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        一個(gè)分式型Weitzenbock不等式的九層隔離①

        2020-09-24 07:23:58鐘建新
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2020年8期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓分式

        鐘建新

        (江西省贛州師范高等專科學(xué)校 341000)

        近年來,對(duì)Weitzenbock,F(xiàn)insler-Hadwiger不等式的研究精彩紛呈,文[2]總結(jié)了一系列研究成果,其中有:

        設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長、面積、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑,則

        設(shè)a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長、面積和半周長,則

        文[3]給出一個(gè)加強(qiáng)不等式:設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長、面積、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑,則

        文[4]刊出一個(gè)拓展不等式:設(shè)a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長、面積、半周長,pa=p-a,pb=p-b,pc=p-c,則

        文[5]進(jìn)一步給出如下加強(qiáng)不等式:

        ≤∑a2-∑(a-b)2

        定理設(shè)a,b,c,S,r,R,p分別是△ABC的邊長、面積、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑與半周長,則

        (∑表循環(huán)和,∏表循環(huán)積)

        證明對(duì)不等式鏈逐層證明如下.

        據(jù)平凡不等式3∑a2≥(∑a)2,

        由均值不等式

        因(a+b)(b+c)(c+a)=(∑a)(∑ab)-abc,

        由均值不等式得

        由均值不等式得

        b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2bca2,

        a2b2+b2c2≥2cab2,

        相加得∑a2b2≥abc(∑a),

        從而有(∑ab)2≥3abc(∑a),

        以上證明過程順次相連便得分式型Weitzenbock不等式的九層隔離:

        據(jù)平凡不等式 3∑a2≥(∑a)2,

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