□郜舒竹

“0+1”和“1+0”是否一樣的問題，似乎過于簡單，不是一個(gè)值得思考和回答的問題。無非是在算式中，“0”和“1”兩個(gè)數(shù)字的擺放順序不同，但計(jì)算結(jié)果都是1，是加法交換律的一個(gè)特例。如果進(jìn)一步想，“0+1”和“1+0”都是符號(hào)組成的算式，凡符號(hào)都會(huì)指稱或表示對(duì)象，對(duì)象可能是靜態(tài)的事物，也可能是動(dòng)態(tài)的過程或動(dòng)作。那么“0+1”和“1+0”分別表示或指稱什么？存在哪些差異？這樣的問題，似乎就不太容易說清楚了。

一個(gè)加法算式“A+B”，其中出現(xiàn)了“A”“B”以及“+”三個(gè)符號(hào)，A和B表示數(shù)，+表示“運(yùn)算（Operation）”。那么，究竟應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)數(shù)（以下所說的數(shù)均限定為“自然數(shù)”）和運(yùn)算呢？

一、自然數(shù)并不“自然”

什么是“數(shù)”？提及“數(shù)”，頭腦中的“意象（Image）”是什么呢？可能是類似于“3”的符號(hào)，但“3”不是數(shù)，是表達(dá)數(shù)的一個(gè)符號(hào)。這樣的符號(hào)或文字還可能是“三，叁，Three”等。因此“數(shù)”這個(gè)概念是不同于水杯、白馬這些具體概念的，是抽象的。從古至今，許多前人大師都對(duì)數(shù)的抽象性有過論述。

19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家利奧波德·克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823—1891）有一句廣為流傳的名言：“整數(shù)（自然數(shù)）是上帝創(chuàng)造的，其他都是人造的。”［1］之所以把數(shù)視為“上帝”創(chuàng)造的，就是因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)世界中，人感知不到數(shù)的存在。

20 世紀(jì)英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）將人的認(rèn)知對(duì)象分為兩類，一類是像水杯、白馬那樣特殊的、具體的，稱之為“殊相（Particulars）”。另一類是感覺器官感知不到的對(duì)象，諸如“數(shù)、空間、時(shí)間、關(guān)系”等，具有抽象性和普遍性，也叫“共相（Universals）”［2］。

凡此都是“二元（Dichotomy）”的“本體論（Ontology）”哲學(xué)觀，認(rèn)為認(rèn)知對(duì)象分別“存在（Existence）”于兩個(gè)世界：一個(gè)是感官可以感知的物質(zhì)世界（殊相），另一個(gè)是人感知不到的精神世界（共相）。認(rèn)知對(duì)象分為兩類，一類存在于物質(zhì)世界，另一類存在于精神世界，數(shù)就被認(rèn)為存在于精神世界中。

鑒于數(shù)的抽象性特征，如果把“算”看作是以數(shù)為對(duì)象的“操作（Operation）”，自然也具有了難以理解的特征。對(duì)于類似“2+3”這樣的算式，同樣具有了抽象性，究竟應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)這樣抽象的對(duì)象？

二、涉身認(rèn)知

20 世紀(jì)80 年代后，美國的喬治·萊考夫（George Lakoff）和馬克·約翰遜（Mark Johnson）提出涉身認(rèn)知的理論，否認(rèn)精神世界的存在，認(rèn)為人的認(rèn)知是“涉身（Embodiment）”的，也就是與人的身體以及身體的活動(dòng)聯(lián)系在一起。這一理論緣于認(rèn)知科學(xué)的三點(diǎn)發(fā)現(xiàn)［3］。

●人“頭腦（Mind）”中的智力活動(dòng)是“涉身的（Embodied）”，而不僅僅是頭腦中的智力。

●人的思想往往是“無意識(shí)（Unconscious）”的。

●抽象概念的認(rèn)識(shí)是依賴“隱喻（Metaphor）”的。

意思是，所有認(rèn)知都是基于頭腦、身體與環(huán)境的互動(dòng)，做即是知，知即是做，在此過程中會(huì)無意識(shí)地形成思維方式，也叫“意象圖式（Image Schema）”。這樣的思維方式又會(huì)自然而然地、不自覺地應(yīng)用到人的其他活動(dòng)中。

