孫 磊

(江蘇省無錫市第三高級中學(xué) 214000)

眾所周知，求解多元變量最值問題的關(guān)鍵在于減少變元，我們可以從三角、形、數(shù)三個角度尋找突破口.

分析這道題含有A，B，C三個變量，解決本題的關(guān)鍵在于如何將已知條件2sin2A+sin2B=2sin2C轉(zhuǎn)化成tanC=3tanA，并且將tanB也用tanA來表示.

方法1 邊角互化

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2.

在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA，代入上式，

∴3b=4ccosA，

即3sinB=4sinCcosA。

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式，

∴3sinAcosC=sinCcosA，

∴tanC=3tanA.

原式

點評以三角函數(shù)的化簡作為突破口，通過邊角互化實現(xiàn)減少變元，過程流暢自然，但是需要有較強的三角運算功底，如果三角公式不能熟練應(yīng)用，這種方法對學(xué)生來說有時候會有一定難度.

方法2斜化直

過點B作BD⊥AC，交AC于D.

設(shè)BD=h，AD=x，CD=y

在Rt△BDC中a2=h2+y2，在Rt△BDA中c2=h2+x2，b=x+y.

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2.

∴2(h2+y2)2+(x+y)2=2(h2+x2)2,

∴x2-2xy-3y2=0，即(x+y)(x-3y)=0,

∴x=3y.

∴3tanA=tanC.

以下解法同法1

點評用構(gòu)造直角三角形來表示三角函數(shù)是一種非常直觀的化簡方式，這種方法的解題關(guān)鍵是要在代數(shù)運算的過程中消去中間變量h，然后找到三角形的邊或者角的內(nèi)在關(guān)系.

方法3建系設(shè)點

∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

∴2a2+b2=2c2,

∴AD=3CD,即3tanA=tanC.

以下解法同法一.

點評通過建系設(shè)點，數(shù)形結(jié)合思想確定動點軌跡，將三角問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值問題是解決這類題目的一個新視角，其難點在于如何建系，尋找哪個點的軌跡作為突破口.

例2在△ABC中，A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知sinA+sinB+μsinAsinB=0，且a+b=2c，則實數(shù)μ的取值范圍是____.

方法一邊角互化

∵a+b=2c，

∴sinA+sinB=2sinC.

方法二斜化直

直過C作CD⊥AB，交AB于D，設(shè)CD=h，BD=x,AD=c-x.

又∵a+b=2c,

∵μ<0,

方法3建系設(shè)點

以AB中點為原點，AB為x軸，AB的中垂線為y軸如圖建系.

設(shè)C(x,y),∵a+b=2c，即CA+CB=2c,

∴C的軌跡是以A,B為焦點，2c為長軸的橢圓.

∵sinA+sinB+μsinAsinB=0.

上面兩個例題用三種方法都能解決，但不是所有類似問題都能同時用這三種方法解出.斜化直的方法利用構(gòu)造直角三角形表示出三角函數(shù)，這個過程會產(chǎn)生一個中間變量h，只有當(dāng)已知等式是齊次式才有可能消去中間變量，否則這種方法就行不通.建系設(shè)點的方法歸根結(jié)底是用代數(shù)方法求最值，因此已知條件必須含有長度關(guān)系或者已知的三角關(guān)系能夠轉(zhuǎn)化成長度關(guān)系，否則這種方法就行不通.邊角互化的方法應(yīng)該是適用范圍最廣泛的一種方法，在使用這種方法解題的時候需要明確化簡方向，熟悉三角公式.總之，同學(xué)們在做這類題目的時候，應(yīng)該先觀察題目的特點，結(jié)合自身知識儲備選擇合適的方法.