林偉 羅朝舉

[摘? 要] 課堂教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主渠道.“思意數(shù)學(xué)”以數(shù)學(xué)現(xiàn)象具體“意境”為學(xué)習(xí)路徑，以貼近學(xué)生生活“情意”為學(xué)習(xí)動力，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中建構(gòu)知識，感受數(shù)學(xué)情感，從而構(gòu)建了數(shù)學(xué)課型：“概念課”“定理（公式）課”“習(xí)題（例題）課”“復(fù)習(xí)（專題）課”“講評課”“課題研究課”. 根據(jù)課型類別提出教學(xué)模式，解決教師的“教”與學(xué)生“學(xué)”之間的關(guān)系，為學(xué)而教，為思維而教，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 思意數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計;課型;教學(xué)模式;教學(xué)實(shí)踐

編者按?“思意數(shù)學(xué)”是林偉老師從教30年數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐成果.他從1990年開始，先后開展了“學(xué)導(dǎo)法教學(xué)”“三二六課堂教學(xué)”“四主五環(huán)節(jié)目標(biāo)教學(xué)”“三段五步教學(xué)”“思維學(xué)導(dǎo)式教學(xué)”“思維表達(dá)型課堂教學(xué)”和“思意數(shù)學(xué)教學(xué)”的實(shí)踐研究與探索，逐步實(shí)現(xiàn)由“數(shù)學(xué)思維教學(xué)”向“數(shù)學(xué)意蘊(yùn)教育”的發(fā)展.林偉老師的“思意教學(xué)”是以“為學(xué)而教，不教之教”為理念，以“激情、自然、樸實(shí)、靈動、致用”的教學(xué)風(fēng)格為主線，逐漸凸顯“融思之規(guī)律、意之方法、思意于一體”的特點(diǎn).林偉老師與其名師工作室中的老師們在實(shí)踐和研究中，不斷地豐富、拓展著“思意數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵和實(shí)踐路徑，同時堅持探索新時代對新數(shù)學(xué)課堂的價值訴求，以落實(shí)“立德樹人”為根本任務(wù)，堅持發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)和能力為重，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生健康成長為追求目標(biāo).隨著探索和學(xué)習(xí)的不斷深入，廣東省林偉名師工作室凝練出了“思意數(shù)學(xué)”教育教學(xué)思想，提煉出一系列標(biāo)志性成果.本期推出林偉名師工作室核心成員的兩篇論文，以饗讀者.

“思意數(shù)學(xué)”教學(xué)是學(xué)生從“思”到“意”的過程，學(xué)生起始于問題思索，圍繞著提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力開展教學(xué)活動，通過學(xué)習(xí)感受到數(shù)學(xué)的意蘊(yùn). 根據(jù)不同的課型構(gòu)建不同的教學(xué)模式，讓學(xué)生主動地探索數(shù)學(xué)知識、掌握數(shù)學(xué)技能和培育數(shù)學(xué)思維.

“思意數(shù)學(xué)”六種課型教學(xué)模式的構(gòu)建

以數(shù)學(xué)課型為切入點(diǎn)，繼承傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課型：“新授課”“復(fù)習(xí)課”和“講評課”，研究了數(shù)學(xué)新的課型：“概念課”“定理（公式）課”“習(xí)題（例題）課”“復(fù)習(xí)（專題）課”“講評課”“課題研究課”. 六種教學(xué)模式的框架分為四個部分，即：教學(xué)程序、教師活動、學(xué)生活動和學(xué)生發(fā)展.每一步的教學(xué)程序皆對應(yīng)不同的學(xué)生認(rèn)知過程和教師教學(xué)活動，關(guān)注學(xué)生活動和學(xué)生發(fā)展.

