梢越柚鷺O坐標(biāo)解決,利用極坐標(biāo)的幾何意義,結(jié)合三角函數(shù)可以使問題更加簡潔、明晰.
教學(xué)實踐表明,選擇一個恰到好處的曲線方程就是成功的一半,一個好的方程不僅能簡化運算,優(yōu)化解題過程,同時也能深化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、拓展學(xué)生的思維能力,有效地提升課堂教學(xué)效率.因此,在平時教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗,做好方法技能儲備,解題前,多層次、多角度分析和思考,解題后進行全方位、多維度反思和評價,不斷優(yōu)化解題方法、深刻體驗解題過程,促進知識融會貫通,不斷提升學(xué)生解題能力和思維能力,形成完善的解題方法和策略.