對(duì)于抽象的對(duì)象，需要用具體的涉身活動(dòng)進(jìn)行隱喻或“類比（Analogy）”。萊考夫和拉斐爾（Nunez Rafael）于2000 年合作出版了一本名為《數(shù)學(xué)來自哪里：涉身頭腦如何生成數(shù)學(xué)》的著作［4］，其中關(guān)于數(shù)學(xué)涉身認(rèn)知的基本邏輯可以概括為如下三點(diǎn)。

●數(shù)學(xué)本質(zhì)上說是關(guān)于人的“思想（Idea）”的，而不僅僅是形式化的定義、定理、計(jì)算、證明、解題等。

●這樣的思想源于人與環(huán)境的涉身活動(dòng)和經(jīng)驗(yàn)，而不是先驗(yàn)的。

●數(shù)學(xué)的認(rèn)知應(yīng)當(dāng)通過涉身活動(dòng)的隱喻得以實(shí)現(xiàn)。[5]

不妨用一個(gè)直觀的示意圖表示涉身認(rèn)知的過程（如圖1）。

圖1 涉身認(rèn)知示意圖

圖中表現(xiàn)出豐富的、反復(fù)的涉身活動(dòng)，能夠使人形成相對(duì)穩(wěn)定的思維方式（意象圖式），這樣的意象圖式映射（隱喻）到抽象概念，進(jìn)而使得抽象概念有“意義生成（Sense Making）”。

從涉身認(rèn)知的視角看，運(yùn)算實(shí)質(zhì)是“過程（Process）”以及過程中人身體的“動(dòng)作（Act）”。從這個(gè)意義上說，“A+B”和“B+A”是兩個(gè)不同的過程，其中數(shù)字符號(hào)“A”和“B”在算式中位置的交換，并不是“交換”的全部意義。了解二者作為過程和活動(dòng)的諸多差異，才能凸顯交換律的發(fā)生以及存在價(jià)值。

交換律實(shí)質(zhì)是關(guān)于兩個(gè)不同算式，其結(jié)果相同的判斷。所謂判斷，指的是肯定或否定的陳述，這樣的陳述可能是文字語言，也可能是符號(hào)語言。所有這樣的陳述，都需要辨別和證明是否為“真（Truth）”，辨別與證明的過程其實(shí)就是“推理（Reasoning）”的過程，也就是要回答“為什么”和“怎么知道”的問題。

人人都會(huì)承認(rèn)“太陽每天升起”這個(gè)判斷為真，人是怎么獲得這個(gè)判斷的呢？怎么知道明天太陽是否會(huì)升起呢？事實(shí)上，明天太陽是否會(huì)升起，是一個(gè)未來的、尚未發(fā)生的事情，那么此時(shí)此刻對(duì)人來說，就是未知的。人能夠做出肯定的判斷“明天太陽一定升起”，是依據(jù)過去“無一例外地太陽每天升起”的事實(shí)，這樣的事實(shí)使人產(chǎn)生了“無一例外都如此”的經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中也有類似的判斷，比如：平面上兩點(diǎn)之間直線段最短，怎樣知道這個(gè)判斷是對(duì)的呢？因?yàn)楣沤裰型鉀]有發(fā)現(xiàn)例外，人的直覺經(jīng)驗(yàn)就是如此。人無法找到除此之外的“更短”，而且這樣的事實(shí)為所有人所公認(rèn)。像這種源于經(jīng)驗(yàn)的判斷在科學(xué)史中叫作“經(jīng)驗(yàn)的（Experiential）”［6］，在數(shù)學(xué)中也叫作“公理（Axiom）”或“公設(shè)（Postulate）”，具有假設(shè)正確，無須證明的意義。

加法交換律作為數(shù)學(xué)中的判斷，也具有經(jīng)驗(yàn)的特點(diǎn)。是人從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來的規(guī)律，是運(yùn)動(dòng)與變化中的不變，這或許也是稱之為“律”的原因，就像牛頓從物體運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)中歸納出物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，后人稱之為“牛頓三定律”，也屬于經(jīng)驗(yàn)的判斷。接下來的問題是，“加”與人什么樣的涉身活動(dòng)有關(guān)？其中“交換”是如何體現(xiàn)的？

三、“加”與“交換”的涉身動(dòng)作

“加（Addition）”作為運(yùn)算，從認(rèn)知的視角看，其涉身過程和動(dòng)作很多。比如，利用容器的思維方式，把“加”視為向容器中“放入”的動(dòng)作，反過來“減”就是從容器中“取出”的動(dòng)作，兩者是“互逆（Inverse）”的關(guān)系。