（一）概念課教學(xué)模式

概念課課型通過各種數(shù)學(xué)形式、手段，對研究對象的本質(zhì)屬性進(jìn)行揭示和概括，引導(dǎo)學(xué)生理解研究對象的共同屬性，進(jìn)一步認(rèn)識和理解概念的“內(nèi)涵”與“外延”. 概念課的教學(xué)模式，是通過“問題情境，引入概念—激學(xué)導(dǎo)思，形成概念—引議釋疑，理解概念—點(diǎn)撥提高，深化概念—精講訓(xùn)練，應(yīng)用概念—?dú)w納自結(jié)，升華概念”六個環(huán)節(jié)來實(shí)現(xiàn)的. 如圖1所示.

概念課最關(guān)鍵之處是概念的導(dǎo)入，教師根據(jù)概念本身，進(jìn)行設(shè)計問題或具體事例，通過對情境呈現(xiàn)的感性材料的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)并凝結(jié)出其本質(zhì)屬性，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，直觀體驗中感知概念. 學(xué)生通過概念學(xué)習(xí)將深刻理解所學(xué)概念、方法和新知識的內(nèi)在聯(lián)系，不斷地內(nèi)化新知識、搭建知識結(jié)構(gòu)、知識再建構(gòu)，不僅全面完成教學(xué)目標(biāo)，并且?guī)椭鷮W(xué)生逐步形成概念的深度理解的能力.

（二）定理（公式）課教學(xué)模式

定理（公式）課是旨在理解公式、定理的形成過程，揭示數(shù)學(xué)思想、思維方法和典型的數(shù)學(xué)技能技巧在其推導(dǎo)、論證中的應(yīng)用;理解公式、定理適應(yīng)的范圍及成立的條件和得出的結(jié)論. 定理（公式）課教學(xué)模式的操作程序為：“問題情境，引入定理—激學(xué)導(dǎo)思，探究猜想—引議釋疑，驗證論證—點(diǎn)撥提高，獲得定理—精講訓(xùn)練，應(yīng)用定理—?dú)w納自結(jié)，升華定理”. 如圖2所示.

學(xué)生在對所學(xué)定理、公式、方法的學(xué)習(xí)和探索中，知識不斷地內(nèi)化再建構(gòu)，形成自己的知識結(jié)構(gòu)，從而全面完成教學(xué)目標(biāo)，逐步形成大膽假設(shè)、演繹推理及創(chuàng)新的能力.

（三）例題（習(xí)題）課教學(xué)模式

習(xí)題課是新知課之后，教師有計劃地對學(xué)生進(jìn)行一系列基本知識訓(xùn)練，目的就是為了鞏固學(xué)生學(xué)過的知識. 例題（習(xí)題）課的教學(xué)程序為：“梳理知識，精選范例—激學(xué)導(dǎo)思，探究方法—引議釋疑，應(yīng)用方法—點(diǎn)撥提高，深化理解—精講訓(xùn)練，拓展提升—?dú)w納自結(jié)，診斷矯正”. 如圖3所示.

通過例題（習(xí)題）課對知識體系、解題方法、規(guī)律的認(rèn)識和提煉，學(xué)生將課堂上所用知識、方法加以梳理、概括，納入知識方法體系. 學(xué)生對概念的理解進(jìn)一步完整化、具體化，牢固掌握所學(xué)知識系統(tǒng);學(xué)生對研究問題的方法加以總結(jié)，能夠掌握探究學(xué)習(xí)的方式方法，并逐步使之成為學(xué)生的自覺行為，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣.

（四）復(fù)習(xí)（專題）課教學(xué)模式

學(xué)生復(fù)習(xí)的過程就是對已學(xué)知識進(jìn)行整理、鞏固、提高的過程，在這個過程中應(yīng)以學(xué)生的活動，即主動整理知識為主，讓學(xué)生主動參與教學(xué)全過程，充分發(fā)揮每位學(xué)生的主體動能，激活學(xué)生的思維.復(fù)習(xí)（專題）課的教學(xué)程序是：“知識歸析，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)—精選范例，激學(xué)導(dǎo)思—引議釋疑，探究方法—點(diǎn)撥提高，深化理解—精講訓(xùn)練，拓展提升—?dú)w納自結(jié)，反饋矯正”. 如圖4所示.

