[摘 要]數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的重要基礎(chǔ)課程之一，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)后繼課程的基礎(chǔ)，也是其他非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生和科研工作者用于打好數(shù)學(xué)基本功的重要課程之一。該文結(jié)合個(gè)人從事數(shù)學(xué)方向?qū)W術(shù)研究的感悟和數(shù)學(xué)分析的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)歷，分別從數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、教師的模范作用、概念的講解、反例的重要性以及作業(yè)、習(xí)題課和章節(jié)測(cè)試等六個(gè)方面，通過(guò)具體的教學(xué)實(shí)例，給出了個(gè)人教授數(shù)學(xué)分析這門課程的幾點(diǎn)體會(huì)和建議。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)分析;數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)思維;教學(xué)方法

[作者簡(jiǎn)介]趙叢然（1986—），女，山東濟(jì)寧人，博士，江蘇大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題的研究。

[中圖分類號(hào)] G642.0[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）28-0308-02[收稿日期] 2019-11-27

“數(shù)學(xué)分析”是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的重要專業(yè)基礎(chǔ)課之一，是引導(dǎo)學(xué)生從初等數(shù)學(xué)進(jìn)入高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵課程，不僅能為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的后繼課程，如實(shí)變函數(shù)、泛函分析、測(cè)度論等的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)其他非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生初步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式也具有重要作用。數(shù)學(xué)分析課程經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展和完善，已形成了一套嚴(yán)密的、邏輯性很強(qiáng)的理論體系。如何將如此嚴(yán)謹(jǐn)又優(yōu)美的一門課程很好地展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生深受啟發(fā)，產(chǎn)生濃厚興趣，并打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是教師們最常關(guān)注的問(wèn)題。本文結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，淺談自己教學(xué)中的幾點(diǎn)體會(huì)和建議。

一、注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用能力。數(shù)學(xué)分析是一門極具活力的課程，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)分析的知識(shí)固然重要，而讓他們掌握數(shù)學(xué)分析中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法更為重要[1]。這里我特別推薦學(xué)習(xí)中“先見森林，后見樹木”的思維模式，即大到對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)分析知識(shí)體系有個(gè)總體的認(rèn)識(shí)，小到對(duì)具體定理的證明過(guò)程，有清晰的論證思路。在教學(xué)過(guò)程中一定要鼓勵(lì)學(xué)生勤于思考，要多問(wèn)幾個(gè)為什么，切記囫圇吞棗。知識(shí)的記憶是暫時(shí)的，方法和思想的掌握是長(zhǎng)遠(yuǎn)的，知識(shí)使學(xué)生只受益于一時(shí)，方法和思想將使學(xué)生受益終生。

二、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

興趣是最好的老師，有了興趣，學(xué)習(xí)起來(lái)就有很大的動(dòng)力，就能發(fā)掘出數(shù)學(xué)分析中更多美妙的東西，從而獲得很大的樂(lè)趣和愉悅感，形成良性循環(huán)。因此，在教學(xué)過(guò)程中要提高學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí)，在教學(xué)過(guò)程中不斷地給學(xué)生鼓勵(lì)，讓學(xué)生充滿信心。在數(shù)學(xué)教學(xué)中穿插一些數(shù)學(xué)史上的關(guān)鍵人物做出重大發(fā)現(xiàn)的思維軌跡，也會(huì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。例如，不屈的數(shù)學(xué)斗士—?dú)W拉。在歐拉公式和自然對(duì)數(shù)的底的教學(xué)中，引入數(shù)學(xué)家歐拉的故事，讓學(xué)生了解歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的忠誠(chéng)。又比如：業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬。費(fèi)馬在研究極大值與極小值時(shí)最早引入了導(dǎo)數(shù)的思想，導(dǎo)數(shù)思想的引入為微積分的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)[2]。

另外，良好的師生關(guān)系是提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的前提。任課教師如果深受學(xué)生的喜愛，學(xué)生就會(huì)對(duì)該老師所講授的課程感興趣。教師在教學(xué)中對(duì)學(xué)生注入的情感對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果至關(guān)重要[3]。