對(duì)于抽象的算式“1+2”，就可以用“向盤子中放入蘋果”的動(dòng)作進(jìn)行隱喻。把一個(gè)盤子看作“容器”，如果規(guī)定運(yùn)算順序?yàn)閺淖笙蛴遥渲幸呀?jīng)有1 個(gè)蘋果，人“手持”2 個(gè)蘋果“放入”這個(gè)盤子，結(jié)果盤子中有3個(gè)蘋果，如圖2所示。

圖2 “1+2”示意圖

其中的“手持”和“放入”就是涉身的動(dòng)作。這個(gè)過程是否有意義，取決于三個(gè)要素：容器中的“原有”，放入過程中的“手持”，放入后的“結(jié)果”。圖2中的“原有”是1個(gè)蘋果，“手持”是2個(gè)蘋果，“結(jié)果”是從1個(gè)蘋果改變?yōu)?個(gè)蘋果。

“2+1”與“1+2”的過程有所不同，容器中的“原有”是2個(gè)蘋果，“手持”是1 個(gè)蘋果，放入后的結(jié)果與“1+2”的結(jié)果相同，也是3 個(gè)蘋果，如圖3所示。

圖3 “2+1”示意圖

如果把盤中“原有”的蘋果數(shù)用字母A表示，放入過程中“手持”的蘋果數(shù)用字母B表示，那么“A+B”和“B+A”兩個(gè)放入過程中，A 和B的角色是不同的，而且是將A 用B 替換，將B 用A 替換，也就是將A 和B 做了交換。千百年來不斷重復(fù)出現(xiàn)的事實(shí)讓人們獲得了這樣的經(jīng)驗(yàn)：將“原有”的對(duì)象與“手持”的對(duì)象進(jìn)行交換，會(huì)無一例外地使得放入的結(jié)果不變。

如果把“盤”和“手”視為兩個(gè)不同的空間位置，那么盤中“原有”與“手持”對(duì)象的交換實(shí)質(zhì)是不同空間位置對(duì)象的交換，此時(shí)反映出的規(guī)律是，對(duì)象空間位置的交換具有總量的“不變性（Certainty）”。

除此之外，交換律還可以體現(xiàn)在觀察方向的變化上。比如，面對(duì)地面上的雞（如圖4）。

圖4 “左3、右2”示意圖

觀察者的涉身活動(dòng)是眼球的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。如果“從左向右”看，先看見3 只雞，后看見2 只雞，由此隱喻算式“3+2”。如果“從右向左”看，先看見2 只雞，再看見3只雞，此時(shí)隱喻的算式就是“2+3”。無論怎樣看，無一例外地發(fā)現(xiàn)共有“5”只雞這個(gè)結(jié)果不變。因此觀察方向“從左向右”和“從右向左”的交換，也具有總量不變的規(guī)律，因此交換律體現(xiàn)了人涉身活動(dòng)方式的交換，不會(huì)改變總量的規(guī)律。觀察方向的交換使得結(jié)果不變，實(shí)質(zhì)是“對(duì)稱（Symmetry）”的表現(xiàn)形式。比如：

●回文數(shù)：20200202

●回文句：上海自來水來自海上

●英文單詞：level

●交換律：A+B=B+A

其特點(diǎn)都是觀察方向“從左向右”與“從右向左”交換后，觀察結(jié)果形式上都是一樣的，所以交換律也叫作“對(duì)稱律”。

綜上，“加”作為運(yùn)算的交換性，可以體現(xiàn)在空間位置和觀察方向上。不僅如此，觀察的時(shí)間順序，“先”和“后”也是可以交換的。“先看到”和“后看到”，雖然時(shí)間順序不同，但結(jié)果相同。圖4中，“先左，后右”和“先右，后左”的觀察，不僅有方向的差異，還有時(shí)間順序的差異，但結(jié)果都是相同的。因此，交換同時(shí)具有時(shí)間、空間和身體動(dòng)作的意義，空間位置的改變、涉身動(dòng)作的改變、時(shí)間順序的改變，都會(huì)使得形式或數(shù)量保持不變。

以上對(duì)于“加”以及“交換”的認(rèn)識(shí)，是以手的動(dòng)作和眼球的動(dòng)作為主的涉身活動(dòng)，還可以通過人“腳”的“行走”動(dòng)作隱喻加法交換律。行走可以說是人最常見的涉身動(dòng)作，可以看作意象圖式，其三要素分別為“起點(diǎn)、路徑、終點(diǎn)”。從時(shí)間順序來說，“先走2 步，停止，再走3 步”和“先走3 步，停止，再走2步”，路徑中的停止位置是不同的，但起點(diǎn)和終點(diǎn)是一樣的，如圖5所示。所以“先走”和“后走”，作為時(shí)間順序是可以交換的。

