孫居國(guó)

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課與習(xí)題課是兩個(gè)不同的概念，主要表現(xiàn)在復(fù)習(xí)課是與具體數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的，例“函數(shù)單調(diào)性”復(fù)習(xí)課，“數(shù)列通項(xiàng)”復(fù)習(xí)課，是通過(guò)講解習(xí)題為載體，達(dá)到鞏固知識(shí)方法，發(fā)展能力的目的，而習(xí)題課則是以講授解題方法為主要目標(biāo)，通常不受具體內(nèi)容的約束，主要用于考前集中訓(xùn)練，專(zhuān)家講座等．因此，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，應(yīng)根據(jù)具體特點(diǎn)，進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，分步完成，從而提高課堂效率．

當(dāng)前的高三復(fù)習(xí)課主要是以精講多練為主，師生都有比較成熟的教輔資料，課堂教學(xué)基本環(huán)節(jié)包括：回憶知識(shí)要點(diǎn)、分析例題、反饋練習(xí)、鞏固提高等環(huán)節(jié).但由于教輔資料的編寫(xiě)者與授課者往往不是同一個(gè)人；還有例題通常按題型分類(lèi)，選題還是由易到難，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的自然分類(lèi)方法；如果按部就班按講義資料的順序講解問(wèn)題，則針對(duì)性不強(qiáng)，教學(xué)的整體目標(biāo)還不明確，每一個(gè)題目承載的目標(biāo)功能不能充分的發(fā)掘．

下文結(jié)合“平面向量基本定理”復(fù)習(xí)課，對(duì)如何處理好課堂中的題目、方法、知識(shí)、能力等方面的關(guān)系，談?wù)劯呷龜?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的一些想法．

1 題目服務(wù)主題

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是將高中所學(xué)的所有數(shù)學(xué)內(nèi)容，按計(jì)劃、分階段的分配到每一個(gè)具體的課時(shí)中，也就是說(shuō)，每一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課都有具體的復(fù)習(xí)內(nèi)容和任務(wù)． 這一具體的復(fù)習(xí)內(nèi)容和任務(wù)就是我們每節(jié)課的主題，因此，每一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要緊扣主題． 現(xiàn)在有的課堂是在課前將主題內(nèi)容羅列一遍，提醒注意要點(diǎn)，然后開(kāi)始講解習(xí)題，還有的課堂就直接給出課題，然后解決習(xí)題，給人的感受就是主題服務(wù)題目，學(xué)生將題目解決了，就順利完成了學(xué)習(xí)任務(wù)． 還有在課堂一開(kāi)始，將主題內(nèi)容羅列一遍，提醒注意要點(diǎn)，就是將解題思路告知學(xué)生，特別是好學(xué)生失去了嘗試回憶自主探究的機(jī)會(huì)．

為了做到提高復(fù)習(xí)效率，可以以題目為載體，在解題目的過(guò)程中回憶知識(shí)，探究方法，使得主題清晰明確．

應(yīng)說(shuō)清楚為什么就可以得出λ，μ的值．突出平面向量的基本定理是什么？

學(xué)生解答解析：

教師追問(wèn)1：這個(gè)題目用到了平面向量中的什么知識(shí)？

學(xué)生回答：平面向量基本定理．

教師給出平面向量基本定理的內(nèi)容：

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

其實(shí)這一過(guò)程中，由于是填空題，絕大部分學(xué)生都能得到答案，問(wèn)題解決了，也給出了平面向量基本定理的內(nèi)容．其實(shí)在這一過(guò)程中，“題目服務(wù)主題”的還不夠，深化概念知識(shí)，提升能力的機(jī)會(huì)還是“滑過(guò)”了．

“題目服務(wù)主題”的方法，就是教師不要輕易把學(xué)生的解法視為必然，而是要追問(wèn)“你是怎么想到的？你為什么這樣想？”這是數(shù)學(xué)理性精神最自然的體現(xiàn)．