復(fù)習(xí)（專題）課上，教師引導(dǎo)學(xué)生按一定的標(biāo)準(zhǔn)把有關(guān)知識進(jìn)行整理、分類、綜合，學(xué)生通過整理知識，通過回憶、思考、查閱課本等方式，以表格、樹狀圖或綱要的形式構(gòu)建自己的知識體系.

（五）講評課教學(xué)模式

講評課是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)過程中的一個必不可少的環(huán)節(jié).講評課的教學(xué)目的是“及時矯正錯漏”“增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心”.數(shù)學(xué)講評課的教學(xué)程序是：“發(fā)放試卷，總體評價—激學(xué)導(dǎo)思，引出錯因—引議釋疑，講析研討—點(diǎn)撥提高，深化理解—精講精練，拓展提升—?dú)w納自結(jié)，反饋矯正”. 如圖5所示.

值得強(qiáng)調(diào)的是，講評課常采用激勵小結(jié)法，教師以激勵性語言，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)形成“勝不驕敗不餒”的學(xué)習(xí)心態(tài). 學(xué)生感受到來自教師的期待，更加充滿信心，以較高的學(xué)習(xí)積極性、飽滿的學(xué)習(xí)熱情迎接新的挑戰(zhàn)和知識的學(xué)習(xí).

（六）課題研究課的教學(xué)模式

課題研究課主要以學(xué)生探究為主，強(qiáng)調(diào)小組合作，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力. 課題研究課的教學(xué)程序是：選好研究課題—定好研究計劃—搜集信息，整理資料，展開研究—撰寫研究報告，交流研究成果. 如圖6所示.

數(shù)學(xué)課題的選擇應(yīng)具有一定的可行性、科學(xué)性、操作性、實(shí)用性、趣味性和參與性，讓學(xué)生都能參與.研究課題的選擇自由化，學(xué)生可以根據(jù)自身興趣選擇課題，然而絕大多數(shù)學(xué)生缺少課題研究學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，缺乏研究課題的基礎(chǔ).鑒于此，教師有針對性地給學(xué)生提供多個研究方向，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身的學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗以及對社會和大自然的觀察自主提出問題，確定研究方向，以此培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，研究意識的形成以及研究方法的初步掌握.

“思意數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)的探索

下面以“圓的一般方程”的教學(xué)為例探索概念課課堂教學(xué)程序.

本節(jié)課主要內(nèi)容是圓的一般方程，在教學(xué)過程中要讓學(xué)生通過探究，分析并掌握圓的一般方程，并能加以運(yùn)用. 本節(jié)課要求學(xué)生理解待定系數(shù)法、軌跡法等數(shù)學(xué)方法，在教學(xué)過程中數(shù)形結(jié)合思想、用代數(shù)法解決幾何問題的思想要貫穿始終.

（一）問題情境，引入概念，開啟思維

為什么要學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容（學(xué)習(xí)的必要性）？

（1）在初中階段，我們初步接觸了圓的概念，研究了圓的幾何性質(zhì).在前面一節(jié)課中，我們又在平面直角坐標(biāo)系中對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行了定義和學(xué)習(xí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用代定系數(shù)法求解了過平面內(nèi)不在同一直線上三個點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（即三角形的外接圓方程），以及圓心在某條直線上且過直線外兩點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 但有學(xué)生覺得計算量比較大，花費(fèi)時間較多，怎么辦？

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有它的優(yōu)點(diǎn)，可以直接求出（或者說是看出）圓心和半徑. 但是，我們有時候遇到的圓的方程不一定是標(biāo)準(zhǔn)形式的方程，那么具有更一般形式的圓的方程是什么樣的，哪些類型的方程才能表示圓，這樣的方程都可以表示圓嗎，要滿足什么條件才能表示圓，能夠求出圓心和半徑嗎？這些問題都需要我們進(jìn)一步解決.

前面我們學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，來看下面的思考題：

思考1：圓心在C（-3，4），半徑為7的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

思考2：圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

思考3：下列方程分別表示什么圖形？

（1）x2+y2-2x+4y+1=0;

（2）x2+y2-2x-4y+6=0.