圖5 行走示意圖

這樣時(shí)間順序可交換的經(jīng)驗(yàn)是很普遍的。比如學(xué)生熟悉的上課順序，第一節(jié)課是數(shù)學(xué)，第二節(jié)課是語文，因?yàn)樘厥馇闆r，可能改為第一節(jié)課是語文，第二節(jié)課是數(shù)學(xué)，總的上課門類不變。

綜上，所謂交換律“A+B=B+A”，可以說是來源于人經(jīng)驗(yàn)的判斷，其正確性是經(jīng)驗(yàn)歸納的結(jié)果。具體表現(xiàn)為空間位置的交換、觀察方向的交換以及時(shí)間順序的交換。

四、“0+1”與“1+0”的區(qū)別

回到文初關(guān)于“0+1”和“1+0”的問題。從容器隱喻看，“0+1”中的“0”可以表示一個(gè)空盤子，其中沒有蘋果?！?”表示“放入”動(dòng)作，“1”表示“手持”以及放入的蘋果數(shù)，那么“0+1”就表示“向空盤中放入1個(gè)蘋果”，如圖6所示。這是可以理解的過程和動(dòng)作，“0+1”的過程和動(dòng)作可以在頭腦中出現(xiàn)“意境（Imagery）”，進(jìn)而有意義生成。

按照同樣的容器思維，“1+0”表示盤中原有1個(gè)蘋果，“+0”表示放入“0”個(gè)蘋果，也就是沒有放入蘋果，如圖7所示。

此時(shí)“1+0”表示“向原有1 個(gè)蘋果的盤子中沒有放入蘋果”，這樣的過程就不符合人涉身活動(dòng)的規(guī)律。“放入0 個(gè)”等同于沒有放入，也就是放入的動(dòng)作原本就沒有發(fā)生，使得“1+0”這樣的算式無法在頭腦中出現(xiàn)合理的意象，因而從認(rèn)知的角度說，“1+0”缺少實(shí)際的意義。

用行走隱喻看，“0+1”可以看作是站在“0 起點(diǎn)”，走了1步，如圖8所示。

而“1+0”是站在“1”起點(diǎn)，走了“0”步，等同于原地不動(dòng)，沒有行走，如圖9所示。這也同樣不符合人的涉身活動(dòng)規(guī)律。

圖6 “0+1”示意圖

圖7 “1+0”示意圖

圖8 “0+1”行走示意圖

圖9 “1+0”行走示意圖

因此從涉身認(rèn)知看，“0+1”與“1+0”有本質(zhì)的不同，前者可以與人的涉身活動(dòng)直接建立聯(lián)系，進(jìn)而具有意義生成。而后者相對(duì)于前者，在容器和行走圖式中，沒有出現(xiàn)有意義的動(dòng)作，因此具有抽象的特征。也就是說，作為加法交換律的特例，“1+0=0+1”，不具備經(jīng)驗(yàn)性判斷為真的特征，其正確性就成為一種“建構(gòu)（Construction）”，或人為規(guī)定。區(qū)別于經(jīng)驗(yàn)性的“規(guī)律（Law）”，可以稱之為“規(guī)則（Rule）”。

由此帶來兩個(gè)問題，第一，數(shù)學(xué)中為什么需要像“1+0”這樣無實(shí)際意義的內(nèi)容？第二，應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)這樣抽象的內(nèi)容？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》第21 頁課程內(nèi)容板塊“數(shù)的運(yùn)算”第三款中指出：“探索并了解運(yùn)算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律）……”其中的“探索”，或許就是期望學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知，不僅停留在“知道+應(yīng)用”，還應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷“發(fā)生+發(fā)展”的過程。

數(shù)學(xué)中承認(rèn)“+0”的存在，把“0”視為一個(gè)數(shù)學(xué)中的對(duì)象，把“+0”視為一個(gè)真實(shí)存在的運(yùn)算，究竟是為了什么？

五、“+0”的意義

數(shù)學(xué)家通常具有“結(jié)構(gòu)（Structure）”的思維，把數(shù)學(xué)對(duì)象看作是相互關(guān)聯(lián)的整體。全體自然數(shù)及其運(yùn)算就構(gòu)成一個(gè)結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的表達(dá)需要統(tǒng)一的形式。如果用統(tǒng)一的形式表達(dá)交換律“A+B=B+A”，字母A和B可以表示任意自然數(shù)，也可以拓展到分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)。其中的字母A 或B 允許為“0”，能夠使得統(tǒng)一的表達(dá)形式具有普遍意義，而且允許“+0”的存在，并不妨礙“A+B=B+A”的普遍性和正確性，也就是這樣的規(guī)定具有無矛盾性。

