王發(fā)成 張碩 張強(qiáng)

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);優(yōu)課展評(píng);思維教育

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2020）14-0054-03

2019年12月，由北京、天津和河北省數(shù)學(xué)會(huì)聯(lián)合舉辦、石家莊市第一中學(xué)承辦的“京津冀”高中數(shù)學(xué)高級(jí)教師優(yōu)質(zhì)課展評(píng)與觀摩活動(dòng)，異彩紛呈，深受專家評(píng)審組好評(píng)。下面，筆者匯總專家組意見和建議，結(jié)合具體課例做簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)，以期拋磚引玉，供同行們參考。

一、現(xiàn)場(chǎng)展示課的主要亮點(diǎn)

本次活動(dòng)的展示課共涉及到兩個(gè)課題，分別是人教A版必修5中“1.1.1正弦定理”和“1.1.2余弦定理”。每個(gè)課題均安排有14位高級(jí)教師，分別借用石家莊市第一中學(xué)同層次不同班級(jí)的學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)做課。從整體上看，筆者認(rèn)為有以下幾個(gè)亮點(diǎn)：

1.從教學(xué)過程看，基本采用“問題驅(qū)動(dòng)”方式開展教學(xué)。課堂中，多位老師以定理的“發(fā)現(xiàn)→證明→應(yīng)用”為主線，從發(fā)展思維的角度，設(shè)計(jì)成逐層遞進(jìn)的“階梯式”問題，將知識(shí)點(diǎn)鑲嵌于“探究”中，沿著學(xué)生的認(rèn)知軌道展開教學(xué)。

2.從教學(xué)方法看，基本采用“自主、合作、探究”方式。課堂中，能夠基于“生本教育”理念，貫徹“先學(xué)后教”、“以學(xué)定教”、“因?qū)W評(píng)教”等原則，實(shí)施課前自主學(xué)習(xí)、課上合作學(xué)習(xí)、課后智慧學(xué)習(xí)，討論交流已經(jīng)成為教學(xué)常態(tài)。

3.從教學(xué)思路看，層次分明、循序漸進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣。在定理推導(dǎo)與證明過程中，能夠注重基本數(shù)學(xué)思想、方法的滲透與運(yùn)用，如特殊化、一般化、類比、數(shù)形結(jié)合等，思維發(fā)展脈絡(luò)清晰。這使得整節(jié)課的架構(gòu)更加枝繁葉茂，豐滿有力。

4.從信息化視角看，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。這是“互聯(lián)網(wǎng)+”視角下，教師素養(yǎng)的良好體現(xiàn)，符合智能化時(shí)代對(duì)教師的要求，有利于提高教學(xué)的實(shí)效性。

二、值得注意并深入研討的問題

正弦定理隸屬命題教學(xué)范疇。教學(xué)過程中，首先是將命題還原為一個(gè)具體問題，然后以這個(gè)具體問題為邏輯起點(diǎn)，沿著“導(dǎo)入、證明、解釋、整合、應(yīng)用”的基本套路組織展開學(xué)習(xí)活動(dòng)，其本質(zhì)是“弱化抽象關(guān)系”。重點(diǎn)評(píng)析兩個(gè)環(huán)節(jié)：

（一）導(dǎo)入環(huán)節(jié)——關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維起點(diǎn)

奧蘇貝爾說過：“教育學(xué)的一切原理可以歸結(jié)為一句話，即我們要弄清學(xué)生已經(jīng)知道了什么，并把它作為教學(xué)的起點(diǎn)?！崩纾P(guān)于正弦定理，教師首先要清楚“學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？”

基礎(chǔ)一：初中解直角三角形和證明三角形全等的相關(guān)知識(shí)。

基礎(chǔ)二：平面向量的運(yùn)算。從新教材的邏輯體系上看，更加凸顯向量在教材中的主體地位，突出向量的工具性及其應(yīng)用的系統(tǒng)性。事實(shí)上，運(yùn)用向量運(yùn)算推到正余弦定理，是向量知識(shí)應(yīng)用的典型范例。向量法的關(guān)鍵是從三角形這個(gè)“閉環(huán)回路”中，聯(lián)想到式子：。若“移項(xiàng)平方”，可推出余弦定理;若引入一個(gè)與某邊垂直的單位向量，求數(shù)量積，就推出了正弦定理。這個(gè)式子學(xué)生容易想到，也是正余弦定理向量證明的共同切入點(diǎn)，也能體現(xiàn)出思維方法的一致性。