設(shè)計意圖：問題是數(shù)學(xué)的心臟，以思考題、問題串的形式引入新課，使學(xué)生處于一種積極發(fā)動思維解決問題的狀態(tài)中，將內(nèi)容放在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，思考2則為圓的一般方程的引入做了很好的鋪墊.

（二）激學(xué)導(dǎo)思，形成概念，交流思維

師生活動：學(xué)生思考回答.

生1：圓心在C（-3，4），半徑為7的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+3）2+（y-4）2=49.

生2：圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+y2=9.

師：思考3中的方程分別表示什么圖形呢？

生3：方程x2+y2-2x+4y+1=0需要配方，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式（x-1）2+（y+2）2=4，可以看出方程表示圓心在點(diǎn)（1，-2），半徑為2的圓.

師：回答得很好，需要對方程進(jìn)行配方，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.

生4：方程x2+y2-2x-4y+6=0配方以后，化為（x-1）2+（y-2）2=-1，顯然方程兩邊不會相等，不是圓.

師：上面的方程兩邊不相等，不表示圓，那方程表示什么圖形？

生：（沉思后回答）方程應(yīng)該不能表示任何圖形.

師：很好，這個方程不表示任何圖形.

思考4：將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2展開，得到的方程有什么特點(diǎn)？

設(shè)計意圖：將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，得到圓的一般方程，突出了圓的方程形式上的特點(diǎn).

師生活動：師生合作，將原方程展開后，得到的方程為x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

令-2a=D，-2b=E，a2+b2-r2=F，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以寫成下面形式：

x2+y2+Dx+Ey+F=0. （*）

師：給出一個形如（*）的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？

生：不一定.

師：在什么情況下可以表示圓呢？

思考5：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）表示什么圖形？

設(shè)計意圖：將學(xué)生的思維一步步引向深入，通過層層引導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識圓的一般方程.讓學(xué)生充分參與到課堂中，將課堂還給學(xué)生. 通過對D2+E2-4F符號的分類討論，使問題化難為易，突破難點(diǎn)，讓學(xué)生充分了解分類討論思想在數(shù)學(xué)中的重要地位，讓學(xué)生認(rèn)識研究問題中由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

師生活動：師生共同探討分析，解決問題：將方程的左邊配方，配方過程由學(xué)生完成，得到x+■■+y+■■=■.

分析D2+E2-4F與0的大小關(guān)系，從而得到方程所表示的圖形.

生：對于方程（*）.

（1）當(dāng)D2+E2-4F>0時，表示以點(diǎn)-■，-■為圓心，r=■為半徑的圓;

（2）當(dāng)D2+E2-4F=0時，表示點(diǎn)-■，-■;

（3）當(dāng)D2+E2-4F<0時，不表示任何圖形.

師：當(dāng)D2+E2-4F>0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個圓. 此時，我們把這個方程叫做圓的一般方程.

師：我們已經(jīng)得到了圓的一般方程，請同學(xué)們觀察一下圓的一般方程，它有什么特點(diǎn)呢？

生1：方程是一個關(guān)于x，y的二元二次方程.

生2：方程中x2項和y2項的系數(shù)都是1.

師：系數(shù)都是1嗎？

生3：方程中x2項和y2項的系數(shù)只需要相等且不等于零就可以了.

師：對，不一定要規(guī)定兩個系數(shù)都是1，只需要相等且不等于零就可以了.還有什么特點(diǎn)？

生4：這個二元二次方程，缺少xy項.

思考6：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程各有什么特點(diǎn)？

設(shè)計意圖：得出概念后，馬上讓學(xué)生觀察方程的形式，并與前面學(xué)習(xí)的一般方程做比較，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 從問題的探究和概念的抽象過程中，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力.在探究問題的過程中，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的好奇心，此時將前面的討論結(jié)果進(jìn)行適時歸納形成知識概念，有利于學(xué)生思維過程深化. 通過讓學(xué)生比較，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的能力，強(qiáng)化學(xué)生的觀察、思考能力.

