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        導(dǎo)數(shù)之我見

        2020-09-10 07:22:44朱德花
        高考·上 2020年6期
        關(guān)鍵詞:單調(diào)性極值最值

        朱德花

        摘 要:縱觀近幾年全國各省數(shù)學(xué)高考試卷來看,導(dǎo)數(shù)是每年高考試題中必不可少的組成部分,高考試題中以選擇題,填空題,簡答題各種形式出現(xiàn),每年在高考試題中分值多達(dá)17分左右,其中在高考試題中必然有一道簡答題,另外一道是填空題或簡答題?,F(xiàn)將高考試卷中導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用可能出現(xiàn)的各種題型及其解題方法歸納如下:

        關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);極值;最值;單調(diào)性

        第一類:曲線y=f(x)在某點(diǎn)處切線問題

        要解決曲線y=f(x)在某點(diǎn)處切線問題,關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:曲線y=f(x)在某點(diǎn)x0處切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值,即k=f'(x0)。

        1.若求曲線y=f(x)在某點(diǎn)x0處切線方程:先求f、(x),從而求得f、(x0),再代入處切線方程y-f(x0)=f、(x0)(x-x0)。

        2.若已知曲線y=f(x)在某點(diǎn)x0處切線方程求參數(shù)值:利用曲線y=f(x)在某點(diǎn)x0處切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值構(gòu)造方程,即k=f、(x0),從而求得參數(shù)值。

        第二類:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性問題

        要解決函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性問題必須先明確函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間必須在定義域范圍內(nèi)討論;然后利用函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)y=f、(x)正負(fù)關(guān)系:解不等式f、(x)>0得到函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,從而判斷函數(shù)y=f(x)在這區(qū)間上為增函數(shù);解不等式f、(x)<0得到函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,從而判斷函數(shù)y=f(x)在這區(qū)間上為減函數(shù)。

        1.若求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性:先求函數(shù)y=f(x)的定義域,再求導(dǎo)數(shù)y=f、(x),最后解不等式f、(x)>0或f、(x)<0,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性。

        第三類:函數(shù)y=f(x)的極值或極值點(diǎn)問題

        要解決函數(shù)y=f(x)的極值或極值點(diǎn)問題必須先明確函數(shù)的定義域,極值或極值點(diǎn)必須在定義域范圍內(nèi)討論;然后利用函數(shù)y=f(x)的極值與導(dǎo)函數(shù)y=f、(x)正負(fù)關(guān)系:若導(dǎo)函數(shù)y=f、(x)在點(diǎn)x0附近左正右負(fù),則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(x0)為函數(shù)y=f(x)的極大值;若導(dǎo)函數(shù)y=f、(x)在點(diǎn)x0附近左負(fù)右正,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)為函數(shù)y=f(x)的極小值。特別要注意:極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值為0,即f、(x0)=0,反之不一定成立。

        1.若求函數(shù)y=f(x)的極值或極值點(diǎn):先求函數(shù)y=f(x)的定義域,再求導(dǎo)數(shù)y=f、(x),其次解方程f、(x)=0,最后根據(jù)方程的解把定義域分成部分區(qū)間列成表格,從而得到相應(yīng)的極值或極值點(diǎn)。

        第四類:函數(shù)y=f(x)的最值問題

        1.若求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔a,b〕上最值:先求出函數(shù)y=f(x)極值,再將極值與f(a),f(b)比較大小,其中最大的值為最大值,最小的值為最小值。

        2.若求函數(shù)y=f(x)在無窮區(qū)間上最值:若函數(shù)y=f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn),極大值就是最大值,極小值就是最小值。

        第五類:不等式恒成立問題

        要解決不等式恒成立問題首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問題,關(guān)鍵還是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。

        1.若要證明不等式f(x)常數(shù)M:首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)min常數(shù)M,然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)的最小值,最終得到所要證明的不等式。

        2.若要證明不等式f(x)常數(shù)M:首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)max常數(shù)M,然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)的最大值,最終得到所要證明的不等式。

        3.若不等式f(x)≤g(a)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍:首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(a),然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)的最大值,最終得到關(guān)于a的不等式,從而求得a的取值范圍。

        4.若不等式f(x)≥g(a)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍:首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)min≥g(a),然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)的最小值,最終得到關(guān)于a的不等式,從而求得a的取值范圍。

        第六類:函數(shù)的零點(diǎn)問題

        根據(jù)零點(diǎn)定義,方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),但是許多方程f(x)=0無法解出,因此利用導(dǎo)數(shù)來解決。

        1.若要說明函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn):首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào),再說明兩端函數(shù)值異號(hào),從而斷定在這個(gè)區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)。

        總而言之,導(dǎo)數(shù)是每年數(shù)學(xué)高考試題中必不可少的組成部分,在函數(shù)中占有重要地;此外導(dǎo)數(shù)給我們解決函數(shù)各類問題帶來了極大的方便,往往會(huì)使復(fù)雜的函數(shù)問題變得簡單化。

        參考文獻(xiàn)

        [1]具有某種性質(zhì)的函數(shù)是某種函數(shù)[J].寧新民.婁底師專學(xué)報(bào).1989(02)

        [2]用微分方程定義基本初等函數(shù)[J].吳忠懷.大眾科技.2006(05)

        [3]幾個(gè)基本初等函數(shù)的公理化定義[J].胡永忠,曾平華.廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào).2001(02)

        [4]關(guān)于基本初等函數(shù)的定義[J].張友極.荊州師專學(xué)報(bào).1984(02)

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