周琦

[摘? 要] 數(shù)學變式教學是指緊扣本質特征不變這一中心思想，從不同角度，采用不同方式，變換背景，改變數(shù)學問題的表現(xiàn)形式，使相關問題非本質特征發(fā)生更變的一種教學方式. 教師在教學過程中應引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質，從而提升分析數(shù)學問題、解決數(shù)學問題的能力.

[關鍵詞] 變式教學;化歸思想;找規(guī)律

教材分析

“找規(guī)律”是七年級上冊，學生在學習了有理數(shù)的運算、用字母表示數(shù)和整式的加減基礎上展開的一節(jié)活動課. 它既是對前面所學知識的綜合運用，也是對這些知識的拓展和延伸，還能為學生今后學習方程、函數(shù)等知識奠定基礎.

教學目標

1. 用整式表示實際問題中的數(shù)量關系.

2. 掌握從特殊到一般的分析問題的歸納方法，以及從一般到特殊的化歸問題的解決策略.

3. 培養(yǎng)思辨精神和應用意識.

教學重點

1. 用整式表示實際問題中的變化量與n的對應數(shù)量關系.

2. 掌握從特殊到一般、化歸等數(shù)學思想方法的應用.

教學難點

發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).

教學過程

（一）情境引入，開宗明義

問題? 請寫出1+2+3+…+n（n為正整數(shù)）的結果，并說明理由.

解答? 1+2+3+…+n= ·n（n為正整數(shù)）

所以1+2+3+…+n= ·n（n為正整數(shù)）.

設計意圖? “找規(guī)律”是一個覆蓋面非常廣的課題，在初中段，需要學生掌握一些基本數(shù)字規(guī)律和研究方法. 本課以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的求和問題為探究主線，從不同角度和層次展開變式應用.

追問：看到這個等式，你們有沒有想到一位偉大的數(shù)學家和與此相關的故事？

設計意圖? 切合教學內容的數(shù)學文化介紹，能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和動力，從而讓他們在數(shù)學求學之路上增強自信、發(fā)憤圖強.

（二）一法多題，融會貫通

通過變換背景，改變基本方法的表現(xiàn)形式，可以尋找核心問題的能力增長點，從而達到理解一個基本原理，解決一類相關問題，促進數(shù)學高階思維發(fā)展的目的.

1. 等式問題中的變式

變式1? 觀察下列等式：

1=12 ①

1+3=22 ②

1+3+5=32 ③

1+3+5+7=42 ④

…

請寫出第⑤個等式并驗證.

解答? 第⑤個等式為1+3+5+7+9=52.

驗證：左邊=1+3+5+7+9=25，

右邊=52=25，

所以左邊=右邊.

所以等式成立.

追問1：請寫出第n個等式（n為正整數(shù)），并說明理由.

追問2：從1開始，連續(xù)多少個奇數(shù)相加的和等于400？

設計意圖? 從探究連續(xù)自然數(shù)相加的規(guī)律，變式到探究連續(xù)奇數(shù)相加的規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學思維的發(fā)展性和深刻性. “追問1”對一般規(guī)律的驗證，考查了學生數(shù)學思維的邏輯性和嚴謹性;“追問2”從逆向變式的角度，提升學生對連續(xù)奇數(shù)的和與等式序號n之間對應關系的理解.

2. 數(shù)陣問題中的變式

變式2? 將正偶數(shù)按照圖1所示的規(guī)律排列下去. 若用有序實數(shù)對（a，b）表示第a行的第b個數(shù)，如（4，3）表示偶數(shù)18，則圖中（8，6）的位置表示的數(shù)是多少？

解答? 圖1中的數(shù)陣我們可以換個角度改寫成圖2的形式.

用符號語言來表示第n行最后一個數(shù)，為2（1+2+3+…+n）=2· ·n=n（n+1）（n為正整數(shù)），所以第7行最后一個數(shù)為7×8=56. 所以第8行第6個數(shù)為56+2×6=68.

追問1：求出偶數(shù)2020對應的有序實數(shù)對.

追問2：用含n的代數(shù)式表示第n行（n≥2）的最后一個數(shù)與第（n-1）行最后一個數(shù)的差.

設計意圖? 一脈相承的研究體系，體現(xiàn)了由特殊到一般的研究思路和由一般到特殊的應用路徑. 根據(jù)題目給出的圖形、數(shù)值、數(shù)列等已知條件，發(fā)現(xiàn)第n行最后一個數(shù)的表達式可以轉化為主線的解決策略.