（三）引議釋疑，理解概念，提升思維

師生活動：教師引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生歸納比較.

生1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個特定的參數(shù)a，b，r，而圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D，E，F(xiàn)，所以只要求出對應(yīng)的三個系數(shù)，圓的方程就確定了.

師：非常好，這位同學(xué)從方程的參數(shù)或系數(shù)方面指出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的相同點(diǎn)，再觀察一下，還有嗎？

生2：與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，圓的一般方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯.

師：這位同學(xué)從代數(shù)特征方面和幾何特征方面指出了圓的兩種方程的區(qū)別.同學(xué)們在學(xué)習(xí)解析幾何的過程中，特別要注意代數(shù)與圖形的聯(lián)系，也就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想.

（四）點(diǎn)撥提高，深化概念，優(yōu)化思維

思考7：（口答）請將下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，

（1）（x-8）2+（y+3）2=13;

（2）（x+1）2+（y-4）2=8.

思考8：（口答）寫出下列各圓的圓心與半徑，

（1）x2+y2-2x+4y-6=0;

（2）2x2+2y2-4x+12y=0.

思考9：（口答）已知圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心為（-2，3），半徑為4，則D=_______，E=______，F(xiàn)=______.

設(shè)計意圖：進(jìn)一步深化概念，將圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程緊密結(jié)合在一起，在學(xué)生的頭腦中形成知識框架.將概念與實(shí)例結(jié)合起來，讓學(xué)生試著用剛剛掌握的概念去解決這些問題，達(dá)到學(xué)以致用的目的.

通過一些基礎(chǔ)知識類的例題鞏固學(xué)生的概念，理解圓的一般方程的代數(shù)特征與幾何特征，及與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)、分析問題的能力.

師生活動：學(xué)生口答.

生1：思考7，（1）x2+y2-16x+6y+60=0;（2）x2+y2+2x-8y+9=0.

生2：思考8，（1）圓心（1，-2），半徑r=■;（2）圓心（1，-3），半徑r=■.

生3：思考9，D=4，E=-6，F(xiàn)=-3.

（五）精講精練，應(yīng)用概念，拓展思維

例1：求過三點(diǎn)O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑和圓心坐標(biāo).

設(shè)計意圖：強(qiáng)調(diào)解題思路并與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程相聯(lián)系，緊緊抓住圓心、半徑這兩個確定圓的要素，這樣學(xué)生容易接受本節(jié)課內(nèi)容.

讓學(xué)生帶著問題思考，設(shè)疑激趣導(dǎo)入課題.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有麻煩，讓學(xué)生通過對同一個問題的兩種解法的比較，一方面加深對解題方法的理解;另一方面促使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的良好習(xí)慣.問題解決方法不唯一，為學(xué)生的發(fā)散思維創(chuàng)設(shè)了空間.

師生活動：師生共同分析，由于O（0，0），A（1，1），B（4，2）不在同一條直線上，因此經(jīng)過O，A，B三點(diǎn)有唯一的圓. 思路一：可以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)三點(diǎn)都在圓上，它們的坐標(biāo)都是方程的解，列方程組解出a，b，r即可. 思路二：可以設(shè)圓的一般方程，根據(jù)三點(diǎn)都在圓上，它們的坐標(biāo)都是方程的解，列方程組解出D，E，F(xiàn)即可.

生：求過不在同一直線上的三個點(diǎn)的圓的方程，如果用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到的是三元二次方程組，解方程過程較為煩瑣，而用圓的一般方程，得到的則是三元一次方程組，解方程組的過程會簡單很多.

師：棒極了！這提示了我們，求一個三角形的外接圓方程，用哪種形式設(shè)圓的方程解答過程會簡單些？

生（齊）：圓的一般方程.

具體的解題過程由大家完成.

師：不管是思路一，還是思路二，我們都是利用方程組解出與圓的方程有關(guān)的三個參數(shù)的值，這種方法叫做什么？

生：待定系數(shù)法.