正弦定理是單元起始課，要用好“章頭圖”，建議用簡(jiǎn)短的引言讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)本章知識(shí)的目的和意義。同時(shí)，為學(xué)生構(gòu)建起一個(gè)較為完整的知識(shí)愿景，既見樹木又見森林。

例如，在初中階段，學(xué)生對(duì)直角三角形進(jìn)行了定量研究，如勾股定理、銳角三角函數(shù)等。關(guān)于一般三角形，只是對(duì)內(nèi)角和、面積等少量知識(shí)進(jìn)行了定量分析，更多的是定性研究邊角關(guān)系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法，讓學(xué)生明白了一個(gè)基本事實(shí)：即“給定三角形的三個(gè)角、三條邊中的某些元素，這個(gè)三角形就是唯一確定的?！?/p>

到高中階段，學(xué)生要對(duì)一般三角形進(jìn)行定量分析，也就是解三角形。對(duì)應(yīng)著三角形全等判定，就出現(xiàn)了需要定量研究的4個(gè)基本問題：

（1）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形;

（2）已知兩角和其中一角的對(duì)邊，解三角形;

（3）已知兩邊及其夾角，解三角形;

（4）已知三邊，解三角形。

“導(dǎo)入”是首要環(huán)節(jié)，關(guān)系到能否用最短時(shí)間激發(fā)出學(xué)生的求知欲，使學(xué)生盡快進(jìn)入深度思維。有教師提出“科學(xué)家如何測(cè)量地月距離？日地距離？”并播放視頻，展示“金星凌日”現(xiàn)象，介紹我國(guó)的“天琴計(jì)劃”。這種視頻導(dǎo)入法具有較強(qiáng)的視覺沖擊力，且內(nèi)容豐富，學(xué)生不僅知道“定理的學(xué)習(xí)是有用的”，而且能從中得到快樂體驗(yàn)，記憶深刻且全面。但時(shí)間不宜過長(zhǎng)，注意前后呼應(yīng)。教材上采用“命題發(fā)現(xiàn)”式，遵循由特殊到一般、由簡(jiǎn)入繁的認(rèn)知規(guī)律。

首先，是在學(xué)生熟悉的直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)，得出邊角之間的正弦關(guān)系，即數(shù)學(xué)表達(dá)式。但對(duì)于偏離“預(yù)設(shè)”程序的其它“發(fā)現(xiàn)”，如學(xué)生得出邊角間的余弦關(guān)系，即：cosA=，cosB=，從而，不要直接舍棄。建議用簡(jiǎn)短的語(yǔ)句智慧處理，如“這里雖得到了一個(gè)類似正弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但它不具備正弦定理那種完美的結(jié)構(gòu)特征，也不能推廣到一般三角形中去應(yīng)用，故而沒有研究?jī)r(jià)值?！蹦康氖潜Ｗo(hù)學(xué)生的探究意識(shí)，讓課堂煥發(fā)出“動(dòng)態(tài)的活力”，但注意這個(gè)過程不要復(fù)雜化。

其次，是將上面的式子推廣到任意三角形中，驗(yàn)證是否仍然成立。但是，在所有三角形驗(yàn)證是不可能的，這就引出“分類驗(yàn)證”。這里，需要停頓一下，留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生去初步感知定理完美的結(jié)構(gòu)特征，初步感受其中所蘊(yùn)含的對(duì)稱美、和諧美。隨著教學(xué)展開，要不斷地解釋、剖析和強(qiáng)化定理的本質(zhì)屬性。例如，有的教師讓學(xué)生動(dòng)手畫出三角形，實(shí)際測(cè)量它的三邊和三角，通過計(jì)算進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證;也有教師用幾何畫板驗(yàn)證，直觀感知，完善猜想。