3. 圖形問題中的變式

變式3? 如圖3，圖①是一個水平擺放的正方體木塊，圖②和圖③是由這樣的正方體木塊按一定的規(guī)律疊放而成的. 其中圖①有1個正方體木塊，圖②有6個正方體木塊，圖③有15個正方體木塊……按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，圖⑥有多少個正方體木塊？

解答? 圖①中，正方體木塊的個數(shù)為1;

圖②中，正方體木塊的個數(shù)為1+5=6;

圖③中，正方體木塊的個數(shù)為1+5+9=15.

從前3個式子可以得出圖⑥中正方體木塊的個數(shù)為1+5+9+13+17+21=66.

追問：圖⑩中有多少個正方體木塊？

設計意圖? 圖形問題找規(guī)律是數(shù)形結合思想方法運用的典范. 一方面，可以從數(shù)的發(fā)展趨勢尋找規(guī)律，只要前后兩項的差不變，都可以用主線的方法得出一般結論;另一方面，可以從圖形的構成特征尋找規(guī)律，分解、化歸成基本圖形并寫出變化量與n的對應數(shù)量關系，再進一步化簡，問題迎刃而解.

4. 實際問題中的變式

變式4? 某次聯(lián)誼會有40人參加. 若40位與會人員彼此握手一次，那么全體與會人員共握手多少次？若用點來表示每個人，連接兩點的線段數(shù)目表示握手的次數(shù)，結合表1中的提示解決問題.

解答? 由表1中的規(guī)律可知，2位與會人員彼此握手一次，共握手1次，1=0+1;3位與會人員彼此握手一次，共握手3次，3=1+2;4位與會人員彼此握手一次，共握手6次，6=1+2+3;5位與會人員彼此握手一次，共握手10次，10=1+2+3+4. 類比規(guī)律，當n位與會人員彼此握手一次時，共握手1+2+…+（n-1）= n（n-1）次. 所以當n=40時， n（n-1）= ×40×39=780.

追問1：所有與會人員彼此握手一次，共握手435次，那么與會人員一共有多少人？

追問2：所有與會人員彼此之間互送賀卡，40位與會人員一共送出賀卡多少張？

設計意圖? 主線的背景放置到實際問題的變式中，將每個人抽象成點，借助表格將人與人之間的握手問題抽象為點與點之間的連線段問題，實現(xiàn)了從實際問題到數(shù)學問題的轉化. “追問1”進行思維的逆向變式，“追問2”進行對比變式，學生在情境變式中會再次體驗主線規(guī)律的運用，能發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模等核心素養(yǎng).

（三）集思廣益，變中探源

課堂小結環(huán)節(jié)請學生從知識、方法、經(jīng)驗、疑惑等方面對本節(jié)課進行變式梳理.

設計意圖? 引導學生回顧本節(jié)課用于找規(guī)律的知識，在“萬變之題”中總結解決找規(guī)律問題的步驟與方法，歸納出“不變之道”——基本模型，形成解決這類問題的通法經(jīng)驗.

教學反思

本節(jié)課抓住高斯求和這條主線，從等式問題中的變式、數(shù)陣問題中的變式、圖形問題中的變式、實際問題中的變式四個方面展開詳述. 隨著學生數(shù)學知識的增長，還可以探究幾何問題中的變式、不等式問題中的變式、函數(shù)問題中的變式等，豐富變式背景，從而拓寬學生觀察問題的眼界，鍛煉學生思考問題的能力，并賦予數(shù)學模型不同的表現(xiàn)形式和存在意義. 數(shù)學模型好比人的“筋骨”，亙古不變，變換的背景就是“血肉之軀”，二者合一便造就一個個鮮活的“生命”. 因此，二者相互依存，在教學中偏廢任何一方都是不可取的.

解題是數(shù)學學習繞不開的重要環(huán)節(jié)，學生要想達到事半功倍的學習效果，教師就要沉下心來鉆研教材教法，有目的有層次地精挑細選試題，合理運用變式教學，引導學生抓住“不變”的本質運用“變化”的視角靈活處理問題. 核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學變式教學，不僅能使學生有效鞏固所學知識，強化思想方法，而且能讓他們自覺建構不同體系間的橫向聯(lián)系，促進他們應用意識和創(chuàng)新能力的發(fā)展.