S：根據(jù)平面向量基本定理．

T：什么是平面向量基本定理？

S：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

在這一對(duì)話交流中，將學(xué)生的模糊知識(shí)得到清楚．讓學(xué)生明確通過(guò)這一問(wèn)題的解決，學(xué)生認(rèn)識(shí)到今天學(xué)習(xí)的主題——平面向量基本定理．

因此，題目服務(wù)概念、知識(shí)和方法；題目是無(wú)限的，做不完的，概念、知識(shí)和方法是有限的． 通過(guò)有限的題目達(dá)到鞏固概念、知識(shí)和方法的目標(biāo)，通過(guò)有限的概念、知識(shí)和方法解決無(wú)限的題目． 同時(shí)，教師在選擇問(wèn)題時(shí)，要明確題目承載的知識(shí)．

問(wèn)題的設(shè)計(jì)立足于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的定義、定理、公理、公式、法則等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，要求學(xué)生解答時(shí)對(duì)需要的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行再現(xiàn)和確義．這類(lèi)問(wèn)題的價(jià)值主要表現(xiàn)為兩個(gè)方面，一個(gè)是原有知識(shí)再一次強(qiáng)化，使學(xué)生在原來(lái)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上再加深認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步鞏固，另一個(gè)價(jià)值是為本節(jié)課較高要求內(nèi)容作準(zhǔn)備，在原有的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)得更清晰、更完整、更深刻．

2 現(xiàn)象服務(wù)本質(zhì)

在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，不同的問(wèn)題承載的功能不一樣，要達(dá)成的目標(biāo)也不一樣． 如果問(wèn)題1是為了服務(wù)于主題，把今天所要學(xué)的知識(shí)內(nèi)容在原來(lái)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，重新整理一遍，那么接下來(lái)通常是利用知識(shí)解決問(wèn)題．

由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了高中數(shù)學(xué)所有內(nèi)容，不同的學(xué)生有不同的思維風(fēng)格和習(xí)慣，因此，面對(duì)同一問(wèn)題在同一個(gè)班上會(huì)出來(lái)不同的想法和做法．例如看下面問(wèn)題．

解法1：如圖，過(guò)M點(diǎn)作AN的平行線交AC于D點(diǎn)，

由平行線比例性質(zhì)可知

CD∶DN∶NA=1∶1∶4，

故PN∶MD∶BN=4∶5∶10，AP∶AM=4∶5,

解法2：連接PC，設(shè)△BPM面積為x，△PCN面積為y,

點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AN=2NC，

所以△APN面積為2y，△BPA面積為3y，

=0，

又因?yàn)閑1與e2不共線，

且B,P,N三點(diǎn)共線.

且A,P,M三點(diǎn)共線.

還有同學(xué)提出建立坐標(biāo)系，用解析法解決問(wèn)題．以上是師生共同探討，得出的解決此題的一些方法．

如果此問(wèn)題到此結(jié)束了，教師只是給出了問(wèn)題，并羅列了一下解題方法，這只是停留在方法的層面上，還沒(méi)觸及本課的本質(zhì)——向量解法的優(yōu)勢(shì)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的提高不大，達(dá)不到較好的復(fù)習(xí)效果．

由于此問(wèn)題比較特殊，中點(diǎn)、二比一關(guān)系，幾何意義比較明顯，用向量方法并沒(méi)有體現(xiàn)出優(yōu)越性，但是說(shuō)明了同一數(shù)學(xué)對(duì)象可以用不同方向去解決.通過(guò)問(wèn)題，為學(xué)生提供所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與已有的經(jīng)驗(yàn)建立內(nèi)部的聯(lián)系的實(shí)踐機(jī)會(huì)．

在學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行充分的感知后，再進(jìn)行抽象概括，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)建立起內(nèi)在聯(lián)系，成為一個(gè)有機(jī)的知識(shí)整體，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)理論的理性認(rèn)識(shí)．使數(shù)學(xué)思維能力得到深化．

為此，將問(wèn)題2中的BM=CM，AN=2NC改為BM=xCM，AN=yNC，由于用幾何方法過(guò)分依賴(lài)圖形的直觀性，而一般化以后，比較難以得出結(jié)果，此時(shí)用向量方法解決，則會(huì)體現(xiàn)平面向量基本定理的必要性和優(yōu)越性．

