陳雪斌

摘要：行程問題是研究路程、速度和時(shí)間三者之間的關(guān)系。隨著運(yùn)動(dòng)物體的個(gè)數(shù)、時(shí)間、地點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)方向、結(jié)果等因素的變化，行程問題變得變化多端且錯(cuò)綜復(fù)雜?；诖?，教師應(yīng)針對行程問題編寫拓展性學(xué)材，立足課本內(nèi)容，通過以“類”組題，把握問題的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)主動(dòng)建構(gòu);以“序”呈題，揭示問題的發(fā)生發(fā)展過程，完善認(rèn)知;以“一”拓題，在多種變換中反復(fù)運(yùn)用，構(gòu)建解題策略，積累解題經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)知識(shí)的生長，實(shí)現(xiàn)師生共同成長。

關(guān)鍵詞：對接? ?生長? ?行程問題? ?拓展

行程問題是研究路程、速度和時(shí)間三者之間的關(guān)系，是物體勻速運(yùn)動(dòng)的物理模型。從橫向來看，它適用于總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量，每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)這一類現(xiàn)實(shí)中的乘法問題，可以稱為乘法模型的代表;從縱向來看，隨著運(yùn)動(dòng)物體由一變多，運(yùn)動(dòng)方向、結(jié)果等諸多因素的變化，問題也變得錯(cuò)綜復(fù)雜。再加上行程問題與分?jǐn)?shù)、比例等知識(shí)綜合起來，呈現(xiàn)出綜合性強(qiáng)、類型多樣的特征，學(xué)生更加難以把握。究其原因，是因?yàn)樾谐虇栴}的復(fù)雜性與課時(shí)緊迫性之間的矛盾，迫于課時(shí)限制，在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只囿于課本，沒有從本質(zhì)上揭示關(guān)鍵要素，學(xué)生沒有對行程問題形成系統(tǒng)性認(rèn)知，沒有建立整體結(jié)構(gòu)。

教師針對行程問題編寫拓展性學(xué)材時(shí)，應(yīng)立足課本內(nèi)容，對接學(xué)生的所知、所惑、所需，通過揭示多個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵要素，引領(lǐng)學(xué)生分析問題;針對共性問題分類組題，實(shí)現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu);針對同類問題序列呈現(xiàn)，揭示問題的發(fā)生發(fā)展，完善學(xué)生認(rèn)知;在多種變換中反復(fù)運(yùn)用，內(nèi)化形成心智技能，構(gòu)建解題策略，積累解題經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)和學(xué)力的生長。

一、低起點(diǎn)：以“點(diǎn)”引題，喚醒舊知

在編寫拓展性學(xué)材時(shí)，教師要源于課本，又高于《課程標(biāo)準(zhǔn)》。具體來說，源于課本是從基礎(chǔ)性來思考的，為例題的學(xué)習(xí)起到了解現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)、喚醒舊知之效;高于《課程標(biāo)準(zhǔn)》是從生長性來考慮的，為例題學(xué)習(xí)確定了思維角度與發(fā)展方向。因此，在編寫拓展性學(xué)材時(shí)，教師應(yīng)安排課本鏈接，呈現(xiàn)“低起點(diǎn)，高落點(diǎn)”的態(tài)勢。

例1.甲、乙兩人分別從相距180米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲、乙的速度分別是40米/分與20米/分。兩人幾分鐘后相遇？

例2.甲、乙兩人分別從相距180米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，甲、乙的速度分別是40米/分與20米/分。幾分鐘后甲追上乙？

上述兩個(gè)例子是五年級《代數(shù)》單元章節(jié)中的相遇問題與追及問題，有助于面向全體學(xué)生診斷學(xué)習(xí)起點(diǎn)、喚醒鋪墊。在教學(xué)中，教師的教學(xué)重點(diǎn)落后圍繞這兩題進(jìn)行追問：“求時(shí)間的方法有什么不同？為什么？”師生進(jìn)行比較、討論，引出分析兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)事件時(shí)要考慮“方向”與“結(jié)果”這兩個(gè)要素，通過想象，喚醒相向、相背、同向三種方向，直觀地理解了速度和（差）與各種方向的邏輯聯(lián)系。由此看來，從源頭上把握速度和、速度差的影響要素和產(chǎn)生原因，是分析多個(gè)運(yùn)動(dòng)物體數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵與本源。

