曾涵柔 賈震 葉韜

[摘 要] 圖示思維和空間表達(dá)能力是學(xué)生學(xué)習(xí)畫(huà)法幾何課程的重要瓶頸。為更好地突破學(xué)習(xí)屏障，該文例舉半球—圓錐相貫線(xiàn)特殊點(diǎn)的求解證明來(lái)探索有效培養(yǎng)空間思維能力的方法，論述了此教學(xué)方法對(duì)大學(xué)生空間思維能力的遞進(jìn)式培養(yǎng)過(guò)程，并通過(guò)對(duì)學(xué)生畫(huà)法幾何課程的期末考核情況驗(yàn)證此教學(xué)方法的可行性及有效性。

[關(guān)鍵詞] 相貫線(xiàn);空間思維;極值點(diǎn);輔助平面法

[作者簡(jiǎn)介] 曾涵柔，沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空制造工藝數(shù)字化國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室;賈 震，博士，沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院講師（通信作者），主要從事航空宇航制造以及機(jī)械圖學(xué)類(lèi)課程教學(xué)與研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）23-0334-03? ? [收稿日期] 2019-11-19

一、問(wèn)題背景

（一）畫(huà)法幾何學(xué)

畫(huà)法幾何是數(shù)學(xué)中集合的一個(gè)分支，專(zhuān)門(mén)研究論證如何利用平面二維圖形圖示空間三維立體以及圖解空間幾何問(wèn)題，是一種極具典型的思維技術(shù)。詞典定義：“幾何學(xué)是通過(guò)一定的空間假設(shè)性質(zhì)，以其定義條件來(lái)進(jìn)行空間內(nèi)點(diǎn)、線(xiàn)、角度、參數(shù)等性質(zhì)的推理。”正因它內(nèi)含的空間思維技術(shù)性、科學(xué)性和確定性，對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展大學(xué)生空間推理、圖示思維以及空間幾何分析能力發(fā)揮至關(guān)重要的作用。正如奧地利學(xué)者FHohenberg（Graz）觀點(diǎn)：畫(huà)法幾何教會(huì)了人們?cè)撊绾晤I(lǐng)會(huì)、如何想象、如何設(shè)計(jì)以及如何準(zhǔn)確畫(huà)出幾何形體。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家蒙日（Gaspard Monge，1746—1818年）在《畫(huà)法幾何學(xué)》緒言中闡述：“因?yàn)樗m用于鍛煉一個(gè)偉大民族的聰明才智，從而能為全人類(lèi)的進(jìn)步作出貢獻(xiàn)?！庇纱丝芍?，學(xué)習(xí)研究畫(huà)法幾何極有利于大學(xué)生有效構(gòu)建空間邏輯、提升思維技術(shù)。

（二）問(wèn)題的由來(lái)

求相貫線(xiàn)的問(wèn)題歷來(lái)都是畫(huà)法幾何教學(xué)中的重難點(diǎn)，大多教材例舉了不少正交相貫兩回轉(zhuǎn)體圖解法求相貫線(xiàn)的題。然而對(duì)于相貫線(xiàn)極值點(diǎn)的位置卻言之不詳，有的教材雖指出了求取的具體步驟，但并未闡明其中緣由，也沒(méi)有給予證明，以致大多學(xué)生似懂非懂、疑惑頗多。本文使用輔助球面法及解析立體幾何精確證明相貫線(xiàn)、極值點(diǎn)的空間位置，方便學(xué)生快速牢固掌握相貫線(xiàn)的求解。證明過(guò)程能幫助學(xué)生熟悉二維平面與三維立體之間的轉(zhuǎn)換思維，發(fā)展良好空間思維能力。

