蔡海濤

摘 要：立體幾何中的作圖問(wèn)題學(xué)生掌握并不理想，為此，開(kāi)設(shè)微專題復(fù)習(xí)課“立體幾何中的作圖問(wèn)題”，主要針對(duì)涉及平行和垂直關(guān)系的作圖問(wèn)題，歸納求解的一般方法.

關(guān)鍵詞：微專題;立體幾何;作圖

2019年4月2日-4日，福建省第三批高中數(shù)學(xué)基地學(xué)校研討活動(dòng)在廈門集美中學(xué)舉行，研討的主題是解決高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中存在的重難點(diǎn)問(wèn)題，提升2019年高考備考的科學(xué)性、針對(duì)性，提升教育質(zhì)量.會(huì)議期間，筆者應(yīng)邀開(kāi)設(shè)了一節(jié)高三微專題復(fù)習(xí)課“立體幾何中的作圖問(wèn)題”.現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程、設(shè)計(jì)意圖、課后感悟整理成文，期待拋磚引玉.

一、教學(xué)過(guò)程

1.切入主題

師：我們知道，解決立體幾何問(wèn)題需要一定的空間想象能力，研究往往從圖形開(kāi)始，這就要求我們要有識(shí)圖、作圖、用圖的能力.在近幾年的高考及省、市質(zhì)檢中，立體幾何作圖問(wèn)題頻頻出現(xiàn)，而考生的答題情況不容樂(lè)觀.作圖問(wèn)題就是定性幾何圖形的位置關(guān)系，而在立體幾何中最重要的位置關(guān)系就是平行和垂直.今天就和同學(xué)們一起來(lái)研究立體幾何中涉及平行和垂直的作圖問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)門見(jiàn)山，直奔主題，提高課堂效率，符合高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的特點(diǎn)，同時(shí)讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)這節(jié)課的必要性，提升學(xué)習(xí)的興趣.

2.平行問(wèn)題

師：請(qǐng)同學(xué)們看例1，先考慮第1小題.

例1 （人教A版必修二63頁(yè)B組第1題改編）一木塊如圖1所示，點(diǎn)P在平面VAC內(nèi)，D、E分別為棱AB、VB中點(diǎn).

（1）過(guò)點(diǎn)P和直線DE將木塊鋸開(kāi)，應(yīng)該怎樣畫線？

（2）過(guò)點(diǎn)P將木塊鋸開(kāi)，使截面平行于直線VB和AC，應(yīng)怎樣畫線？

生1：點(diǎn)P和DE確定一個(gè)平面，連結(jié)PD，PE，DE，即為所求畫線.

師：P、D、E三點(diǎn)共面，但題意要求的畫線是畫在如圖三棱錐（木塊）的表面上，所以實(shí)質(zhì)上是要畫出平面PDE與三棱錐表面的交線，直線PD，PE就不符合要求了.那么我們?cè)撛趺串嬆兀?/p>

生2：過(guò)點(diǎn)P作MN平行于VA，交AC于M，交VC于N，連結(jié)DM、NE、ED，即為所求畫線.

師：回答正確，你是怎么想到的？

生2：首先注意到DE與平面VAC平行，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，平面PDE與平面VAC的交線與直線DE平行，又因?yàn)镈E∥VA，所以作VA的平行線MN，然后再連結(jié)D、M、N、E各點(diǎn)就好了.

師：非常好，畫兩個(gè)平面的交線，常常要觀察線面平行的關(guān)系，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，得到兩平面的交線.另外，同學(xué)們?cè)谶^(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線時(shí)，要在某個(gè)平面作出，如這道題目中過(guò)點(diǎn)P作MN平行DE就不合理了.接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們看第2小題.

