摘?要：隨著“一起中學”App（原“極算子”App）在學校的廣泛使用，通過“一起中學”搜集、整理學生在學習中經(jīng)常出現(xiàn)的典型錯題進行分析，幫助教師了解學生對知識的掌握情況，找出學生易錯的知識點和典型題型，進行歸因分析，找出相應的解決方案，改進教學策略，有效地提高備課和上課的質(zhì)量。函數(shù)學習是初中數(shù)學較難的知識點，在課堂教學中進行錯例分析，幫助學生了解自己可能出現(xiàn)的錯誤，尋找根源，從而采取相應的補救措施。促進數(shù)學成績的提高，最終達到提高課堂效率的目的。

關(guān)鍵詞：一起中學;數(shù)據(jù)分析;函數(shù);錯題資源庫

在教育信息化時代，利用“一起中學”App搜集、整理出學生在練習中常見的、典型的錯題進行分析，利用這些數(shù)據(jù)幫助教師全面了解學生在學習過程中易錯的知識點和典型題型，從而制定出相應的教學策略，使得教師在備課時針對相應的問題能夠采取合理的措施防范，以避免某類錯誤在教學中和學生的練習中屢屢發(fā)生，有效提高教學效率。在課后通過學生練習反饋的錯題數(shù)據(jù)，可以在課堂上進行展示，分析錯因，提出改善意見，強化和鞏固學生對知識點的理解。

初中關(guān)于函數(shù)的學習是學生最怕的內(nèi)容之一，因為函數(shù)問題比較抽象，思考函數(shù)相關(guān)問題的時候要較多地運用數(shù)形結(jié)合思想，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。通過分析學生錯題數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)學生的作圖和讀圖能力是較弱的，學生在函數(shù)解題中會出現(xiàn)看不懂題目意思，讀不懂函數(shù)圖象，不知道題目問什么，也不知道如何運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等問題，根據(jù)這些情況我們制定了相應的復習策略。

一、 通過思維導圖系統(tǒng)復習一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)相關(guān)知識點

1. 一次函數(shù)：y=kx+b，（k≠0，k、b為常數(shù)）

正比例函數(shù)：y=kx，（k≠0，k為常數(shù)）

y=kx+b圖象是一條直線

k：決定圖?象的趨勢k>0：y隨x增大而增大，圖象從左到右上升

k<0：y隨x增大而減小，圖象從左到右下降

b：決定y軸的交?點坐標：（0，b）b>0：與y軸的交點在y軸正半軸

b=0：與y軸的交點在原點（正比例函數(shù)）

b<0：與y軸的交點在y軸負半軸

平移問題?（m>0）：向上平移m個單位：y=kx+b+m

向下平移m個單位：y=kx+b-m上加?下減

2. 反比例函數(shù)：y=kx或y=kx-1，（k≠0，k為常數(shù)）

反比例函數(shù)與正比例函數(shù)性質(zhì)對比：

正比例函數(shù)：y=kx反比例函數(shù)：y=kx或y=kx-1

圖象過原點的直線雙曲線

象限?（相同點）

k>0k<0k>0k<0

過一、三象限過二、四象限過一、三象限過二、四象限

趨勢

k>0k<0k>0k<0

y隨x的增大而增大?圖象從左到右上升y隨x的增大而減小?圖象從左到右下降每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大

函數(shù)變形：k=xy，通過反比例函數(shù)上的點的橫坐標與縱坐標的乘積可求出k值。

3. 二次函數(shù)