二、強(qiáng)聯(lián)系：以“類”組題，主動(dòng)建構(gòu)

教師應(yīng)從行程問題的題目類型、分析思路、發(fā)展變化等角度進(jìn)行思考與分類，有代表性地描述與呈現(xiàn)整類題目，力圖體現(xiàn)精選題、拎結(jié)構(gòu)、顯聯(lián)系，才能讓學(xué)生在題組中通過感知、理解、比較，全面把握，達(dá)到窺一斑見全身之效。

1.逆向而尋，編制可逆關(guān)系的“類”

逆向思維是一種從反面觀察事物，變換思考角度，由果索因的思維形式。它的創(chuàng)新在于從另一個(gè)方向來驗(yàn)證結(jié)果，多了一種探求的樂趣，實(shí)現(xiàn)了正向和逆向的融會(huì)貫通，達(dá)到對數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解，提高了學(xué)生思維的靈活度。如針對例1中進(jìn)行逆向思考，學(xué)生分別可以求出兩地路程、甲與乙的速度，形成一組可逆關(guān)系的四道題：

原題：求相遇時(shí)間180÷（40+20）=3（分鐘）

聯(lián) 1：求兩地路程 （40+20）×3=180（米）

聯(lián) 2：求甲的速度180÷3-20=40（米）

聯(lián) 3：求乙的速度180÷3-40=20（米）

原題：求追及時(shí)間80÷（40-20）=9（分鐘）

聯(lián) 1：求追及路程（40-20）×9=180（米）

聯(lián) 2：求甲的速度180÷9+20=40（米）

聯(lián) 3：求乙的速度40-180÷20=20（米）

每組的四道題所求問題不同，但分析思路呈現(xiàn)出共性，即相遇問題是先求速度和，追及問題是先求速度差，從而引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握，抓住思路的共通之處進(jìn)行理解建構(gòu)，建立起統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生進(jìn)一步理解問題中隱藏的數(shù)量關(guān)系。

2.水平而找，組織橫向聯(lián)系的“類”

學(xué)生的學(xué)習(xí)就是激活、利用、調(diào)整與提升已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)。學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中積累了一定的行程問題經(jīng)驗(yàn)，而經(jīng)驗(yàn)的有限性與問題的復(fù)雜性構(gòu)成了一對矛盾，如何運(yùn)用有限的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行無限的超越想象、理解，就需要學(xué)生尋找、鏈接相似的生活情境，讓學(xué)生將發(fā)現(xiàn)的一個(gè)個(gè)知識(shí)“點(diǎn)”連成知識(shí)“串”，形成知識(shí)“鏈”，構(gòu)成牢固的知識(shí)“網(wǎng)”。

例3.甲、乙兩車分別從相距240千米的兩地出發(fā)同向而行，甲車出發(fā)2小時(shí)后乙車才開出。已知甲車每小時(shí)行駛70千米，乙車每小時(shí)行駛30千米，問乙車出發(fā)幾小時(shí)后被甲車追上？

例4.哥弟倆都步行到同一學(xué)校上學(xué)，他們的速度分別是50米/分與30米/分。一天弟弟先出發(fā)5分鐘后，哥哥才出發(fā)（速度不變）。問哥哥出發(fā)多久后才追上弟弟？

上述兩題分別從“時(shí)間”與“地點(diǎn)”兩個(gè)維度進(jìn)行變易，在解決行程問題時(shí)，學(xué)生需要關(guān)注時(shí)間、地點(diǎn)、方向與結(jié)果四大要素。例3從“同時(shí)”變成“不同時(shí)”，通過“甲車先出發(fā)2小時(shí)”這個(gè)變易因素，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)“路程差”，聯(lián)想到可能是“乙車先出發(fā)2小時(shí)”這種不同情況;例4是出發(fā)地點(diǎn)由“兩地”變成了“同地”，同地出發(fā)由于慢方先行產(chǎn)生路程差，還可以將此題變成“哥弟同時(shí)出發(fā)，2分鐘后哥發(fā)現(xiàn)忘帶資料，原路原速返回，拿東西用去1分鐘”。通過這類題解答、分析與對話，學(xué)生自主經(jīng)歷了追及問題的各種變化，豐富了事實(shí)背景與分析經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)思考的路徑都是“路程差÷速度差=追及時(shí)間”，聚焦到“不同時(shí)”與“地點(diǎn)變化”引起路程差。這樣一來，學(xué)生就站在更開闊的視野解讀和分析題目了。

