程 華

(咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 712000)

2018年1月《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》頒布,提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),隨即,核心素養(yǎng)如何落地實(shí)施受到教育界的普遍關(guān)注.當(dāng)前,通過積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn),提升學(xué)生思維能力,有助于形成核心素養(yǎng),成為較為一致的共識(shí)[1].項(xiàng)目組對(duì)咸陽市九所中學(xué)的調(diào)查顯示,中學(xué)教師普遍地將思維的培養(yǎng)作為落實(shí)核心素養(yǎng)的舉措.問題是思維的載體,數(shù)學(xué)解題需要涉及多個(gè)核心素養(yǎng),解題教學(xué)歷來是提高思維能力的重要途徑.其中,“一題多解”教學(xué)由于能夠反映出解題教學(xué)的一些普遍性現(xiàn)象,又對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維效果顯著,因此,通過“一題多解”來審思解題教學(xué)中思維培養(yǎng)的問題,為什么有的課堂解法紛呈,不久就被學(xué)生遺忘?為什么有的學(xué)生能夠“一題多解”,有的卻思路單一?如何更好地提升學(xué)生的思維品質(zhì)?基于思維培養(yǎng)的解題教學(xué)對(duì)我們教師提出哪些要求?等等.

1 “一題多解”教學(xué)問題的分析

“一題多解”是從不同角度分析問題,根據(jù)所給信息,應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn),通過觀察、推測和想象,沿著不同方向思考、重組已有信息,獲得多種解法的過程.解題教學(xué)并不僅僅是研究解法、講授解法的教學(xué),雖然一些一線教師對(duì)“一題多解”的研究已經(jīng)相當(dāng)深入,然而調(diào)查反映出,在思維培養(yǎng)的層面上,普通教師的教學(xué)還存在著問題,有的也是解題教學(xué)的共性問題.

1.1 對(duì)解題思維的形成過程揭示不足,羅列解法,忽視對(duì)解法之間聯(lián)系的分析

一些教師無暇或者不善于揭示解題思維的形成過程,過于追求解法的數(shù)量,羅列解法,削弱了學(xué)生對(duì)通解、通法的掌握.特別是,解法之間的聯(lián)系常常被忽略,對(duì)解法的本質(zhì)揭示不夠充分,影響了學(xué)生思維的深刻性.以下用一個(gè)簡單例子來說明.

1.2 面對(duì)不同思維層次和類型學(xué)生的認(rèn)知差異,因材施教的措施不足

有時(shí)課堂反應(yīng)很熱烈,但是課后能掌握多種解法的學(xué)生卻不多,教師感嘆“學(xué)生沒有看起來聰明！”事實(shí)上,由于同一班級(jí)學(xué)生思維發(fā)展并不均衡,認(rèn)知也存在不同偏好.當(dāng)解法列舉過多時(shí),活躍的反應(yīng)往往出自思維敏捷的學(xué)生.他們與教師思維互動(dòng)積極,而普通學(xué)生可能還沒理清頭緒,就表現(xiàn)為認(rèn)真聽講和記筆記.一些思維難度大的解法,普通學(xué)生可能只停留在欣賞,不能實(shí)質(zhì)性地思維參與.思維敏捷的學(xué)生常常掩蓋了普通學(xué)生實(shí)際的接受能力.同時(shí),為了照顧思維敏捷性、靈活性低的學(xué)生,一些教師又“啟發(fā)”過度.引導(dǎo)問題過于精細(xì),限制了思維空間,使學(xué)生思維鍛煉不夠.

“順學(xué)而教”“以學(xué)定教”其實(shí)還沒能真正落實(shí),教師在鼓勵(lì)學(xué)生個(gè)性化思維的同時(shí),面對(duì)不同思維層次、類型的學(xué)生,如何深度參與思考,還欠缺有效的因材施教措施.

1.3 對(duì)學(xué)生觀察方法的引導(dǎo)不足,對(duì)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)突出不夠

有的學(xué)生能夠“一題多解”,有的卻思路單一.學(xué)生的思維靈活發(fā)散程度,決定了解法的多少,原因雖然復(fù)雜,但是與學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力的強(qiáng)弱,知識(shí)模塊的豐富程度,進(jìn)而導(dǎo)致的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力的高低有直接關(guān)系.但是,在當(dāng)前過快的課堂節(jié)奏下,教師難以耐心引導(dǎo)學(xué)生觀察,等待他們找到適宜的語言轉(zhuǎn)換方式,影響了學(xué)生思維發(fā)散性、靈活性的提高.