解法如下：因?yàn)锽M=xCM,AN=yNC,

因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線,

通過(guò)這一比較分析，體現(xiàn)向量基本定理解決問(wèn)題的一般性和普適性．在比較、聯(lián)系、辨析中獲得基本方法和經(jīng)驗(yàn)．更能體現(xiàn)向量基本定理的本質(zhì)．

3 目標(biāo)服務(wù)能力

在問(wèn)題1、2解決的基礎(chǔ)上，學(xué)生獲得了知識(shí)、方法，這都是學(xué)生用來(lái)解決問(wèn)題的工具，本課基本上完成了教學(xué)目標(biāo)任務(wù)，對(duì)于學(xué)生而言是重要的． 但教會(huì)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力則更重要． 當(dāng)能力達(dá)到了一定的程度，學(xué)習(xí)新知識(shí)，解決新問(wèn)題相對(duì)就容易了．

有的教師認(rèn)為，提高學(xué)生的能力，就是講難題，做難題，這種認(rèn)識(shí)是不全面的．為了提高學(xué)生的能力，選擇問(wèn)題應(yīng)能反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，與本節(jié)課的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，具有發(fā)展性，表述形式簡(jiǎn)潔，流暢且好懂，能給學(xué)生提供比較分析、抽象概括的機(jī)會(huì)．

=-1，

=AD2-DC2=9FD2-DC2

=4，

解法3：坐標(biāo)法

設(shè)D(0，0),B(-a,0),C(a,0),F(x,y),E(2x,2y),A(3x,3y),

通過(guò)問(wèn)題3，你對(duì)利用平面基本定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有什么新的感悟？

利用平面向量基本定理，選擇恰當(dāng)?shù)幕资歉玫慕鉀Q問(wèn)題的關(guān)鍵．到此為止，順利地完成了教學(xué)目標(biāo)．但在目標(biāo)中，為了更加突出能力目標(biāo)的重要性，在完成目標(biāo)后，進(jìn)行反思，給學(xué)生提供比較分析、抽象概括的機(jī)會(huì)，體現(xiàn)目標(biāo)服務(wù)能力．

反思這個(gè)環(huán)節(jié)是對(duì)本節(jié)課的過(guò)程進(jìn)行整理，對(duì)其中涉及的基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納總結(jié)，對(duì)不同解題思路進(jìn)行比較，并思考優(yōu)化、改進(jìn)解題過(guò)程，所以是學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)再概括環(huán)節(jié)．由于是在已有實(shí)踐基礎(chǔ)上進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動(dòng)，因此學(xué)生對(duì)問(wèn)題所涉及的知識(shí)、思想和方法的體驗(yàn)、領(lǐng)悟會(huì)更加深刻．從感性到理性、從具體到抽象、從模糊到清晰逐漸過(guò)渡的過(guò)程，逐漸走向深入．讓學(xué)生感受到完成任務(wù)的滿足感，戰(zhàn)勝困難的喜悅感，引起繼續(xù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情．

通過(guò)本課3個(gè)問(wèn)題的解決，追問(wèn)學(xué)生是怎么想到的．提煉出用平面向量基本定理解決問(wèn)題的方法步驟．

通常有三種方法解決向量問(wèn)題，即：根據(jù)幾何意義；選擇基底運(yùn)算；建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，其中坐標(biāo)法是選擇單位正交向量為基底．

解決問(wèn)題的步驟：

選擇基底，線性表示，化簡(jiǎn)運(yùn)算，獲得結(jié)果．

將問(wèn)題解決方法提升到一般化的層面，這些都是推理論證，抽象概括等能力培養(yǎng)和指導(dǎo)思維的方式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，從而極大的提高學(xué)生的解題水平和數(shù)學(xué)能力．

當(dāng)然，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，一節(jié)課要完成各方面的功能不大可能，但是作為教師，對(duì)于每一個(gè)選題都要有所思考，至少在某一方面要達(dá)到其應(yīng)有的價(jià)值，努力做到服務(wù)主題、服務(wù)本質(zhì)、服務(wù)能力．