3.順勢而探，組合比較關(guān)系的“類”

正所謂：“有比較才有鑒別。”比較是一切理解與思維的基礎(chǔ)。對于相遇問題中有些偏難、易錯(cuò)的綜合問題，學(xué)生可以通過比較達(dá)到澄清、明晰，予以突破?；诖耍處熆梢匝刂嘤鰡栴}順勢挖掘，安排題組讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)異同，形成思路，然后在交流中發(fā)現(xiàn)易錯(cuò)點(diǎn)，分化知識(shí)。

例5.甲、乙兩車同時(shí)從東西兩地相向開出。甲車每小時(shí)行駛42千米，乙車每小時(shí)行駛50千米，兩車相遇時(shí)甲車比乙車少行駛32千米。問東西兩地相距多少千米？

例6.甲、乙兩車同時(shí)從東西兩地相向開出。甲車每小時(shí)行駛42千米，乙車每小時(shí)行駛50千米，兩車在距中點(diǎn)32千米處相遇。問東西兩地相距多少千米？

例5運(yùn)用“路程差÷速度差=時(shí)間”，先求出時(shí)間再求路程，同化到原來的求路程問題思路中。例6是典型的“中點(diǎn)”問題，學(xué)生借助線段圖直觀地理解中點(diǎn)問題，在比較中引出題目的關(guān)鍵點(diǎn)與注意點(diǎn)。另外，教師可以改變信息為“當(dāng)乙車行到中點(diǎn)，甲車離中點(diǎn)還有32千米”，讓學(xué)生在質(zhì)疑與對比中理解“中點(diǎn)”起著參照點(diǎn)的作用，在辨別中主動(dòng)建構(gòu)，突破自身的思維定勢。

三、高結(jié)構(gòu)：以“序”呈題，完善認(rèn)知

行程問題具有極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性，如兩地出發(fā)的相向行程，隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的不斷推進(jìn)，運(yùn)動(dòng)物體會(huì)處于不同的運(yùn)動(dòng)結(jié)果，即未相遇、相遇、交叉而過又相距、快方（或雙方）到達(dá)、二次相遇等，這些結(jié)果往往又隱藏著解決問題的關(guān)鍵信息。在編題時(shí)，教師應(yīng)突出“序”，體現(xiàn)問題的系統(tǒng)性與結(jié)構(gòu)性，讓學(xué)生在與問題的對話中發(fā)現(xiàn)它們的發(fā)生與發(fā)展過程，在內(nèi)隱信息的運(yùn)用中體會(huì)“運(yùn)動(dòng)結(jié)果”的重要性。

例7.客車和貨車同時(shí)從兩地相對開出，客車每小時(shí)行70千米，貨車每小時(shí)行50千米，經(jīng)過2小時(shí)后，這時(shí)兩車還相距45千米。兩地相距多少千米？

例8.客車和貨車同時(shí)從相距285千米的兩地相向而行，客車每小時(shí)行駛70千米，貨車每小時(shí)行駛50千米，行了幾小時(shí)后兩車交叉而過又相距75千米？

未相遇? ? 共行駛路程﹤?cè)?/p>

相? 遇? ? 共行駛路程 =全程

交叉而過? 共行駛路程﹥?nèi)?/p>

又相距

這組例題在同一素材中凸顯運(yùn)動(dòng)結(jié)果的區(qū)別，將學(xué)生的視角聚焦到“結(jié)果”要素上，經(jīng)歷從“未相遇”到“相遇”，再到“交叉而過又相距”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三種不同的運(yùn)動(dòng)結(jié)果分別是共行駛路程與全程的三種不同的對應(yīng)關(guān)系。

四、善變換：以“一”拓題，引發(fā)生長

俗話說：“少則得，多則惑。”教師在拓展時(shí)，要用“精”素材，通過變換實(shí)現(xiàn)“以一當(dāng)十”，幫助學(xué)生在“異”中思“變”，“變”中求“通”，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究規(guī)律，努力實(shí)現(xiàn)內(nèi)容、策略的多角度延伸，深入學(xué)生的學(xué)習(xí)。