另外，把“0”視為一個(gè)存在的思維對(duì)象，在計(jì)算與推理中，也是有用的，能夠成為實(shí)現(xiàn)算式或代數(shù)式之間轉(zhuǎn)換的橋梁。比如：

“2-1”和“1+0”是兩個(gè)不同的運(yùn)算，把“0”視為“1-1”，就把兩個(gè)不同的算式聯(lián)系到一起，可以相互轉(zhuǎn)化。這樣的思維方式實(shí)質(zhì)是把“+0”看作“無中生有”的過程，把“無”視為“有”，創(chuàng)造條件，讓“無”與“有”這樣對(duì)立的雙方，實(shí)現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化。因此“+0”的過程，體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一的“辯證思維（Dialectical Thinking）”［7］，而且對(duì)于算式轉(zhuǎn)換具有實(shí)際意義。

比如，為了計(jì)算“19+21”，可以無中生有地添加“0”，算式變?yōu)椤?9+0+21”，由于0=1-1，因此變形為“（19+1）+（21-1）”，也就變成了“20+20”，使得通常所說的簡便運(yùn)算得以實(shí)現(xiàn)。簡便運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是這樣的算式轉(zhuǎn)換。

再比如初中數(shù)學(xué)中解一元二次方程“x2-4x+3=0”，需要對(duì)左邊代數(shù)式因式分解，通常采用所謂的“十字相乘法”，其實(shí)這一方法源于“+0”。

其中第二行，無中生有地添加了“0”，也就是添加了“1-1”，進(jìn)而湊平方后，利用平方差公式實(shí)現(xiàn)了因式分解。

綜上所述，“加”作為數(shù)學(xué)中的運(yùn)算，其意義不僅是從算式到結(jié)果的“算（Calculation）”，背后是人的“運(yùn)（Operation）”，也就是涉身的動(dòng)作。所謂交換律，反映的是“空間位置、觀察方向、時(shí)間順序的交換，使得總量不變”的規(guī)律，是從多種多樣、豐富多彩的動(dòng)作經(jīng)歷中歸納出來的經(jīng)驗(yàn)，是對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化中不變因素的“歸納（Induction）”，是對(duì)經(jīng)歷中經(jīng)驗(yàn)的“抽象（Abstraction）”。抽象出來的規(guī)律，在自然數(shù)集合結(jié)構(gòu)中成為“法則（Rule）”，是計(jì)算過程中需要遵守的。

一個(gè)特例是對(duì)“1+0=0+1”的理解，從涉身動(dòng)作的角度看，“0+1=1”具有實(shí)際意義，而“1+0=1”具有人為規(guī)定的特征，更一般的陳述是：任何數(shù)與零相加的結(jié)果還是這個(gè)數(shù)。這樣的規(guī)定在符合無矛盾的前提下，能夠保證自然數(shù)結(jié)構(gòu)的“統(tǒng)一（Unity）”。同時(shí)，把“0”視為兩個(gè)相同數(shù)相減的結(jié)果，在實(shí)際計(jì)算中實(shí)現(xiàn)算式間的轉(zhuǎn)換，也是有意義的。

計(jì)算教學(xué)，往往追求“算”得“又對(duì)又快”，某種意義上忽略對(duì)算式的理解。這樣容易導(dǎo)致的結(jié)果是：

●會(huì)做，但不懂。

●做對(duì)，但不會(huì)。

“算”成了依照程序的機(jī)械性操作，機(jī)械性操作成了“模仿+練習(xí)”的機(jī)械性訓(xùn)練，失去了理解的過程和多樣的生成。因此應(yīng)當(dāng)倡導(dǎo)拓展對(duì)于計(jì)算教學(xué)的理解，不僅關(guān)注算式之后的結(jié)果，更應(yīng)關(guān)注算式之前的發(fā)生。讓學(xué)生有時(shí)間、有機(jī)會(huì)親身經(jīng)歷算式發(fā)生與發(fā)展過程中的豐富多彩的涉身活動(dòng)。真正實(shí)現(xiàn)“人人有活動(dòng)、人人有機(jī)會(huì)、人人有發(fā)展”的理想教學(xué)。