三、注重教師的模范作用

良好的師生關(guān)系不僅能提高學(xué)生的積極性，還能促使教師起到很好的模范作用。最直接的體現(xiàn)是教師的板書。板書是教師像學(xué)生傳遞數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的重要手段之一，雖然現(xiàn)在都提倡數(shù)學(xué)教育改革，要引入新興的教學(xué)方式，如微課、慕課等，但是對(duì)于數(shù)學(xué)分析這門課來(lái)說(shuō)，板書的主導(dǎo)地位是不容替代的。教師邊板書邊解釋，不僅能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，更能讓學(xué)生集中注意力，緊跟教師的思路。良好的板書本身就是知識(shí)點(diǎn)框架與嚴(yán)謹(jǐn)論證的完美體現(xiàn)。而要求學(xué)生記筆記也是對(duì)知識(shí)的強(qiáng)化理解過(guò)程。高等數(shù)學(xué)不同于中學(xué)數(shù)學(xué)，是由中學(xué)的以計(jì)算為主轉(zhuǎn)為對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的推理、大量抽象符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用。學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)論證能力薄弱，遇到證明題不知道從哪下手、該怎么分析的現(xiàn)象。這時(shí)，對(duì)經(jīng)典定理證明的板書講解就能起到很好的示范作用。在板書過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生去思考，而不是被動(dòng)地接納教師講授的知識(shí)，讓學(xué)生自己去思考、發(fā)現(xiàn)，這樣學(xué)生會(huì)有成就感，而且這樣學(xué)習(xí)的知識(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)會(huì)留下深刻的印象，也能把知識(shí)用活。例如貫穿數(shù)學(xué)分析極限理論證明始終的柯西定理，如果在第一次碰到時(shí)就引導(dǎo)學(xué)生去思考、去總結(jié)，那么后續(xù)一系列的柯西定理，就可以推而廣之，學(xué)生就可以很容易地掌握。

四、注重概念講解的重要性

數(shù)學(xué)分析經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的探索實(shí)踐，建構(gòu)了自身特有的教學(xué)形式。這有別于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)，很少對(duì)遇到的概念、理論的形成及提出給出嚴(yán)格的證明，這也給學(xué)生帶來(lái)了一些誤解。他們認(rèn)為對(duì)于很多概念定理只要記住結(jié)論，會(huì)用就行了，不需要知道原理。對(duì)于剛開始接觸數(shù)學(xué)分析的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種觀念比較普遍。如果不及時(shí)糾正，學(xué)生學(xué)習(xí)難免會(huì)事倍功半。甚至?xí)?dǎo)致部分學(xué)生眼高手低，剛開始還能聽懂課上內(nèi)容，只是做題吃力些，漸漸地，就不知教師所云，對(duì)于作業(yè)也開始應(yīng)付，久而久之學(xué)生可能會(huì)有放棄這門課的想法。對(duì)于這種現(xiàn)象，一方面，教師要及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤觀念。另一方面，教師也要加強(qiáng)概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)確表達(dá)能力和思考問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)，是研究其他相關(guān)問(wèn)題的依據(jù)。數(shù)學(xué)概念的表述必須準(zhǔn)確，不能斷章取義，不能以偏概全，不能想當(dāng)然。教師在教學(xué)中也要注意及時(shí)糾正學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的錯(cuò)誤理解和表述。

五、注重反例的作用

除了從正面對(duì)概念、定理和法則給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明外，加入適當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)對(duì)比考證，效果會(huì)更好[4]。一方面，反例可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本概念的理解。例如，在講周期函數(shù)時(shí)，學(xué)生會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為周期函數(shù)都有最小正周期。事實(shí)上，教師可以舉出反例：狄利克雷函數(shù)的周期為全體有理數(shù)，由于沒(méi)有最小的正有理數(shù)，因此沒(méi)有最小正周期。另一方面，反例可以幫助學(xué)生掌握定理和性質(zhì)。例如，根據(jù)費(fèi)馬定理，我們知道函數(shù)的極值點(diǎn)必為該函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，而穩(wěn)定點(diǎn)并不一定為函數(shù)的極值點(diǎn)。這時(shí)，可以舉例函數(shù)，顯然是穩(wěn)定點(diǎn)，但卻不是極值點(diǎn)[5]（P97）。最后，反例也可以加深學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的理解。例如極限的四則運(yùn)算只適用于有限項(xiàng)的四則運(yùn)算，對(duì)于無(wú)窮多項(xiàng)不一定成立。

