郭蕾

摘? 要：小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想應(yīng)當(dāng)是“問題情境”“抽象模型”“解釋應(yīng)用”“發(fā)展完善”的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生豐富“?！钡姆e累，引導(dǎo)學(xué)生獲得“型”的感悟。只有引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型、應(yīng)用模型、延伸和拓展數(shù)學(xué)模型，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)、豐富中提升數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);模型思想;核心素養(yǎng)

模型思想是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。東北師范大學(xué)史寧中教授曾經(jīng)這樣說：“學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有三：抽象、推理和模型?！睆哪撤N意義上說，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是一個模型建構(gòu)的過程。在這個過程中，學(xué)生需要進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理。所謂“數(shù)學(xué)模型”，就是“學(xué)生根據(jù)特定的研究目的，對研究對象進(jìn)行抽象、概括的過程”。這個過程，就是一個數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的過程。一般來說，小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想應(yīng)當(dāng)是“問題情境”“抽象模型”“解釋應(yīng)用”“發(fā)展完善”的過程。只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型建構(gòu)、解釋、應(yīng)用、發(fā)展的全過程，學(xué)生才能感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

一、創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)具象性數(shù)學(xué)模型

“數(shù)學(xué)模型”是一個含義豐富的概念。廣義地講，一切數(shù)學(xué)概念、公式、方程等都可以看成是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的種類很多，包括公式模型、集合模型、方程模型、函數(shù)模型等。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型基于學(xué)生的現(xiàn)實化需求，始于學(xué)生的多層次感知，發(fā)展于學(xué)生的形式化抽象，終于學(xué)生的思想化提煉。在模型建構(gòu)過程中，教師首先要創(chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生的經(jīng)驗，讓學(xué)生借助問題形成模型建構(gòu)的意向。對于學(xué)生來說，知識不是純粹的，也不是孤立存在的，而是嵌入情境之中的。將學(xué)生的模型建構(gòu)鑲嵌于情境之中，就是要激活學(xué)生的經(jīng)驗，形成學(xué)生模型建構(gòu)的意向。

比如教學(xué)“小數(shù)的意義和性質(zhì)”（蘇教版五年級上冊），這是在學(xué)生三年級學(xué)習(xí)了“小數(shù)的初步認(rèn)識”基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，因此對于學(xué)生而言有著十分豐厚的知識基礎(chǔ)。同時，學(xué)生在生活實踐中已經(jīng)廣泛地接觸了小數(shù)，如商店里、超市里，如在里程表、電表、水表上，等等。這些為學(xué)生全面認(rèn)識小數(shù)的意義奠定了堅實的基礎(chǔ)。教學(xué)中，筆者選取了學(xué)生熟悉的經(jīng)驗生活中的素材，如家具的尺寸、超市中常見的物品的價格等。如此，增強學(xué)生的感性認(rèn)識。教學(xué)中，筆者讓學(xué)生比畫“1分米”“1厘米”的長度，并讓學(xué)生從米尺上找出“1分米”“1厘米”。在尋找、比較、分析的過程中，學(xué)生認(rèn)識到“1分米就是將1米平均分成10份，表示這樣的一份，也就是1米的十分之一”“1厘米就是將1米平均分成100份，表示這樣的一份，也就是1米的百分之一”，等等。那么，十分之一米、百分之一米用小數(shù)怎樣表示呢？這樣，自然能讓學(xué)生理解“小數(shù)的具體意義”，即“十分之一米就是一米的十分之一，也就是0.1米”，等等。

創(chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生的經(jīng)驗。培育學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，需要適宜的土壤。這個土壤就是情境。只有在情境之中，學(xué)生的情與智相融，情與智交互，才能讓學(xué)生建立起經(jīng)驗的具體的模型，如“0.1米就是十分之一米”“0.01米就是百分之一米”，等等。一個個具體的數(shù)學(xué)模型，是抽象的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，它關(guān)聯(lián)著學(xué)生的經(jīng)驗與學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的“腳手架”。

二、運用圖形，建構(gòu)抽象性數(shù)學(xué)模型

學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)不能停留在具體的直觀的模型層面，而必須通過具體直觀的數(shù)學(xué)模型的量的積累，抽象提煉成具有形式化、符號化的數(shù)學(xué)模型。只有通過建構(gòu)抽象的數(shù)學(xué)模型，才能深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知。在建構(gòu)抽象的數(shù)學(xué)模型過程中，教師可以借助圖形，對具體的、直觀的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行抽象、提煉、概括，從而實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的深化、突破和超越。

比如在教學(xué)“小數(shù)的意義”時，當(dāng)學(xué)生通過生活經(jīng)驗、直觀操作認(rèn)識了“0.1米”“0.1元”“0.01米”“0.01元”之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫出了一個長方形圖，或者正方形圖，或者線段圖等，并將之看作整數(shù)1。學(xué)生認(rèn)識到，這兒的整數(shù)1既可以表示1米，也可以表示1元，還可以表示1噸、1小時，等等。將整數(shù)1平均分成10份，每一份就是整數(shù)1的十分之一，也就是0.1，表示多少份就是零點幾。那么，0.1能不能繼續(xù)平均分呢？顯然，0.1還可以重新作為一個整數(shù)1，繼續(xù)平均分成10份，每一份就是0.1的十分之一，也就是原來整數(shù)1的百分之一，即0.01。同樣，表示多少份就是零點零幾，等等。在這個過程中，學(xué)生不僅建構(gòu)了一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)等的小數(shù)概念，而且認(rèn)識了一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)等之間的深刻關(guān)聯(lián)。

