2020年7月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2551設(shè)△ABC的面積為S,證明：

(華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 曹洪洋 430079)

=ab+bc+ca.

(2)a2-(b-c)2=2bc(1-cosA)

則

=S.

(江蘇省溧陽市光華高級中學(xué) 錢德全 213300;江蘇省溧陽市永平小學(xué) 張曉蔚 213333)

證明如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，

△ABC的重心為M.根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式，

設(shè)D(xD,yD)，E(xE,yE)，F(xiàn)(xF,yF)，

根據(jù)線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

所以點(diǎn)D((m+1)x1-mx2，(m+1)y1-my2).

同理可得

點(diǎn)E((m+1)x2-mx3，(m+1)y2-my3)，

點(diǎn)F((m+1)x3-mx1，(m+1)y3-my1).

設(shè)△DEF的重心為M′(x′M,y′M)，

根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式，得

所以△DEF的重心M′的坐標(biāo)也為

所以，點(diǎn)M與點(diǎn)M′重合.

因?yàn)辄c(diǎn)H，J，K，分別是DA，EB，F(xiàn)C的中點(diǎn)，

設(shè)△HJK的重心為M″(x″M,y″M)，

同理可得M″的坐標(biāo)也為

所以，點(diǎn)M、M′、M″三點(diǎn)重合，命題得證.

2553在銳角△ABC，求證：

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1

≤cosA+cosB+cosC.

(安徽省樅陽縣宏實(shí)中學(xué) 江保兵 246700)

證明首先證明

4cosAcosBcosC+1

≤cosA+cosB+cosC.

因?yàn)樵凇鰽BC中有三角恒等式

cosA+cosB+cosC

所以原不等式等價(jià)于

即4cosAcosBcosC+1≤cosA+cosB+cosC.

再來證明

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1.

則有1-2cosA≥0.

因?yàn)?cosAcosB+2cosAcosC+

2cosBcosC-4cosAcosBcosC-1

=2cosA(cosB+cosC)+

2cosBcosC(1-2cosA)-1

+cos (B-C)](1-2cosA)-1

所以

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1.

綜上

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1

≤cosA+cosB+cosC.

(當(dāng)且僅當(dāng)三角形△ABC為正三角形時等號成立)

2554已知⊙O為△ABC的外接圓，⊙Ia為∠BAC內(nèi)的旁切圓，∠A的外角平分線交⊙O于點(diǎn)P，直線PIa交⊙O于點(diǎn)T,⊙Ia切BC于點(diǎn)D,切AB的延長線于點(diǎn)E.求證：∠ATP=∠DTP.

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

證明聯(lián)接AIa交⊙O于點(diǎn)Q,聯(lián)接PQ交BC于點(diǎn)K,AP是∠A的外角平分線，

可得∠PAQ=90°,可知PQ是⊙O的直徑，

根據(jù)垂徑定理知PQ垂直平分線段BC.

聯(lián)結(jié)BQ，BIa,

因?yàn)椤螮BIa=∠CBIa=∠CBQ+∠QBIa

=∠BAQ+∠BIaQ,

而∠CBQ=∠BAQ，

所以∠QBIa=∠BIaQ,得BQ=IaQ.

聯(lián)結(jié)PB、KIa,根據(jù)直角三角形的射影定理，有

BQ2=QK·QP=IaQ2，

從而△PQIa∽△IaQK,

所以∠IaPQ=∠KIaQ.

聯(lián)結(jié)IaD，又因?yàn)镻Q⊥BC、IaD⊥BC,

所以PQ∥IaD,得∠IaPQ=∠DIaT,

所以∠KIaQ=∠DIaT,

從而有∠DIaK=∠QIaT，

聯(lián)結(jié)TQ,可知有

∠PTQ=90°=∠QTIa=∠IaDK，

所以有△IaDK∽△IaTQ,

因?yàn)椤螷IaQ=∠DIaT,

所以△DIaT∽△KIaQ.

易得

△DIaT∽△KIaQ∽△IaPQ∽△IaAT,

有∠IaTD=∠ATIa,

所以∠ATP=∠DTP.

2555正實(shí)數(shù)x,y,z滿足xyz≥1，證明：

(興化市教育局教研室 張 俊 225700)

證明由六元均值不等式有

①

由十一元均值不等式及xyz≥1有

②

由①②有

以上三式相加得

≤1．

③

以上三式相加得

≥1.

④

由③，④得

≥0.

2020年8月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2556如圖，已知Rt△MNT，∠MTN=90°，點(diǎn)O是MN中點(diǎn)，點(diǎn)I、J是TM、TN上的點(diǎn)，滿足OI⊥IJ，點(diǎn)X是IJ中點(diǎn)，點(diǎn)Y是MN上的點(diǎn)，滿足∠NIY=∠TMN，證明：XY⊥MN.

(安徽省滁州中學(xué) 李偉健 239000)

(河南省南陽師范學(xué)院軟件學(xué)院2017級9班 李居之 孫文雪 473061)

(浙江省慈溪市慈溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 華漫天 315300)

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

2560⊙O的半徑等于等邊△ABC的高，且⊙O在BC邊上滾動時與AB、AC兩邊交于E、F，求證：無論⊙O滾到什么位置，△OEF總是等邊三角形.

(安徽省淮南三中 王秉春 232007)