（三）教學(xué)思路

首先，畫(huà)幾基礎(chǔ)知識(shí)的掌握尤為重要。課上，借助直觀3D軟件、實(shí)體教具等手段有意識(shí)地幫學(xué)生有效建立空間意識(shí)，讓學(xué)生真正理解相貫線(xiàn)、極值點(diǎn)的含義。明白相關(guān)概念后，綜合運(yùn)用圖示法、圖解法求出極值點(diǎn)證明其存在。在此過(guò)程中學(xué)生親手繪制投影圖，找出極值點(diǎn)，激發(fā)了學(xué)生的探索能力并培養(yǎng)空間邏輯。但僅知道圖解極值點(diǎn)的方法步驟是不夠的，知其然，更要知其所以然。用立體解析幾何求解極值點(diǎn)得精確空間位置，一方面證明了圖解法所得極值點(diǎn)的正確性，消除學(xué)生疑慮。另一方面，立體圖形的解析證明對(duì)學(xué)生空間思維能力要求頗高，因此能有效提升學(xué)生的立體幾何分析能力，強(qiáng)化空間思維技術(shù)?？偠灾瑢⑾嘭灳€(xiàn)極值點(diǎn)的求解過(guò)程明朗化將極有利于培養(yǎng)大學(xué)生的空間思維能力。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）認(rèn)識(shí)相貫線(xiàn)及特殊點(diǎn)，建立空間意識(shí)

相貫線(xiàn)是兩回轉(zhuǎn)體表面相交產(chǎn)生的交線(xiàn)。作為立體表面交線(xiàn)中最重要的知識(shí)點(diǎn)，相貫線(xiàn)及相關(guān)內(nèi)容的掌握無(wú)疑能提升學(xué)生的空間建構(gòu)能力、空間表達(dá)能力。目前常用求取相貫線(xiàn)的幾大方法包括：輔助球面法，輔助平面法及表面取點(diǎn)法。不論何種方法，特殊點(diǎn)位置的求取都至關(guān)重要。教科書(shū)《畫(huà)法幾何學(xué)》定義：特殊點(diǎn)是決定相貫線(xiàn)投影范圍及可見(jiàn)性的點(diǎn)，大多存在于外形輪廓線(xiàn)上。因此，研究特殊點(diǎn)不僅能使學(xué)生迅速掌握相關(guān)知識(shí)，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，關(guān)鍵在于能有效培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的空間意識(shí)和思維，強(qiáng)化空間推理能力。

（二）證明相貫線(xiàn)極值點(diǎn)存在，激發(fā)空間邏輯

半球、圓錐如圖1正交相貫，綜合運(yùn)用圖示法、圖解法求解極值點(diǎn)。過(guò)程中投影圖的繪制直接刺激學(xué)生實(shí)際感官，激發(fā)出學(xué)習(xí)興趣，充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性。幫助學(xué)生習(xí)慣于對(duì)空間形體的想象，并且逐漸熟練掌握該種思維方式，建立起二維平面與三維空間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖解步驟如下：如圖2，此時(shí)相貫線(xiàn)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，關(guān)于平面XOZ對(duì)稱(chēng)。用輔助球面法，以半球、圓錐兩回轉(zhuǎn)體軸線(xiàn)交點(diǎn)O為輔助球面球心，以R為（三）求解極值點(diǎn)空間位置，強(qiáng)化空間思維技術(shù)能力

為使學(xué)生深刻體會(huì)畫(huà)法幾何內(nèi)含的準(zhǔn)確性和科學(xué)性，同時(shí)提升學(xué)生空間幾何分析能力，運(yùn)用解析法證明極值點(diǎn)所處空間位置，并求出精確坐標(biāo)。由于兩極值點(diǎn)關(guān)于XOZ平面對(duì)稱(chēng)，故取其中一個(gè)進(jìn)行分析。

空間定位能力的強(qiáng)弱直接關(guān)聯(lián)到學(xué)生解析立體幾何的難易程度。因此，為方便學(xué)生腦中清晰呈現(xiàn)三維布局，首先要構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系。如圖1，以?xún)苫剞D(zhuǎn)體軸線(xiàn)交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩軸線(xiàn)所確定平面作為垂面XOZ。并對(duì)圖中各量作出假設(shè)，圓錐頂點(diǎn)A到原點(diǎn)O距離為h，頂角2α，半球球心距原點(diǎn)O長(zhǎng)為a，其半徑為R三、結(jié)束語(yǔ)

