包云霞 魯法明 劉洪霞

【摘要】以“方向?qū)?shù)的計(jì)算公式”為教學(xué)案例，探討了問題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)方法在教學(xué)過程中的實(shí)施步驟，從而使學(xué)生成為教學(xué)過程的主體，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)? 問題驅(qū)動(dòng)? 教學(xué)案例? 方向?qū)?shù)的計(jì)算公式

【基金項(xiàng)目】山東科技大學(xué)青年教師本科教學(xué)拔尖人才培養(yǎng)計(jì)劃（BJRC20190503）;山東科技大學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助（JXTD20160507）;山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助（JXTD20180504）。

【中圖分類號】G642 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）21-0081-02

一、引言

高等數(shù)學(xué)是理工類專業(yè)的重要理論基礎(chǔ)課程，它所提供的數(shù)學(xué)思想和方法不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程的重要工具，也是培養(yǎng)學(xué)生理性思辨能力和創(chuàng)新能力的重要途徑?！胺较?qū)?shù)”是多元函數(shù)微分學(xué)的重要的概念，是刻畫多元函數(shù)變化率的重要工具，在解決許多實(shí)際問題中具有廣泛應(yīng)用，因此需要學(xué)生理解并熟練掌握方向?qū)?shù)的計(jì)算公式。

在以往的教學(xué)中，我們一般按照“回顧定義——推導(dǎo)公式——練習(xí)鞏固”的教學(xué)方法。雖然這一教學(xué)方法也能取得不錯(cuò)的教學(xué)效果，但是存在著內(nèi)容枯燥、脫離實(shí)際、不宜激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣等缺點(diǎn)。針對上述缺點(diǎn)，本文探討了問題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)方法在教學(xué)過程中的實(shí)施步驟，通過“提出問題——理論推導(dǎo)——實(shí)例分析——知識拓展——小結(jié)或進(jìn)一步思考”等步驟實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程，從而使學(xué)生成為教學(xué)過程的主體，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和創(chuàng)新能力，以此推動(dòng)新工科背景下大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革與實(shí)踐。

二、教學(xué)安排

1.問題引入

案例1（圖1）：毒品有害身體健康，危害社會(huì)穩(wěn)定，但是每年仍然有大量的毒品交易，警察在緝毒過程中用的一個(gè)很重要的工具是警犬，那么請同學(xué)們思考警犬是如何找到毒品的呢？

答：聞氣味;即沿著氣味濃度增加最快的方向來尋找毒品。

案例2（圖2）：炎熱的夏天，一只螞蟻不慎落入一塊滾燙的石板中，為了逃命，螞蟻該沿著什么樣的方向快速逃生呢？

答：沿著溫度下降最快的方向逃生。

上述兩個(gè)問題中，如何找到氣味濃度增加最快的方向或者溫度下降最快的方向呢？

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的方向?qū)?shù)可以描述函數(shù)沿給定方向的變化率，氣味濃度沿某方向增加或溫度沿某方向下降正是濃度函數(shù)或溫度函數(shù)沿給定方向的方向?qū)?shù);而上述實(shí)際問題是找出方向?qū)?shù)取最大值或最小值的方向，從而將實(shí)際問題歸結(jié)為先求濃度函數(shù)或溫度函數(shù)的方向?qū)?shù)，再求使其方向?qū)?shù)取最大值或最小值的方向。

注：上述過程我們是從日常生活中警犬緝毒和螞蟻逃生時(shí)最佳方向的選擇問題入手，引出方向?qū)?shù)的計(jì)算問題，讓學(xué)生帶著問題和興趣學(xué)習(xí)。

2.理論推導(dǎo)

首先，復(fù)習(xí)方向?qū)?shù)的定義：

指出顯然可根據(jù)定義計(jì)算方向?qū)?shù)，但這一過程非常繁瑣，由此引出推導(dǎo)方向?qū)?shù)的簡便公式。

借助函數(shù)在點(diǎn)P0（x0，y0）可微這一橋梁，師生共同完成了利用方向?qū)?shù)的定義構(gòu)建了方向?qū)?shù)的計(jì)算公式。

由計(jì)算公式可知，只需要求出函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)以及所給方向?qū)?yīng)的單位向量的兩個(gè)分量，然后代入公式即可得到方向?qū)?shù)，從而大大簡化了方向?qū)?shù)的計(jì)算過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。