師：請同學(xué)們根據(jù)本題的解題過程，歸納使用待定系數(shù)法求解圓的方程問題的一般步驟.

學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟：

（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;

（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組;

（3）解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.

師：通過比較這兩種方法解決本題，你有何體會？

師生共同總結(jié)，待定系數(shù)法是求圓的方程最常見的方法，但是在求圓的方程時是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程，要由已知條件確定. 一般地，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要利用圓心坐標(biāo)、半徑列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程;如果已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無直接關(guān)系，常選用一般方程.

例2：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

設(shè)計意圖：通過對這個問題的解決，讓學(xué)生理解用坐標(biāo)法求動點(diǎn)的軌跡方程的思想方法，從“數(shù)”與“形”兩個角度引導(dǎo)學(xué)生主動思考，主動探究，討論交流，在積極的學(xué)習(xí)中解決問題，進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合意識，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)其核心素養(yǎng). 例題牽涉的內(nèi)容較難理解，借助于多媒體輔助，學(xué)生可以非常直觀地看到在點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡，也為后面的解答做了鋪墊，確立了方向.

師生活動：教師用幾何畫板演示點(diǎn)M的軌跡，給學(xué)生以直觀的印象，然后師生一起分析解決.

師：從圖形上看，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)M也在運(yùn)動，它運(yùn)動的軌跡是什么圖形？

生：圓.

師：點(diǎn)A在已知的圓上運(yùn)動，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足什么條件？

生：滿足圓的方程（x+1）2+y2=4.

師：我們?nèi)绾谓Ⅻc(diǎn)M與點(diǎn)A的關(guān)系？

生：點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，可以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到兩個點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

師：好，只要我們建立起點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可利用點(diǎn)A坐標(biāo)滿足的條件，從而建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，進(jìn)而求出點(diǎn)M的軌跡方程.下面請大家試著解決一下這道題目.

學(xué)生分析，教師板書解題過程.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0），點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上，所以（x0+1）2+y■=4.（*）

因為點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以x=■，y=■， 故x0=2x-4，y0=2y-3.

代入（*）得（2x-4+1）2+（2y-3）2=4，

整理得，x-■■+y-■■=1.

所以，點(diǎn)M的軌跡是以■，■為圓心，1為半徑的圓.

師：我們再來回顧一下，本題中求動點(diǎn)M軌跡的方法叫做轉(zhuǎn)移法. 通常，我們在用轉(zhuǎn)移法探求點(diǎn)的軌跡問題時，可以先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀，對問題有一個直觀的了解，然后從本質(zhì)上分析軌跡形成的原因，找出解決問題的方法，制定合理的解題策略.

需要注意的是“軌跡”與“軌跡方程”是不同的兩個概念，前者是圖形，要指出形狀、位置、大小（范圍）等特性;后者是方程（等式），不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.

（六）歸納自結(jié)，升華概念，發(fā)展思維

思考10：本節(jié)課學(xué)習(xí)了圓的一般方程，那么方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件是什么？

思考11：用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是什么？

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的討論交流，把圓的一般方程加以小結(jié)，歸納總結(jié)用待定系數(shù)法及坐標(biāo)法解題的基本步驟，提煉分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.小結(jié)時留部分空白給學(xué)生思考，使學(xué)生養(yǎng)成提出問題、解決問題的好習(xí)慣.

師生活動：師生共同總結(jié)、歸納，把知識方法系統(tǒng)化，形成能力.

師：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么圖形？

生：（1）當(dāng)D2+E2-4F>0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以點(diǎn)-■，-■為圓心，r=■為半徑的圓;

（2）當(dāng)D2+E2-4F=0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示點(diǎn)-■，-■;

（3）當(dāng)D2+E2-4F<0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何圖形.

所以方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件是D2+E2-4F>0.

師：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程分別應(yīng)用于哪種條件下會簡單一些？

生：當(dāng)知道圓心和半徑時，使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較簡單;當(dāng)知道圓經(jīng)過三點(diǎn)時，使用圓的一般方程比較簡單.