通過示意圖、線段圖，學(xué)生舍棄了具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而形成了對純數(shù)學(xué)的認(rèn)知、理解與把握。學(xué)生認(rèn)識到，“所謂‘小數(shù)，就是將整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……表示這樣一份或幾份的數(shù)”;認(rèn)識到“一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”;認(rèn)識到“小數(shù)的計數(shù)單位”;認(rèn)識到“相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10”;等等。

三、回歸生活，建構(gòu)應(yīng)用型數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型不僅要從學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗中來，更要回到學(xué)生的知識、應(yīng)用中去?；貧w生活，建構(gòu)應(yīng)用型數(shù)學(xué)模型，就是要求教師要引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型解釋和應(yīng)用。對數(shù)學(xué)模型的解釋、應(yīng)用，要求能抓住問題的本質(zhì)，逐步感悟出模型建構(gòu)過程以及模型建構(gòu)結(jié)果之中本質(zhì)性的東西。只有回歸生活，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋、應(yīng)用，經(jīng)歷主動歸納、提升的過程，才能在嘗試、驗證、交流的過程中深化對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知。

比如在教學(xué)“小數(shù)的意義”時，當(dāng)學(xué)生建立了“小數(shù)的模型”之后，就可以引導(dǎo)學(xué)生用“噸”表示以“千克”作單位的對象，用“千米”表示以“米”作單位的對象，用圓表示以角、分作單位的對象，等等。不僅如此，教師還可以數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上表示已經(jīng)認(rèn)識的小數(shù)。在數(shù)軸上表示0.1、0.01、0.001、0.0001等數(shù)之后，學(xué)生就會感受到數(shù)軸上的點的無窮與小數(shù)的無窮之間的一一對應(yīng)性。通過對數(shù)學(xué)模型的解釋、應(yīng)用，學(xué)生能對數(shù)學(xué)知識舉一反三、觸類旁通，這正是學(xué)生建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型的重要標(biāo)識。數(shù)學(xué)的思想方法是隱性的，通過數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)、解釋和應(yīng)用，能顯化數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生多分析、多思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)而不斷提升數(shù)學(xué)問題解決能力。通過建模、釋模、用模，不斷豐富數(shù)學(xué)模型的意義。相比較于數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)模型更為抽象，更不可照搬、復(fù)制，只能通過感悟、體驗。

回歸生活，數(shù)學(xué)的抽象模型就能獲得豐富的解釋力，就能彰顯數(shù)學(xué)模型的意義和價值，彰顯數(shù)學(xué)模型的力量。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，讓學(xué)生獲得多層次的感受與體驗，從而能抓住數(shù)學(xué)模型的根本。只有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型的生活化應(yīng)用，才能提升學(xué)生的問題解決能力，有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、拓展延伸，形成發(fā)展性數(shù)學(xué)模型

小學(xué)數(shù)學(xué)模型是相同的，比如“單價乘數(shù)量等于總價”“速度乘時間等于路程”“工效乘工時等于工總”等數(shù)學(xué)模型，其實都可以概括為“乘法模型”。數(shù)學(xué)模型，既有上位的數(shù)學(xué)模型，也有下位的數(shù)學(xué)模型。這樣，才能培育學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的融會貫通的能力，培育學(xué)生數(shù)學(xué)知識靈魂應(yīng)用的能力。

比如在“小數(shù)的意義”數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)中，教師可以將之與“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”中所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型、與整數(shù)的數(shù)學(xué)模型相溝通，從而幫助學(xué)生建構(gòu)完整的“數(shù)位順序表”。比如向左分別是“10個0.1是1，10個0.01是0.1，等等”;向右分別是“10個1是10，10個10是100，10個100是1000，等等”。當(dāng)我們將小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)勾連起來的時候，學(xué)生就能深刻認(rèn)識“小數(shù)模型”，即“小數(shù)是不帶分母的十進(jìn)分?jǐn)?shù)”;或者說，“小數(shù)就是將整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……表示這樣一份或幾份的數(shù)”，并且學(xué)生認(rèn)識到“小數(shù)和整數(shù)”的相通性，相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10，即“前一個計數(shù)單位是后一個計數(shù)單位的10倍，后一個計數(shù)單位是將前一個計數(shù)單位依次平均分成10份，是前一個計數(shù)單位的十分之一”，等等。這樣的認(rèn)知，是一個從低級到高級、從個別到一般、從具體到抽象、從感性到理性的過程。這樣的過程，讓學(xué)生對“小數(shù)的意義”的模型的理解逐漸走向深入。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要重視數(shù)學(xué)模型思想的滲透、孕育，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過程;要著重引導(dǎo)學(xué)生豐富“?！钡姆e累，引導(dǎo)學(xué)生獲得“型”的感悟。只有引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型、應(yīng)用模型、延伸和拓展數(shù)學(xué)模型，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)、豐富中提升數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。