李懷忠

(甘肅省景泰縣第二中學 730400)

一、巧用參數(shù)方程

例2已知直線l：x+y-1=0與拋物線y=x2交于A，B兩點，求線段AB的長和點M(-1,2)到A，B兩點的距離之積.

點評參數(shù)方程把曲線上的點的橫、縱坐標分別通過參數(shù)直接表達出來,比較清楚地指明了曲線上的點的坐標特征.對于圓錐曲線上與動點有關(guān)的最值，以及處理兩線段長度的積、和、差等問題，有著普通方程無可比擬的優(yōu)越性.

二、巧設(shè)曲線的模糊方程

分析曲線不明確焦點所在的位置，用標準形式求解需要分焦點在x軸和y軸上兩種情況，相對而言計算比較麻煩.可采用模糊設(shè)法.

點評中心在原點，對稱軸在坐標軸的橢圓、雙曲線的一般方程都可設(shè)為Ax2+By2=1的形式，當題設(shè)條件中沒有明顯的幾何量出現(xiàn)時，通常情況下使用模糊方程，它既可以避免分類討論，又能簡化運算.

三、巧設(shè)相交曲線系方程

例4已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數(shù)m的值.

分析本題常規(guī)解法是由OP⊥OQ得出等量關(guān)系，聯(lián)立圓和直線方程組，借助韋達定理，構(gòu)建關(guān)于m的方程求解，過程運算繁雜，可以考慮用直線和圓相交的曲線系方程.

例5求過點A(2，1)和直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點的直線方程.

解所求直線過直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點，可設(shè)過兩直線交點的直線系方程為x-2y-3+λ(2x-3y-2)=0.又因為過A(2，1)，所以代入得λ=-3.則所求方程為5x-7y-3=0.

點評在解析幾何中我們常常會涉及到兩圓錐曲線相交的相關(guān)問題，往往在處理這類問題時如按常規(guī)思路去解則運算量相對較大且不易算出來，相反如果利用好“曲線系”相關(guān)知識則可以大大簡化解題過程中的運算量，事實上當兩條曲線方程C1:f1(x,y)=0，C2:f2(x,y)=0，則過兩條曲線交點的曲線系方程為f1(x,y)+λ[f2(x,y)]=0.

四、巧設(shè)特征曲線系方程

例6已知雙曲線的一條漸近線方程為2x-3y=0且經(jīng)過點(1,2)，求它的標準方程.

例7(2018·深圳一模)過點(3,2)且與橢圓3x2+8y2=24有相同焦點的橢圓方程為( ).

五、巧用極坐標方程

分析用直角坐標方程求定值，需要設(shè)A、B的坐標，對應(yīng)的變量較多，化簡繁雜，而且容易出錯.認真分析題目信息，待證結(jié)論是與線段有關(guān)系的問題，選擇極坐標更加直觀、方便.

點評極坐標法是解決平面解析幾何常用的方法，在解決過程中，遇到從一點出發(fā)的幾條線段長度問題和角度問題?？梢越柚鷺O坐標解決，利用極坐標的幾何意義，結(jié)合三角函數(shù)可以使問題更加簡潔、明晰.

教學實踐表明，選擇一個恰到好處的曲線方程就是成功的一半，一個好的方程不僅能簡化運算，優(yōu)化解題過程，同時也能深化學生的認知結(jié)構(gòu)、拓展學生的思維能力，有效地提升課堂教學效率.因此，在平時教學中要引導學生總結(jié)解題經(jīng)驗，做好方法技能儲備，解題前，多層次、多角度分析和思考，解題后進行全方位、多維度反思和評價，不斷優(yōu)化解題方法、深刻體驗解題過程，促進知識融會貫通，不斷提升學生解題能力和思維能力，形成完善的解題方法和策略.