師：非常好，同學(xué)們要注意求圓的方程過程中，方程形式的選擇.

師：用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是什么？

生：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;

（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組;

（3）解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.

師：同學(xué)們還要注意轉(zhuǎn)移法求動點(diǎn)軌跡的方法步驟.另外要區(qū)分“曲線”和“方程”兩個概念，“曲線”和“方程”是動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律在“形”和“數(shù)”方面的反映.在解析幾何的問題中，求動點(diǎn)的軌跡方程是一種常見題型. 求動點(diǎn)的軌跡方程的常用方法有：直接法、轉(zhuǎn)移法.

目標(biāo)檢測設(shè)計

1.？搖課堂檢測

（1）填表（表1）

（2）若方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0的圖形表示一個圓，則k的值是________.

（3）已知點(diǎn)M與兩定點(diǎn)O（0，0）、A（3，0）的距離為比為■，求點(diǎn)M的軌跡.

設(shè)計意圖：課堂目標(biāo)檢測部分緊貼本節(jié)課的例題，主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論，讓學(xué)生經(jīng)歷知識升華的過程，體驗成功的喜悅，激活潛在的學(xué)習(xí)熱情.

在這一環(huán)節(jié)中，教師設(shè)計不同難度的題目作為鞏固性訓(xùn)練，給不同層次的學(xué)生一塊“用武”之地，讓每一位學(xué)生體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣. 除了讓學(xué)生熟悉鞏固知識運(yùn)用方法外，教師還可以讓學(xué)生板演或采用實(shí)物投影學(xué)生解題過程的方式，這樣既可以及時反饋學(xué)生知識的掌握情況，又可以糾正學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的各種問題.

2. 課后檢測

（1）已知圓M過點(diǎn)A（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求圓M的方程.

（2）過圓外一點(diǎn)Q（a，b）向圓O：x2+y2=r2（r>0）作割線，交圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡.

（3）課外探究：在初中時我們學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系，請同學(xué)們課下回憶整理一下有關(guān)內(nèi)容，思考一下直線與圓的位置關(guān)系能否用代數(shù)方法，即用直線方程和圓的方程的知識來解決.

設(shè)計意圖：作業(yè)布置突出本節(jié)課知識點(diǎn)，適量且給出必做題和探究題，以適應(yīng)分層教學(xué)、分層達(dá)標(biāo)的要求.通過設(shè)置分層作業(yè)，讓所有的學(xué)生既能吃得飽，又能吃得好，即讓每一位學(xué)生都能體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望與信心.

（七）教學(xué)反思

1. 教學(xué)中結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，向?qū)W生滲透多種數(shù)學(xué)思想方法：配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，同時對學(xué)生的觀察、類比、歸納、總結(jié)、創(chuàng)新、應(yīng)用等多種能力的培養(yǎng)有利，通過求圓的一般方程使學(xué)生又進(jìn)一步熟悉待定系數(shù)法的應(yīng)用. 我們的教學(xué)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中體會思想，體會知識的辯證統(tǒng)一，體會由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的研究問題的方法，更能夠?qū)⑤^復(fù)雜的問題簡單化，回歸到知識產(chǎn)生的根源，真正意義上把握知識的本質(zhì)，回歸知識的本源.教會學(xué)生如何分析，讓他們擁有解決問題的能力，才是我們教育的真正任務(wù).

2. 為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，本節(jié)課采用“小組合作、探究、啟發(fā)式教學(xué)法”，用環(huán)環(huán)相扣的思考題、問題串將探究活動層層深入. 教學(xué)過程中以學(xué)生為本，以問題解決為手段發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，教師作為課堂的組織者，組織學(xué)生分析討論、合作探究.

3. 本節(jié)課的設(shè)計思想是：利用多媒體教學(xué)課件進(jìn)行輔助教學(xué)，借助信息技術(shù)手段，利用幾何畫板軟件進(jìn)行動態(tài)演示，為學(xué)生營造一個探究學(xué)習(xí)的環(huán)境，讓他們參與到多媒體教學(xué)中來，探究新知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題.