觀察是學(xué)生解題思路的源頭,解法來自對(duì)問題的觀察、表征,進(jìn)而分析、解決.“多解”需要能找到多個(gè)觀察角度,引發(fā)多方面的聯(lián)想,要基于對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象意義的豐富認(rèn)識(shí)的.數(shù)學(xué)對(duì)象是以數(shù)學(xué)語言表述的,一般認(rèn)為,如果按照數(shù)學(xué)語言的外在表征,分為符合語言、圖形語言、文字語言等形式;如果按照數(shù)學(xué)語言所屬的數(shù)學(xué)分支,又可分為代數(shù)語言、幾何語言、三角語言、復(fù)數(shù)語言等形式[2].同一種數(shù)學(xué)語義可以用不同的數(shù)學(xué)語言形式表示,不同的數(shù)學(xué)語義解釋,提供不同的思維方向,這才為不同的化歸提供了可能,即通常所說的“化歸的語義轉(zhuǎn)換策略”.數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換,就是在不同數(shù)學(xué)語言之間所進(jìn)行的翻譯.以下舉例來說明.

可見,“一題多解”往往來自對(duì)同一數(shù)學(xué)形式做出的不同語義解釋.如果學(xué)生觀察力不強(qiáng),認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)模塊不豐富,就難以發(fā)現(xiàn)對(duì)象意義的多樣性,不能在數(shù)學(xué)語言之間靈活地轉(zhuǎn)換,則難有“一題多解”.學(xué)生思維上的“想不到”,往往與其相關(guān)的語義形式不熟悉或者不擅長有關(guān).

2 基于思維培養(yǎng)的“一題多解”教學(xué)的思考

以上這些現(xiàn)象,既與應(yīng)試環(huán)境下教師難以突破“囚徒困境”無奈地適應(yīng)有關(guān),也與教師的教育理念、思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等綜合因素相關(guān),對(duì)此提出幾點(diǎn)建議.

2.1 基于三個(gè)維度精選解法,依據(jù)教師的解題思維設(shè)計(jì)學(xué)生的思維序列

對(duì)解題教學(xué)的思維價(jià)值,教師要有正確的認(rèn)識(shí).教師要從關(guān)注自己的解法是否被學(xué)生所理解和學(xué)會(huì),轉(zhuǎn)為關(guān)注學(xué)生思維參與的深淺,是否經(jīng)歷了較為充足的解題思維過程的體驗(yàn),領(lǐng)悟到多少思維方法.所以,解法不可能求全,而要精選.

關(guān)于選擇解法的標(biāo)準(zhǔn),筆者曾調(diào)查培訓(xùn)教師,答案有：“對(duì)學(xué)生思維啟發(fā)性好”“教師好教”“學(xué)生好學(xué)”“優(yōu)美”“簡捷”,等等,可見,教師選擇解法有三個(gè)維度:心理學(xué)維度是大多數(shù)學(xué)生要喜歡,教育學(xué)維度是教師好教、學(xué)生好學(xué),學(xué)科維度是要對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)思維價(jià)值高.其中,適合學(xué)生認(rèn)知水平且思維價(jià)值高是最重要的.

教師的解題思路是教學(xué)思路的源頭.只有真正鉆研過解法的教師,才能設(shè)計(jì)出與學(xué)生的思維過程相吻合的問題,加速學(xué)生的思維進(jìn)展.而解題成果到底需要呈現(xiàn)多少、如何呈現(xiàn),必須真正掌握和依據(jù)大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知水平,否則,就會(huì)出現(xiàn)課堂熱鬧,課后遺忘的現(xiàn)象.

2.2 合理組合和突出不同教學(xué)方式的優(yōu)勢,適應(yīng)不同學(xué)生的思維差異

教師需要探索講授、合作、探究等不同教法對(duì)不同思維類型學(xué)生的作用,合理組合以適應(yīng)學(xué)生的思維差異.其實(shí)教法本身并不存在先進(jìn)與落后之分,只有適宜與否的區(qū)別.教育心理學(xué)研究表明,不同的認(rèn)知方式具有不同的信息加工偏好,會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.比如,“場獨(dú)立”型學(xué)生更適合自主學(xué)習(xí);“場依存”型學(xué)生需要有結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)指導(dǎo);“沖動(dòng)型”認(rèn)知方式思維敏捷,會(huì)用自己最先想到的答案,不注意細(xì)節(jié),但能迅速抓住整體;“沉思型”認(rèn)知方式謹(jǐn)慎細(xì)致,認(rèn)知時(shí)間較長,但錯(cuò)誤較少[3].合作學(xué)習(xí)有利于發(fā)揮“場獨(dú)立”型學(xué)生的優(yōu)勢,但是要防止其成為話霸,使“場依存”型學(xué)生被邊緣化;講授法能突出系統(tǒng)性、邏輯性,但是要防止限制學(xué)生思維的廣度,等等.教師可以摸索不同教法與不同思維類型的匹配性.