注：此處可設(shè)置互動(dòng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生思考推導(dǎo)過程中由f（x0，+tcosα，y0+tcosβ）-f（x0，y0）到fx（x0，y0）tcosα+fy（x0，y0）tcosβ+ο（t）轉(zhuǎn)換是否始終成立？由此強(qiáng)調(diào)方向?qū)?shù)計(jì)算公式成立的條件，即函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）可微分;若條件不滿足，還是利用定義計(jì)算方向?qū)?shù)。

3.實(shí)例分析

首先，結(jié)合一個(gè)具體實(shí)例講解利用計(jì)算公式求方向?qū)?shù)值的具體步驟;

其次，以警犬緝毒過程中最佳搜索方向的確定問題為背景，由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式推導(dǎo)方向?qū)?shù)取最大值的方向。

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，毒品位于原點(diǎn)處，現(xiàn)給出毒品氣味濃度的等值線（圖3）：

最佳搜索方向?yàn)闅馕稘舛仍黾幼羁斓姆较?，即為方向?qū)?shù)取最大值的方向，沿任意方向的方向?qū)?shù)為：

注：上述例1鞏固了方向?qū)?shù)的計(jì)算公式，例2解決了本次課我們提出的問題，首尾呼應(yīng)，讓學(xué)生體會(huì)到了所學(xué)概念在實(shí)際問題中的應(yīng)用，大大提高了學(xué)習(xí)的積極性。

4.知識拓展

首先，設(shè)置課下思考題（圖4）。啟發(fā)學(xué)生思考如何將例2中給定位置最佳搜索方向的求解拓展為從初始地點(diǎn)到毒品源之最佳搜索路線的求解問題?？勺鱿鄳?yīng)的提示：利用最佳搜索方向建立關(guān)于搜索路線的微分方程。

其次，設(shè)置課后練習(xí)題（圖5）。要求學(xué)生課下給出螞蟻逃生方向選擇問題的求解方案。引導(dǎo)學(xué)生思考螞蟻逃生問題與警犬緝毒問題對方向?qū)?shù)取值要求以及具體求解過程中的不同。

5.小結(jié)及作業(yè)

回顧方向?qū)?shù)的計(jì)算公式，強(qiáng)調(diào)該公式成立的前提條件;同時(shí)，指出方向?qū)?shù)取最大值的方向就是下次課所要學(xué)習(xí)的梯度，要求學(xué)生提前預(yù)習(xí)并查閱梯度在最優(yōu)化、人工智能等領(lǐng)域應(yīng)用的相關(guān)資料。

布置相關(guān)作業(yè)，本節(jié)課推導(dǎo)了二元函數(shù)的方向?qū)?shù)計(jì)算公式及其取得最大值的方向，那如何建立三元函數(shù)的方向?qū)?shù)計(jì)算公式及其取得最大值或最小值的方向呢？以此鞏固學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的遷移能力。

三、總結(jié)

在方向?qū)?shù)的計(jì)算公式的教學(xué)過程中，我們主要利用了生活的實(shí)際案例，采用啟發(fā)式教學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題。在這一過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力和邏輯推理能力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高了學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，并留有相應(yīng)的思考題和練習(xí)題讓學(xué)生在課余時(shí)間通過查資料、小組討論等方式做進(jìn)一步的研究，最后以書面匯報(bào)的形式上交作業(yè)，從而鞏固了本節(jié)課的知識，并為下節(jié)課的內(nèi)容學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

上述基于問題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)方式能夠讓學(xué)生積極主動(dòng)地分析、解決問題，從而更加深刻地理解了方向?qū)?shù)的概念及其實(shí)際應(yīng)用，達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)。教師在講述其他概念如曲率、各類積分的應(yīng)用、微分方程及其應(yīng)用時(shí)均可結(jié)合上述方法進(jìn)行，全都收到了非常好的教學(xué)效果。

但是教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)部分基礎(chǔ)較弱、學(xué)習(xí)主動(dòng)性不強(qiáng)的同學(xué)明顯跟不上課堂的節(jié)奏，學(xué)習(xí)起來比較吃力;所以在后續(xù)的教學(xué)過程中對如何調(diào)動(dòng)這一部分同學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，如何更好地進(jìn)行分層教學(xué)將作進(jìn)一步的探討。

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作者簡介：

包云霞（1979年3月-），女，漢族，山東省海陽市人，碩士研究生，講師，研究方向：貝葉斯統(tǒng)計(jì)。