（1）一般式：y=ax2+bx+c，（a≠0，a、b、c為常數(shù)）

y=ax2+bx+c開口方向：a>0：開口向上

a<0：開口向下

對稱軸：x=-b2a

決定b的?取值范圍對稱軸在y軸左邊，b的取值范圍與a相同

對稱軸在y軸右邊，b的取值范圍與a相反左同?右異

頂點坐標：-b2a，4ac-b24a

與y軸的交點?坐標：（0，c）c>0：圖象與y軸的交點在y軸正半軸

c=0：圖象與y軸的交點在原點

c<0：圖象與y軸的交點在y軸負半軸

與x軸的交點?個數(shù)：b2-4ac>0：圖象與x軸有兩個交點

=0：圖象與x軸有一個交點

<0：圖象與x軸沒有交點

（2）頂點式：y=a（x-h）2+k，（a≠0，a、h、k為常數(shù)）

y=a（x-h）2+k開口方向：a>0：開口向上

a<0：開口向下

對稱軸：x=h

頂點坐標：（h，k）

平移問題?（m，n>0）：向左平移m個單位：y=a（x-h+m）2+k

向右平移m個單位：y=a（x-h-m）2+k左加?右減

向上平移n個單位：y=a（x-h）2+k+n

向下平移n個單位：y=a（x-h）2+k-n上加?下減

（3）交點式：y=a（x-x1）（x-x2），（a≠0，a、x1、x2為常數(shù)）

與x軸交點坐標：（x1，0），（x2，0）

交點式多用于已知兩個x軸交點坐標求二次函數(shù)解析式。

二、 應用錯題資源庫的數(shù)據(jù)制定教學策略

分析錯題資源庫的錯題數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)題目需要通過觀察圖象進行解答的，學生的錯誤率就會偏高，說明很多學生在學習函數(shù)時函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖象不能互相結(jié)合，學生不明白函數(shù)性質(zhì)如何反映在函數(shù)圖象中，不能通過函數(shù)圖象看出圖象所表述的性質(zhì)或是題目要回答的要點，導致解題無從下手。根據(jù)這個情況，制定了以下教學策略：

（一）學會畫圖

畫圖是學好函數(shù)要具備的基本能力之一。通過畫圖學生會更了解函數(shù)性質(zhì)在函數(shù)圖象上的反映。畫好函數(shù)圖象的關(guān)鍵是取點，學生已學過函數(shù)圖象的性質(zhì)，所以畫圖不能像初學者一樣盲目取點，而是要取一些關(guān)鍵點，這樣畫出的圖象能直觀地反映出該函數(shù)的某些性質(zhì)。函數(shù)取點的原則：首先取能反映函數(shù)性質(zhì)的點，然后盡量取橫坐標和縱坐標是整數(shù)的點。

一次函數(shù)：因為一次函數(shù)的圖象是一條直線，而兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象只需要取兩個點就可以了，這兩個點不要隨意取整數(shù)點，要取函數(shù)與x軸的交點和與y軸的交點，這樣取點的好處是：（1）學生在取點的時候能明白如何求一次函數(shù)與兩個坐標軸的交點坐標。（2）學生在畫圖時能感悟到函數(shù)與x軸的交點和與y軸的交點在函數(shù)圖象上的反映。有助于學生將函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象相結(jié)合。

二次函數(shù)：二次函數(shù)的圖象是拋物線，性質(zhì)比較多，在畫圖象時，一般取以下幾個點：（1）頂點坐標。（2）與y軸的交點坐標。（3）與x軸的交點坐標，如果與x軸沒有交點或是求出來的交點坐標是帶根號的，那么就取兩個關(guān)于對稱軸對稱的整數(shù)點。這樣學生在每次畫圖中都能明白如何求頂點坐標和與坐標軸的交點坐標以及這些性質(zhì)如何反映在函數(shù)圖象上，幫助學生學會從圖象中讀懂函數(shù)性質(zhì)。

反比例函數(shù)：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，與坐標軸無交點，所以取點原則是盡量取整數(shù)點，每個象限取3個或更多，取得點越多，畫的圖象越精確。在取點時引導學生體會每個點的x值與y值的乘積等于k這個性質(zhì)。

（二）學會讀圖

讀圖一般讀三個要素：（1）讀圖上的點。（2）讀趨勢。（3）讀函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