六、重視作業(yè)、習(xí)題課和章節(jié)小測(cè)試

作業(yè)能直接反應(yīng)學(xué)生知識(shí)的掌握情況，體現(xiàn)學(xué)生的解題思路，因此應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生作業(yè)的批改，尤其是大學(xué)一年級(jí)新生。數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)方法有別于高中題海戰(zhàn)術(shù)的訓(xùn)練，需要他們從被動(dòng)的被安排的學(xué)習(xí)狀態(tài)中轉(zhuǎn)化為自主學(xué)習(xí)，因此第一學(xué)期的作業(yè)批改、習(xí)題課及章節(jié)測(cè)試就顯得額外重要。不少學(xué)生在做作業(yè)時(shí)都有參考答案的現(xiàn)象，起初是為了驗(yàn)證自己結(jié)果的正確性，但久而久之，會(huì)產(chǎn)生依賴答案的心理。對(duì)于這種現(xiàn)象一定要及早制止。每道好的習(xí)題都是非常珍貴的。一旦看了答案，就等于放棄了一次獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)。有許多同學(xué)也為不能解答一些習(xí)題而苦惱，其實(shí)解題過(guò)程中遇到一些困難是很正常的事。這反而能督促自己完善對(duì)概念或方法的掌握，殊不知數(shù)學(xué)的思維就是在挫折與喜悅中慢慢養(yǎng)成的。學(xué)習(xí)是個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，切勿操之過(guò)急。同時(shí)，教師在作業(yè)、試卷批語(yǔ)中應(yīng)給予鼓勵(lì)，對(duì)習(xí)題課要非常重視。教師可以借助多媒體等現(xiàn)代教育手段，展現(xiàn)學(xué)生作業(yè)中的問(wèn)題，講清楚問(wèn)題所在，并給出正確解題過(guò)程。也可以利用多媒體多展示優(yōu)秀學(xué)生的作業(yè)，給學(xué)生好的示范[3]。

七、總結(jié)

以上六點(diǎn)是我在數(shù)學(xué)分析教學(xué)實(shí)踐中的一點(diǎn)體會(huì)。在教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有了明顯的提高，教學(xué)效果明顯。這也說(shuō)明了采用這些教學(xué)理念對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)有很好的幫助，值得借鑒和推廣。

參考文獻(xiàn)

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[2]董丹丹，周學(xué)君.淺談數(shù)學(xué)故事在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用[J].黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，38（3）：75-79.

[3]郭延濤.數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)策略探討[J].黑龍江科技信息， 2010，（27）：160+37.

[4]王麗麗，薛然.反例在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，39（10）：103-106.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010：97.

Some Experiences and Suggestions in the Teaching of Mathematical Analysis

ZHAO Cong-ran

（Faculty of Science， Jiangsu University， Zhenjiang， Jiangsu 212013， China）

Abstract： Mathematical analysis is one of the important basic courses of mathematical major students， which is the basis for learning the successor courses of mathematics major. Also， it is one of the important courses for other non-mathematics major students and science researchers to have a strong foundation of mathematics. Based on personal understanding of academic research in mathematics and teaching experiences of mathematical analysis， and through specific teaching examples， this paper gives some personal experiences and suggestions on teaching this course from the following six parts of the cultivation of mathematical thinking， the cultivation of students' interest in learning， the exemplary role of teachers， explanation of concepts， the importance of counterexamples，assignments， exercise class and chapter tests.

Key words： mathematical analysis; history of mathematics; mathematical thinking; teaching method