生3：過(guò)點(diǎn)P作FG平行AC，交VC于F，交VA于G，過(guò)點(diǎn)G作GH平行VB，交AB于H，過(guò)點(diǎn)H作HI平行AC，交BC于I，連結(jié)IF，則平面FGHI即為所求.教師投影例1兩道題目的解答過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生初步感受立體幾何中的作圖問(wèn)題，明確幾何作圖的每個(gè)環(huán)節(jié)都需要有理有據(jù).涉及平行關(guān)系的作圖問(wèn)題，一般根據(jù)平行的性質(zhì)來(lái)尋找求解問(wèn)題的途徑.

師：通過(guò)例1，同學(xué)們基本知道了解決立體幾何涉及平行的作圖問(wèn)題的一般方法，下面通過(guò)例1的變式來(lái)鞏固下.

變式（2019年莆田市高三質(zhì)檢·理19改編）

如圖2，邊長(zhǎng)為2菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將△DAE，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C重合于點(diǎn)P，如圖3.在棱PD上找點(diǎn)G，使得PB∥平面EFG，并說(shuō)明理由.

學(xué)生思考、練習(xí)后，教師投影生4的解答如下：

解 當(dāng)PGGD=13時(shí)，PB∥平面EFG.證明如下：如圖4、5，在菱形ABCD中，連結(jié)AC，BD，設(shè)BD∩EF=O，BD∩AC=M.

又E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以BOOD=13.連結(jié)OG，又PGGD=BOOD=13，所以PB∥OG.因?yàn)镺G平面EFG，PB平面EFG，所以PB∥平面EFG.

師：答案正確，書寫規(guī)范，真棒！對(duì)于PGGD=13這個(gè)關(guān)系式，你是如何想到的？（提問(wèn)生4）

生4：先假設(shè)PB∥平面EFG，則可根據(jù)線面平行的性質(zhì)，直線PB必與過(guò)PB的平面與平面EFG的交線平行.所以連結(jié)BD，發(fā)現(xiàn)兩平面的交線即為OG，然后在△BPD中，由PGGD=BOOD即得到G點(diǎn)的位置.

師：（肯定）對(duì)于探究性問(wèn)題，一般是先假設(shè)結(jié)論成立，通過(guò)這個(gè)結(jié)論來(lái)發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，確定幾何圖形的特征.另外，通過(guò)這一小題，同學(xué)們也要總結(jié)立幾中折疊問(wèn)題的圖形特點(diǎn)，注意觀察圖形在折疊前后位置關(guān)系與長(zhǎng)度關(guān)系變化的情況.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例1及例1變式，分析這兩道題中立幾作圖平行問(wèn)題的共性，都是從平行關(guān)系的性質(zhì)入手，確定幾何圖形的位置關(guān)系，然后再作出圖形.

3.垂直問(wèn)題

師：請(qǐng)同學(xué)們看例2，先完成第1問(wèn).

例2 如圖6，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，面A1C1上有一點(diǎn)O.

（1）（人教A版必修二78頁(yè)B組第1題改編）經(jīng)過(guò)點(diǎn)O在平面A1C1內(nèi)畫一條直線與直線CO垂直，怎樣畫？

（2）（2015年高考全國(guó)Ⅱ卷·理19）過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形，在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫法和理由）.

生5：（1）步中，連結(jié)OC1，在面A1C1內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作一直線與OC1垂直，即為所求.

師：（追問(wèn)）你是如何利用已有的垂直關(guān)系這么作圖的？

生5：首先發(fā)現(xiàn)CC1⊥平面A1C1，所以所求直線必與平面CC1O垂直，因此只須在面A1C1內(nèi)作OC1垂線即可.

師：非常好.對(duì)于垂直關(guān)系的作圖，與平行關(guān)系的作圖類似，也是先去尋找原有的位置關(guān)系，再利用性質(zhì)解題.這道題關(guān)鍵就是要發(fā)現(xiàn)CC1⊥平面A1C1，然后去構(gòu)造垂直（過(guò)點(diǎn)O作一直線與OC1垂直），從而得到新的線面垂直關(guān)系（所求直線垂直平面CC1O），再得到所求直線垂直CO.