一次函數(shù)：一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1所示，從圖中能知道：

（1）函數(shù)與y軸的交點坐標是（0，3），b=3。

（2）函數(shù)與x軸的交點坐標是（2，0）。

（3）趨勢：y隨x的增大而減小，k<0。

（4）通過點的坐標可以求出該函數(shù)的解析式是：y=-32x+3。

（5）通過點觀察x與y的取值范圍：

①通過（2，0）這個點觀察：當x>2時y<0;當x<2時y>0。

②通過（0，3）這個點觀察：當x<0時y>3;當x>0時y<3。

二次函數(shù)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖2所示，從圖中能知道：

（1）函數(shù)的開口向下，a<0。

（2）函數(shù)與y軸的交點坐標是（0，3），c=3。

（3）函數(shù)與x軸的交點坐標是（3，0），（-1，0）。

與x軸有兩個交點，b2-4ac>0

（4）二次函數(shù)頂點坐標（1，4）。由頂點坐標可知：當x=1時，二次函數(shù)有最大值y=4。

（5）二次函數(shù)對稱軸：x=-b2a=1，2a+b=0。

（6）趨勢：x≤1時，y隨x的增大而增大;x≥1時，y隨x的增大而減小。

（7）通過x軸的交點觀察x與y的取值范圍：當x<-1或x>3時，y<0;當-10。

（8）通過點的坐標可以求出該函數(shù)解析式是：y=-（x-1）2+4或y=-x2+2x+3。

還可以得到a、b、c的關(guān)系：a-b+c=0，a+b+c=4，4a-2b+c<0，4a+2b+c>0等。

函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系：如圖3所示，從圖中可以知道：

（1）一次函數(shù)y=x+1與二次函數(shù)y=-（x-1）2+4的交點坐標是（-1，0）和（2，3）。

（2）通過兩個函數(shù)的交點觀察函數(shù)之間的關(guān)系：

當-1

當x<-1或x>2時，一次函數(shù)的值>二次函數(shù)的值。

（三）運用數(shù)形結(jié)合思想解題

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”將抽象思維與形象思維結(jié)合，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。

【例1】?一次函數(shù)y=2x-4的圖象如圖4所示，填空：

（1）當x????時，y<-4。

（2）當x>2時，y????。

這道題可以讓學生體會“數(shù)”與“形”兩種方法在解題上的運用。

（1）方法①，“數(shù)”：

∵y=2x-4，y<-4

∴2x-4<-4

解得x<0

∴當x<0時，y<-4。

方法②，“形”：

觀察圖象得：當y=-4時，x=0，觀察圖象趨勢得：y隨x的增大而增大。

∴當x<0時，y<-4。

（2）方法①，“數(shù)”：

∵y=2x-4

∴x=y+42

又∵x>2

∴y+42>2

解得y>0

方法②，“形”：

觀察圖象得：當x=2時，y=0，觀察圖象趨勢得：y隨x的增大而增大。

∴當x>2時，y>0。

這道題學生做第（1）題時，由于比較習慣“數(shù)”的思考方式，所以會感覺“數(shù)”的方法更好理解，計算也簡單，但學生做第（2）題時，“數(shù)”的方法做起來就較為復雜了，這時就能體會到“形”的方法為解題帶來的便利。這時就可以引導學生在解函數(shù)問題時要“以形助數(shù)”，提高解題效率。

【例2】?一次函數(shù)y=ax+b和y=cx+d的圖象如圖5所示，

根據(jù)函數(shù)圖象求x，y的二元一次方程組y=ax+b?y=cx+d的解是：????。

解析：這道題用一般的解方程的方法是解不出的，要將函數(shù)與方程思想相結(jié)合，找到他們的關(guān)系，通過觀察函數(shù)圖象得出結(jié)論。

因為點（2，1）是一次函數(shù)y=ax+b和y=cx+d的交點，

所以x=2，y=1代入函數(shù)y=ax+b成立，代入y=cx+d也成立，

這與x=2?y=1是方程組y=ax+b?y=cx+d的解的意義是一樣的。

所以x，y的二元一次方程組y=ax+b?y=cx+d的解是x=2?y=1。

在解決函數(shù)問題甚至其他問題時，經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合的思想。因此我們在教學過程和解題訓練時，要培養(yǎng)學生“由數(shù)思形”“以形想數(shù)”“數(shù)形轉(zhuǎn)化”的能力。

一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)在內(nèi)容與學習方法上既有聯(lián)系又有差異。教師在教學過程中應引導學生通過類比的方式接受新知識。在學習函數(shù)性質(zhì)時，引導學生主動探索，自主學習，提高學生的學習能力。在解題訓練中，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合的思想進行解題。通過引入“一起中學”App錯題資源庫的高頻錯題示范，讓學生及時發(fā)現(xiàn)錯誤，改正錯誤，培養(yǎng)學生收集錯題集的習慣，提高學習效率和質(zhì)量。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.數(shù)學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

作者簡介：

陳瑩，廣東省廣州市，廣州市增城區(qū)水電二局學校。