潘春芳 項(xiàng)薔媛

[摘要]運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力是高考考查的主要能力之一。近似處理在許多實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，熟練掌握幾種常用的近似關(guān)系對(duì)有效解決相關(guān)物理問(wèn)題有積極的作用，同樣地，無(wú)窮遞減等比數(shù)列求和公式S=a1/（1-q）是解決許多實(shí)際問(wèn)題的重要方法文章結(jié)合幾道典型考題，探討近似關(guān)系及無(wú)窮等比數(shù)列求和公式在解答某些物理問(wèn)題中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)關(guān)系式;物理問(wèn)題;應(yīng)用

[中圖分類號(hào)]

G633.17

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（2020）17-0046-02

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力是《（物理）考試說(shuō)明》中的六大能力之一?？梢?jiàn)，解決物理問(wèn)題與數(shù)學(xué)方法密不可分，數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的工具，可以這樣說(shuō)：沒(méi)有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，物理是學(xué)不好的。下面通過(guò)幾個(gè)典型例題分析近似關(guān)系和無(wú)窮遞減等比數(shù)列求和公式S=a1/（1-q）在解答高考物理題時(shí)的運(yùn)用。

一、當(dāng)λ《1時(shí)（1+λ）_n≈1+nλ

[例1]（2007年江蘇卷）如圖l所示，帶電量分別為4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細(xì)桿上，相距為d。若桿上套一帶電小環(huán)C，帶電體A、B和C均可視為點(diǎn)電荷。

（1）求小環(huán)C的平衡位置;

（2）若小環(huán)C的帶電量為q，將小環(huán)拉離平衡位置一小位移x（|x|《d）后靜止釋放，試判斷小環(huán)C能否回到平衡位置？（回答“能”或“不能”即可）

（3）若小環(huán)C的帶電量為-q，將小環(huán)拉離平衡位置一小位移x（|x|《d）后靜止釋放，試證明小環(huán)C將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

可見(jiàn)，上式滿足物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：F=-kx，所以，小環(huán)C將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

評(píng)析：本題的前兩問(wèn)實(shí)際上是給考生解第3問(wèn)做鋪墊，只要掌握了證明物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一般解題思路和方法，再結(jié)合庫(kù)侖定律、力的合成和近似關(guān)系式進(jìn)行運(yùn)算，就能迅速求解。

二、對(duì)于無(wú)窮遞減等比數(shù)列（|q|<1），當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列的和為S=a1/（1-q）

[例2]（1989年全國(guó)卷）一個(gè)質(zhì)量為m、帶有電荷-q的小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），可在水平軌道Ox上運(yùn)動(dòng)，O端有一與軌道垂直的固定墻、軌道處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，其場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿Ox軸正方向，如圖2所示。小物體以初速度v。從xo點(diǎn)沿Ox軌道運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)受到大小不變的摩擦力廠作用，且f< qE;設(shè)小物體與墻碰撞時(shí)不損失機(jī)械能，且電量保持不變，求它在停止運(yùn)動(dòng)前所通過(guò)的總路程s。

解析：首先要分析小物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，其次再建立物理圖景。開(kāi)始時(shí)，設(shè)物體從xo點(diǎn)以速度v。向右運(yùn)動(dòng)，它在水平方向受到方向均向左的電場(chǎng)力qE和摩擦力廠作用，因此物體做向有的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a¹=（qE+f）/m，減速直到速度為零;而后，物體受向左的電場(chǎng)力和向有的摩擦力作用，因?yàn)?，所以物體做向左的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為 ，直到以一定速度與墻壁碰撞，碰后物體的速度與碰前速度大小相等，方向相反，然后物體將做多次的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，一直到停在墻壁處。

小物體從開(kāi)始向右勻減速運(yùn)動(dòng)的位移大小為：x¹=v0₂/2a¹，然后向左勻加速運(yùn)動(dòng)與墻第一次碰撞前

此題，除了上述解法之外，還可以運(yùn)用動(dòng)能定理和能量守恒法求解，限于篇幅，不再贅述。

[例3]（2018年4月浙江卷）如圖3所示，一軌道由半徑為2m的四分之一豎直圓弧軌道AB和長(zhǎng)度可調(diào)的水平直軌道BC在B點(diǎn)平滑連接而成?，F(xiàn)有一質(zhì)量為0.2 kg的小球從A點(diǎn)無(wú)初速釋放，經(jīng)過(guò)網(wǎng)弧上B點(diǎn)時(shí)，傳感器測(cè)得軌道所受壓力大小為3.6N，小球經(jīng)過(guò)BC段所受的阻力為其重力的0.2倍，然后從C點(diǎn)水平飛離軌道，落到水平地面上的P點(diǎn)，P、C兩點(diǎn)間的高度差為3.2m。小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可視為質(zhì)點(diǎn)，且不計(jì)空氣阻力。

（1）求小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小;

（2）求小球在網(wǎng)弧軌道上克服摩擦力所做的功;

（3）為使小球落點(diǎn)P與B點(diǎn)的水平距離最大，求BC段的長(zhǎng)度;

（4）小球落到P點(diǎn)后彈起，與地面多次碰撞后靜止。假設(shè)小球每次碰撞機(jī)械能損失75%，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等。求小球從C點(diǎn)飛出到最后靜止所需時(shí)間。

由二次函數(shù)的單調(diào)性可得，當(dāng)v^c= 1.6 m/s時(shí)，B至P的水平距離最大，由此可得：LBC=3.36m。

（4）由于碰撞前后速度方向與地面的夾角相等，所以碰撞前后水平與豎直分速度比例不變，每次碰撞機(jī)械能損失75%，故每次碰撞合速度、分速度均變?yōu)樵瓉?lái)的二分之一。

當(dāng)n取無(wú)窮大時(shí)，物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。由無(wú)窮遞減等比數(shù)列求和公式，可得：

評(píng)析：在復(fù)習(xí)迎考中，要固本強(qiáng)基，狠抓主干知識(shí)，要加強(qiáng)對(duì)物理基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的理解，掌握物理規(guī)律。在教學(xué)設(shè)計(jì)中要突出通過(guò)問(wèn)題載體，建構(gòu)物理模型，研習(xí)解題過(guò)程，掌握解題方法，并強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)在物理學(xué)科中的應(yīng)用，這對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有幫助。

[參考文獻(xiàn)]

[l]潘春芳，項(xiàng)薔媛.2018年4月浙江省物理選考第20題的多種解法[J].中學(xué)物理，2018（13）：57-58.

[2]項(xiàng)薔媛，潘春芳.等比數(shù)列在物理解題中的應(yīng)用例析[J].教學(xué)考試，2018（22）：38-40.

（責(zé)任編輯 易志毅）