設(shè)計(jì)意圖：例2的解題策略是尋找已有線面垂直關(guān)系，構(gòu)造線線垂直，得到新的線面垂直關(guān)系.這種方法也是經(jīng)過(guò)平面α外一定點(diǎn)P向平面α內(nèi)一條定直線AB引垂線的常用方法，即先經(jīng)過(guò)P點(diǎn)作平面PO⊥α于O，再過(guò)O作OH⊥AB于H，連結(jié)PH，即為所求，該模型實(shí)則三垂線定理的模型.

（片刻后）投影生6例2第（2）的解答如下：

解 （2）交線圍成的正方形EHGF如圖7.

師：（追問(wèn)）你確定你所畫的圖形是正方形，點(diǎn)H在什么位置？

生6：因?yàn)槠矫鍭C∥平面A1C1，平面AB1∥平面DC1，所以平面α與此長(zhǎng)方體的面相交的交線圍成的四邊形為平行四邊形，又EF垂直平面AB1，所以該平行四邊形為矩形.因此只須考慮EF=EH=10，即滿足題意.在矩形ABB1A1中，可求得AH=10.

師：很好.作長(zhǎng)方體截面，要充分利用平行垂直關(guān)系，先判斷截面圖形的形狀，確定位置關(guān)系，再確定長(zhǎng)度（角度）.

設(shè)計(jì)意圖：涉及垂直關(guān)系問(wèn)題的作圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察已有的垂直關(guān)系，通過(guò)在某個(gè)平面作線線垂直，得到新的線線垂直或線面垂直，即一般通過(guò)線面垂直與線線垂直關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化來(lái)處理.

4.鞏固提升

師：請(qǐng)同學(xué)們做道練習(xí)題.

（2019年福州市高三質(zhì)檢·文19）如圖8，四棱錐E-ABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD為矩形，AD=6，AB=5，BE=3，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.

（1）求證：AE⊥BE;（略）

（2）設(shè)M在線段DE上，且滿足EM=2MD，試在線段AB上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面BCE，并求MN的長(zhǎng).

同學(xué)們自主練習(xí)后，教師投影第2問(wèn)的解答.

生7：（2）解法一：在△ADE中過(guò)M點(diǎn)作MG∥AD交AE于G點(diǎn)，在△ABE中過(guò)G點(diǎn)作GN∥BE交AB于N點(diǎn)，連MN（如圖9）.

因?yàn)镋M=2MD，所以EG=2GA，BN=2NA.因?yàn)镹G∥BE，NG平面BCE，BE面BCE，所以NG∥平面BCE.同理，GM∥平面BCE.

因?yàn)镸G∩GN=G，所以平面MGN∥平面BCE.

又因?yàn)镸N平面MGN，所以MN∥平面BCE，

所以N點(diǎn)為線段AB上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

因?yàn)锳D=6，AB=5，BE=3， 所以MG=23AD=4，所以NG=13BE=1，所以MN=MG2+NG2=42+12=17.

生8：過(guò)M點(diǎn)作MG∥CD交CE于G點(diǎn)，連結(jié)BG，在AB上取N點(diǎn)，使得BN=MG，連結(jié)MN（如圖10）.因?yàn)锳B∥CD，EM=2MD，

所以MG=23CD，因?yàn)锳B∥CD，BN=MG，

所以MG∥BN，MG=BN，

所以四邊形MGBN是平行四邊形，

則MN∥BG，又因?yàn)镸N平面BCE，BG平面BCE，

所以MN∥平面BCE，

所以N點(diǎn)為線段AB上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

在△CBG中，因?yàn)锽C=AD=6，CG=13CE=1362+32=5，cos∠BCG=255，

所以BG2=36+5-2×6×5×255=17，MN=BG=17.