1.變換條件或問題，由單薄到豐厚，探求本質(zhì)

如在下題的討論中，學(xué)生的爭論點(diǎn)在共行路程是2個(gè)全程還是3個(gè)全程這個(gè)疑惑處。學(xué)生畫圖分析辨認(rèn)澄清，再通過改編求全程、速度突出雙方共行3個(gè)全程是關(guān)鍵。這是較難的二次相遇問題，數(shù)據(jù)少、算式簡單，但思維含量高。

80×3-50=190（千米）

甲、乙共行? ? 甲

第1次相遇? ?在1個(gè)全程中? 80

第2次相遇? ?在3個(gè)全程中? 80×3

（比一個(gè)全程多50千米）

圍繞“80×3求的是什么”“為什么-50就是全程”這兩個(gè)問題，學(xué)生需要借助幾何直觀地運(yùn)用倍比法來理解。此時(shí)，學(xué)生只是首次感知，建構(gòu)這種問題不能一蹴而就，教師需要通過改編、尋同、辨異、延伸等途徑達(dá)到深刻理解、內(nèi)化與運(yùn)用。

2.變換解題策略，由單一到全面，尋求靈動(dòng)

當(dāng)面對逆向題且有多個(gè)未知數(shù)的行程問題時(shí)，學(xué)生如果選擇代數(shù)思維來分析，能實(shí)現(xiàn)化逆為順，解題思路易于理解，便于建模。因此，教師要適時(shí)引進(jìn)方程思路，開闊學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的解題策略。

例9.汽車從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行20千米。到乙地后又以每小時(shí)30千米的速度沿原路返回甲地，往返一次共用7.5小時(shí)。求甲、乙兩地間的距離。

例10.兩地相距460千米，甲車開出2小時(shí)后，乙車與甲車相向開出，經(jīng)過4小時(shí)與甲車相遇。已知甲車每小時(shí)比乙車多行駛10千米。求甲車每小時(shí)行駛多少千米？

這兩題都是有多個(gè)未知數(shù)的行程問題，從算術(shù)思維角度思考，方法不同，且理解難度較大。那么，教師可以引進(jìn)代數(shù)思維解答，在交流中形成思路，即通常根據(jù)時(shí)間（或速度）的關(guān)系來設(shè)未知數(shù)，表示出路程后再根據(jù)路程的關(guān)系列方程，從而讓學(xué)生感受代數(shù)的便捷，體會(huì)方程解決問題的優(yōu)越性。最后，教師可以通過尋同，讓學(xué)生體會(huì)到具有怎樣特征的行程問題用方程解答比較合適，做到以題定法，完善策略。

3.變換運(yùn)動(dòng)物體，由二元到多元，追求深刻

隨著運(yùn)動(dòng)物體的增加，行程問題的綜合性越強(qiáng)，難度越大。因此，在拓展過程中，教師可以通過以兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的研究為支點(diǎn)，將視角延伸到多個(gè)物體，讓學(xué)生將從兩個(gè)物體獲得的分析方法、解題策略等遷移運(yùn)用到多個(gè)物體，學(xué)會(huì)在復(fù)雜情境中綜合運(yùn)用、感悟方法、提升能力。

思維發(fā)展是“根”，素養(yǎng)發(fā)展是“干”，唯有“根”深，才能“枝繁葉茂”。在行程問題的拓展課教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)始終緊扣學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，切入學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，高屋建瓴地選擇、調(diào)整、組合、補(bǔ)充內(nèi)容，編織一個(gè)具有生命力、處于運(yùn)動(dòng)中的思維網(wǎng)絡(luò)，引領(lǐng)學(xué)生拾級而上，逐步豐厚學(xué)生對行程問題的認(rèn)知儲(chǔ)備，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化，達(dá)成思維的靈活性和深刻性，促進(jìn)知識(shí)、學(xué)力、品格等諸多方面的生長，最終促進(jìn)學(xué)生生命個(gè)體的成長。同時(shí)，教師自身也能夠在實(shí)踐和反思中不斷磨煉，實(shí)現(xiàn)成長自我。

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（作者單位：浙江省臺(tái)州市玉環(huán)市環(huán)山小學(xué)）