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        ?

        數(shù)學(xué)問題解答

        2020-09-24 07:24:10
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2020年8期
        關(guān)鍵詞:外角溧陽市平分線

        2020年7月號問題解答

        (解答由問題提供人給出)

        2551設(shè)△ABC的面積為S,證明:

        (華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 曹洪洋 430079)

        =ab+bc+ca.

        (2)a2-(b-c)2=2bc(1-cosA)

        =S.

        (江蘇省溧陽市光華高級中學(xué) 錢德全 213300;江蘇省溧陽市永平小學(xué) 張曉蔚 213333)

        證明如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),

        △ABC的重心為M.根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式,

        設(shè)D(xD,yD),E(xE,yE),F(xiàn)(xF,yF),

        根據(jù)線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,得

        所以點(diǎn)D((m+1)x1-mx2,(m+1)y1-my2).

        同理可得

        點(diǎn)E((m+1)x2-mx3,(m+1)y2-my3),

        點(diǎn)F((m+1)x3-mx1,(m+1)y3-my1).

        設(shè)△DEF的重心為M′(x′M,y′M),

        根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式,得

        所以△DEF的重心M′的坐標(biāo)也為

        所以,點(diǎn)M與點(diǎn)M′重合.

        因?yàn)辄c(diǎn)H,J,K,分別是DA,EB,F(xiàn)C的中點(diǎn),

        設(shè)△HJK的重心為M″(x″M,y″M),

        同理可得M″的坐標(biāo)也為

        所以,點(diǎn)M、M′、M″三點(diǎn)重合,命題得證.

        2553在銳角△ABC,求證:

        2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

        ≤4cosAcosBcosC+1

        ≤cosA+cosB+cosC.

        (安徽省樅陽縣宏實(shí)中學(xué) 江保兵 246700)

        證明首先證明

        4cosAcosBcosC+1

        ≤cosA+cosB+cosC.

        因?yàn)樵凇鰽BC中有三角恒等式

        cosA+cosB+cosC

        所以原不等式等價(jià)于

        即4cosAcosBcosC+1≤cosA+cosB+cosC.

        再來證明

        2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

        ≤4cosAcosBcosC+1.

        則有1-2cosA≥0.

        因?yàn)?cosAcosB+2cosAcosC+

        2cosBcosC-4cosAcosBcosC-1

        =2cosA(cosB+cosC)+

        2cosBcosC(1-2cosA)-1

        +cos (B-C)](1-2cosA)-1

        所以

        2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

        ≤4cosAcosBcosC+1.

        綜上

        2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

        ≤4cosAcosBcosC+1

        ≤cosA+cosB+cosC.

        (當(dāng)且僅當(dāng)三角形△ABC為正三角形時等號成立)

        2554已知⊙O為△ABC的外接圓,⊙Ia為∠BAC內(nèi)的旁切圓,∠A的外角平分線交⊙O于點(diǎn)P,直線PIa交⊙O于點(diǎn)T,⊙Ia切BC于點(diǎn)D,切AB的延長線于點(diǎn)E.求證:∠ATP=∠DTP.

        (江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

        證明聯(lián)接AIa交⊙O于點(diǎn)Q,聯(lián)接PQ交BC于點(diǎn)K,AP是∠A的外角平分線,

        可得∠PAQ=90°,可知PQ是⊙O的直徑,

        根據(jù)垂徑定理知PQ垂直平分線段BC.

        聯(lián)結(jié)BQ,BIa,

        因?yàn)椤螮BIa=∠CBIa=∠CBQ+∠QBIa

        =∠BAQ+∠BIaQ,

        而∠CBQ=∠BAQ,

        所以∠QBIa=∠BIaQ,得BQ=IaQ.

        聯(lián)結(jié)PB、KIa,根據(jù)直角三角形的射影定理,有

        BQ2=QK·QP=IaQ2,

        從而△PQIa∽△IaQK,

        所以∠IaPQ=∠KIaQ.

        聯(lián)結(jié)IaD,又因?yàn)镻Q⊥BC、IaD⊥BC,

        所以PQ∥IaD,得∠IaPQ=∠DIaT,

        所以∠KIaQ=∠DIaT,

        從而有∠DIaK=∠QIaT,

        聯(lián)結(jié)TQ,可知有

        ∠PTQ=90°=∠QTIa=∠IaDK,

        所以有△IaDK∽△IaTQ,

        因?yàn)椤螷IaQ=∠DIaT,

        所以△DIaT∽△KIaQ.

        易得

        △DIaT∽△KIaQ∽△IaPQ∽△IaAT,

        有∠IaTD=∠ATIa,

        所以∠ATP=∠DTP.

        2555正實(shí)數(shù)x,y,z滿足xyz≥1,證明:

        (興化市教育局教研室 張 俊 225700)

        證明由六元均值不等式有

        由十一元均值不等式及xyz≥1有

        由①②有

        以上三式相加得

        ≤1.

        以上三式相加得

        ≥1.

        由③,④得

        ≥0.

        2020年8月號問題

        (來稿請注明出處——編者)

        2556如圖,已知Rt△MNT,∠MTN=90°,點(diǎn)O是MN中點(diǎn),點(diǎn)I、J是TM、TN上的點(diǎn),滿足OI⊥IJ,點(diǎn)X是IJ中點(diǎn),點(diǎn)Y是MN上的點(diǎn),滿足∠NIY=∠TMN,證明:XY⊥MN.

        (安徽省滁州中學(xué) 李偉健 239000)

        (河南省南陽師范學(xué)院軟件學(xué)院2017級9班 李居之 孫文雪 473061)

        (浙江省慈溪市慈溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 華漫天 315300)

        (1)

        (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

        2560⊙O的半徑等于等邊△ABC的高,且⊙O在BC邊上滾動時與AB、AC兩邊交于E、F,求證:無論⊙O滾到什么位置,△OEF總是等邊三角形.

        (安徽省淮南三中 王秉春 232007)

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