師：兩位同學(xué)完成得很好，這兩種方法就是證明線面平行的常用方法，即通過(guò)面面平行來(lái)證明和通過(guò)線線平行來(lái)證明.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，進(jìn)一步提升同學(xué)們立幾作圖的能力，引導(dǎo)學(xué)生歸納平行與垂直的作圖的一般方法.作圖方法的多樣性可引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題.

5.歸納總結(jié)

師：請(qǐng)同學(xué)們交流總結(jié)下本節(jié)課的學(xué)習(xí)心得.

生：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們體會(huì)到立體幾何中如何更好去識(shí)圖、作圖、用圖，如何利用平行、垂直的性質(zhì)去解決涉及平行、垂直的作圖問(wèn)題，在作圖中提升了空間想象能力，書寫中提升推理論證能力.

師：（結(jié)束語(yǔ)）同學(xué)們總結(jié)得很到位，希望大家在以后作圖的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步提升直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng).

二、教學(xué)感悟

1.微專題究竟微在哪

高三二輪專題復(fù)習(xí)中，教師通常圍繞熱點(diǎn)問(wèn)題開(kāi)展微專題復(fù)習(xí).“微專題”的“微”要立足學(xué)生的學(xué)情（學(xué)生哪個(gè)模塊哪個(gè)類型題目比較薄弱，為什么比較薄弱），切口小、針對(duì)性強(qiáng)，只有“微”到點(diǎn)上，才能做到精準(zhǔn)教學(xué)，復(fù)習(xí)高效.2016年全國(guó)Ⅰ卷文科第18題，是一道涉及垂直關(guān)系的立體幾何作圖問(wèn)題，該題實(shí)測(cè)得分率非常低.這一現(xiàn)象反映了很多教師在平時(shí)的教學(xué)中，不舍得花一定的時(shí)間教學(xué)生怎么看圖，怎么作圖，從而沒(méi)有很好地培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、作圖、用圖的能力.本節(jié)課圍繞“立體幾何中的作圖問(wèn)題”設(shè)計(jì)教學(xué)，利用平行和垂直兩種關(guān)系的作圖，講明作圖的原理，培養(yǎng)模型意識(shí)，涵蓋了立體幾何中線線、線面、面面平行垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)了空間想象、推理論證等能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，起到了以微帶面的效果.

2.高三復(fù)習(xí)應(yīng)回歸教材

在高考中，立體幾何的作圖題多次出現(xiàn)，如2018年全國(guó)Ⅲ卷文科第19題，2016年全國(guó)Ⅰ卷文科第18題 ;2016年四川卷理科第18題;2013年福建卷理科第19題;2013年福建卷文科第18題;2013年湖北卷理科第19題;2013年四川卷理科第19題，文科第19題;2013年安徽卷理科第15題、文科第15題;2009年安徽卷理科第18題;2002年全國(guó)卷文科第22題等.這些作圖題蘊(yùn)含著空間想象、推理論證，考查了立體幾何中最重要的兩項(xiàng)基本功.所以說(shuō)，高三立體幾何的備考，一定要落在“基礎(chǔ)”上，無(wú)論是哪種層次的考生，基礎(chǔ)部分的分值至關(guān)重要.因此，在備考時(shí)要回歸教材.基于此，筆者在例題的選擇上都是以課本的例題為母題，然后再進(jìn)行變式，通過(guò)變式，可以發(fā)現(xiàn)很多高考題都是源于教材，希望以此來(lái)引發(fā)學(xué)生和聽(tīng)課教師對(duì)回歸教材的思考，讓師生在備考時(shí)真正做到回歸教材，聚集高考.

參考文獻(xiàn)：

[1]王岳.以微知廣 以點(diǎn)帶面——高三二輪復(fù)習(xí)課“多元變量問(wèn)題處理方法研究”的教學(xué)實(shí)錄與感悟[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（11）：31-34.

[責(zé)任編輯：李 璟]