相貫線(xiàn)極值點(diǎn)求取證明全過(guò)程，基于培養(yǎng)大學(xué)生空間思維能力著手，讓學(xué)生通過(guò)親自作圖求解及解析證明來(lái)探索發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題。讓學(xué)生作為知識(shí)意義的主動(dòng)構(gòu)建者，主動(dòng)獲取知識(shí)，充分發(fā)揮學(xué)習(xí)者的主體作用。因此，結(jié)合具體例題的求解證明教授畫(huà)幾中的重難點(diǎn)知識(shí)，不僅能幫助學(xué)生快速牢固地掌握好相關(guān)知識(shí)，更是教師有效培養(yǎng)學(xué)生空間思維能力的強(qiáng)有力教學(xué)手段。該手段在教學(xué)中取得明顯效果。學(xué)生們對(duì)相貫線(xiàn)、特殊點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)空間點(diǎn)的定位能力，對(duì)平面與立體間的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化以及對(duì)圖示圖解的運(yùn)用都已基本掌握。例如，學(xué)生所參加的2018-2019級(jí)畫(huà)法幾何期末考試：第三題，主要考察點(diǎn)線(xiàn)面綜合問(wèn)題，學(xué)生得分率為89%;第五題，考察學(xué)生組合立體的基礎(chǔ)問(wèn)題，得分率為76%;第七題，要求學(xué)生對(duì)平面立體與曲面立體相交特性有較高的掌握，得分率為84%。由此看來(lái)，結(jié)合例題證明的教學(xué)方法的確是培養(yǎng)學(xué)生空間思維的有效途徑。

通過(guò)本文例舉半球—圓錐相貫線(xiàn)極值點(diǎn)求解證明的例子可知，空間思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)從學(xué)習(xí)二維平面上點(diǎn)、線(xiàn)、面等直觀的顯性知識(shí)到研究三維空間內(nèi)幾何元素定位、度量等問(wèn)題的過(guò)程，是幫助學(xué)生從單一形象思維過(guò)渡到形象與抽象思維綜合運(yùn)用的轉(zhuǎn)換過(guò)程。對(duì)大學(xué)生，空間思維能力的提高以及抽象思維方式的掌握是邏輯推理、想象力、實(shí)踐等重要能力的全面提升，是今后學(xué)習(xí)工作中不可或缺的典型思維技術(shù)。而剛邁入大學(xué)的新生大多以平面思維習(xí)慣為主，需要從無(wú)到有、由弱到強(qiáng)地培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力。

參考文獻(xiàn)

[1]蔄靖宇.機(jī)械制圖教學(xué)實(shí)踐與探索[J].黑龍江教育·理論與實(shí)踐，2018，（12）：55-56.

[2]馬彩祝，謝堅(jiān).畫(huà)法幾何，何去何從[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2008，（6）：144-148.

[3]周丹.求相貫線(xiàn)極限點(diǎn)的球面法[J].裝備制造技術(shù)，1997，（4）：21-22.

[4]田玉冬.畫(huà)法幾何中柱（球）錐相貫線(xiàn)特殊點(diǎn)的解析證明[J].湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，（3）：64-69.

[5]葉曉芹.關(guān)于新形勢(shì)下畫(huà)法幾何學(xué)課程教學(xué)設(shè)計(jì)的探索[J].圖學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25（4）：168-171.

Research on the Training Model of Spatial Thinking Ability of College Students：Taking the Proof of Solving the Extreme Point of Hemisphere-cone Intersection Line as an Example

ZENG Han-roua，JIA Zhenb，YE Taoc

（a.Key Laboratory of Fundamental Science for National Defense of Aeronautical Digital Manufacturing Process;b.School of Aeronautics and Astronautics;c.School of Mechanics Engineering，Shenyang Aerospace University，Shenyang，Liaoning 110136，China）

Abstract：The ability of graphic thinking and spatial expression is an important bottleneck for students to learn descriptive geometry.In order to break through the learning barrier better，this paper explores the effective ways to train spatial thinking ability by illustrating the proof of solving the special points of the hemisphere-cone intersection line，and expounds the progressive training process of this teaching method for college students' spatial thinking ability.The feasibility and validity of this kind of teaching method are proved by students' performance in the final examination of the Descriptive Geometry course.

Key words：intersection line;spatial thinking;extreme points;auxiliary plane method