教師還要對(duì)不同教法如何引導(dǎo)思維,提高思維效率的研究細(xì)化.比如,“講授法”中“講什么”“何處講”“怎么講”,以及它們關(guān)系的問題.筆者認(rèn)為,教師講的比例要隨學(xué)生思維力的增強(qiáng)而遞減.“一題多解”教學(xué)中的“講”,核心是凸顯思考的方法.具體地,一是要以“講”發(fā)揮組織和引導(dǎo)的作用,用高階思維問題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)方法、選擇方法和尋找方法的聯(lián)系.譬如,你的解法關(guān)鍵是什么?遇到哪些困難?如何解決?每種解法好在哪里?哪種解法更一般性?解法之間是否存在聯(lián)系?這些解法都體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法?等等.二是通過“講”提煉如何想到和尋找解法的,使學(xué)生能與教師的思維作對(duì)比.三是解題總結(jié)中用“講”串聯(lián)解法的條件、優(yōu)缺點(diǎn)、解法的本質(zhì),使散碎的解題知識(shí)結(jié)構(gòu)化.四是講出不同解法背后的思維差異,把差異也包括解法中的錯(cuò)誤,轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源.要用“講”,把學(xué)生的思維引向深刻.舉一個(gè)例子說明.

案例3已知實(shí)數(shù)x1,x2,y1,y2滿足

圖1

思維要分享就需要思維顯化,由學(xué)生先講尋找思路的體會(huì),整理思維,而教師的“講”進(jìn)一步梳理學(xué)生(或自己)是如何理解、思考問題的,講出思維的異與同,思維逐步清晰.兩個(gè)思路的本質(zhì)都是化歸方法和數(shù)形結(jié)合,把代數(shù)條件翻譯為圖形,直觀推理.直覺的觸發(fā)點(diǎn)都由平方結(jié)構(gòu)關(guān)系引起的.差異在于,思路1由平方的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到單位圓,目標(biāo)翻譯為單位圓上A,B兩點(diǎn)到定直線的距離和,利用梯形中位線定理,直觀簡明,運(yùn)算量小.思路2則是將平方關(guān)系轉(zhuǎn)譯為圓的參數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為三角進(jìn)行化簡,利用三角知識(shí)去解決最值.用“講”引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)解法,上升到學(xué)習(xí)思維策略.這對(duì)教師的數(shù)學(xué)功底、思維能力以及對(duì)學(xué)生的了解度要求很高.

2.3 用討論與追問促使學(xué)生思維深入,提高思維的批判性,形成思維互助的氛圍

“一題多解”解法的多樣化給予學(xué)生更多的探索、創(chuàng)造和分享的機(jī)會(huì),要鼓勵(lì)學(xué)生敢于試錯(cuò),并學(xué)習(xí)化解錯(cuò)誤.研究如何用討論與追問促進(jìn)學(xué)生深入思考,培養(yǎng)批判思維,也養(yǎng)成互助的習(xí)慣.以下結(jié)合案例來說明.

有的學(xué)生解得a10:b10=S19:T19=77:62.

又有學(xué)生獲得另一解法:

令Sn=k(4n+1),Tn=k(3n+5),

則a10=S10-S9=4k,b10=T10-T9=3k,

所以a10:b10=4:3.

所以,獲得解法并不是解題教學(xué)唯一的目的.讓學(xué)生獨(dú)立判斷,從錯(cuò)誤中析取合理的部分,獲得信心;讓學(xué)生參與錯(cuò)誤的發(fā)現(xiàn),也經(jīng)歷修正錯(cuò)誤、思維互助和尋找正確解法的過程,培養(yǎng)邏輯思維能力,也收獲如何從失敗到成功的經(jīng)驗(yàn).一般地,教師可以用:“他說的對(duì)嗎?為什么?”“你的方法與他的方法有什么不同?”等追問,學(xué)生學(xué)表達(dá)，學(xué)傾聽,學(xué)優(yōu)化，也學(xué)認(rèn)同,學(xué)習(xí)欣賞他人的優(yōu)秀.

2.4 加強(qiáng)觀察方法的學(xué)習(xí),豐富知識(shí)模塊,增強(qiáng)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化的能力

觀察能力與知識(shí)面是相輔相成的,認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識(shí)模塊越豐富,觀察觸發(fā)點(diǎn)就越多,語義轉(zhuǎn)化也會(huì)越豐富.

3 結(jié)束語

解題教學(xué)實(shí)質(zhì)上是學(xué)生思維活動(dòng)的教學(xué),從這個(gè)意義上講，“一題多解”其實(shí)只是思維教學(xué)的一種情境.教師要從教做題到教思維,這其中,教師思維的深刻程度是核心.教師是否善于抓住問題的本質(zhì),找到解題的規(guī)律,邏輯清晰而準(zhǔn)確地概括和表達(dá),決定了他能否幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的本質(zhì)、解法的本質(zhì),經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考,才能夠提高學(xué)生的思維能力,發(fā)展核心素養(yǎng).羅增儒教授曾說:“數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了知識(shí),而教師創(chuàng)造的是對(duì)知識(shí)的理解”,這種創(chuàng)造,需要基于我們對(duì)自己教學(xué)思維活動(dòng)的不斷地反思.