（二）證明環(huán)節(jié)——正視學(xué)生的能力基礎(chǔ)和思維方式

定理教學(xué)的核心是發(fā)展思維，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是“推導(dǎo)與證明”。一般地，要注意三個(gè)問題：一是理清證明思路，認(rèn)真剖析切入點(diǎn)和主線，歸納步驟;二是揭示其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，指導(dǎo)學(xué)生親歷證明過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這比掌握一個(gè)結(jié)論更為重要;三是對(duì)某些重要定理或公式，宜從多個(gè)視角，采用多種方法推理或證明。教學(xué)主線要清楚，環(huán)節(jié)要做到清晰而自然，要將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生學(xué)習(xí)形態(tài)。無(wú)論是呈現(xiàn)定理背景，還是解釋數(shù)學(xué)表達(dá)式、剖析定理本質(zhì)，都要做出學(xué)生更易接受與理解的活動(dòng)設(shè)計(jì)。

例如，關(guān)于正弦定理，學(xué)生一般會(huì)有四種較為典型的思路：

1.幾何法：如圖1，在一般三角形（分銳角或鈍角三角形兩種類型）中，驗(yàn)證正弦定理的關(guān)鍵是添加輔助線——作三角形的高，拆分為兩個(gè)等高的直角三角形，體現(xiàn)的是劃歸思想。但是，在展示學(xué)生思維品質(zhì)的現(xiàn)狀時(shí)，我們有的教師駐足時(shí)間不夠。例如，“為什么要做高？你是如何想到的？”“你是如何想到的證明思路？”等等，這是提升元認(rèn)知能力的問句，是在挖掘?qū)W生思維結(jié)果的潛在價(jià)值，這里會(huì)生成出新的教學(xué)資源，應(yīng)該成為定理教學(xué)重點(diǎn)關(guān)注的地方，教師要給學(xué)生提供足夠多的思考時(shí)間和足夠大的思維空間。

2.借助三角形面積公式證得結(jié)論：

2S△ABC=bcsinA=casinB=absinC;

3.如圖2，通過做三角形的外接圓，將任意三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題：

a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;

4.向量法：如圖3，用向量法證明的關(guān)鍵是作單位向量與向量垂直，再利用數(shù)量積運(yùn)算：即可.

分析：定理教學(xué)重點(diǎn)是推理與證明的思維過程。幾何法是以邏輯推理為工具進(jìn)行演繹證明，而向量法是利用向量運(yùn)算解決問題，兩種方法實(shí)質(zhì)上是對(duì)立統(tǒng)一的，不可偏倚。讓學(xué)生從不同的數(shù)學(xué)角度看問題，經(jīng)歷多種方法的推導(dǎo)過程，有利于學(xué)生掌握不同屬性的知識(shí)體系和不同的工具，有利于學(xué)生從不同角度錘煉思維品質(zhì)和能力。另外，表征出角的正弦后，教師怎樣對(duì)學(xué)生的思維過程進(jìn)行監(jiān)控？如何才能得到簡(jiǎn)潔而自然的證法？怎樣對(duì)不同證明方法進(jìn)行篩選和優(yōu)化？教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)推廣與引申、比較與鑒別，并自動(dòng)將新學(xué)定理“同化”或“順應(yīng)”到自己的知識(shí)體系中來。

總之，定理教學(xué)既要關(guān)注教學(xué)環(huán)節(jié)的銜接、例題的配備、教學(xué)任務(wù)能否順利完成這些基本環(huán)節(jié)，更要關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)艱難困苦的證明過程中來，最佳方法是在證明過程兩旁分別書寫出“基本步驟”和“數(shù)學(xué)思想與方法”，讓學(xué)生深度體驗(yàn)問題解決的程序性和探究過程的策略性。高水平教學(xué)不僅要讓學(xué)生知其然，知其所以然，還要研究“何由以知其所以然”，還學(xué)生學(xué)習(xí)主人之地位，還數(shù)學(xué)思維教育之本色。