□黃 建 張 琴

學科關鍵能力是指學生在學科課程的學習過程中形成的具有典型的學科特性、與特定的學科素養(yǎng)相關聯(lián)的特殊學科能力?！督虒W月刊·小學版（數(shù)學）》2020 年第3 期中的本期話題聚焦學科關鍵能力中的“運算能力”“空間想象能力”“推理能力”等展開論述。那么教師在教學中應如何促進學生學科關鍵能力的培養(yǎng)？通過閱讀，我們發(fā)現(xiàn)本期雜志中的文章在具體操作層面提供了許多有效的策略。

一、從“雙線并行”到“理法相融”——運算能力

（一）“三個角度”理解運算能力

《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》中提出，運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。這兩句話實際上刻畫了運算能力的三個主要特征：正確運算、理解算理、方法合理。

翻開《中國中學教學百科全書·數(shù)學卷》，其中對于運算能力是這樣描述的：運算能力并不是一種單一的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等獨特結合的一種能力。它主要是通過解題而逐步發(fā)展起來的。在這里強調了運算能力的兩個要素：一是運算技能；二是邏輯思維。

在《運中有智慧算中有妙法——小學生運算能力培養(yǎng)的思考》中，錢利平老師認為：運算能力作為數(shù)學學科獨有的關鍵能力，可以將它拆分為“運”的能力與“算”的能力?！斑\”是意識、思想、策略，是一種思維活動；“算”是技能、實踐、演練，是一種操作活動。可見運算能力是包含了運算技能與邏輯思維的一種綜合的能力。

（二）“三個重視”培養(yǎng)運算能力

“理”“法”雙線并行，可以讓學生走得更穩(wěn)；而“理”“法”交融可以讓學生走得更遠?；谶@樣的思考，這一期文章的作者又會提出怎樣的建議和策略呢？

1.重視教學內容的選擇

在《直面核心知識 關注理法相融——小學數(shù)學運算能力培養(yǎng)例談》一文中，凌璐予、徐丹紅兩位老師指出，以單元視角尋找單元核心，并在此基礎上重組內容，能更好地凸顯教學內容本質。作者以人教版三年級下冊《除數(shù)是一位數(shù)的除法》為例，分別從“單元分析，把握整體；學生分析，把握起點；重組內容，把握核心”三個方面展開，對第一課時“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”做了以下調整。第一環(huán)節(jié)：將教材編排的口算作為課前熱身，并將算理進行初步表征;第二環(huán)節(jié)：探究42÷3的口算方法，跟進練習84÷3，并進行對比，凸顯算理；第三環(huán)節(jié)：練習，例題內容鞏固。通過核心內容的聚焦，幫助學生理解算理。

2.重視教學活動的設計

在設計教學活動時，本期雜志共有4篇文章講到了學材的設計、1篇文章關注到了資源的利用、1篇文章特別強調了以練促評的重要性。

（1）借助學材，增強探究

在《計算器助力——20 以內退位減法（一）的整合教學》一文中，卞航萍老師利用計數(shù)器促進學生對于十幾減九算理的理解。通過對比小棒、計數(shù)器，發(fā)現(xiàn)計數(shù)器在實物與抽象中做到和諧統(tǒng)一。借助計數(shù)器，學生對算理的理解非常順利，甚至對第二個層次的方法（10-9=1，1+5=6）掌握得更好。有效運用計算器這一學具，能重點突破學生對于算理的理解。

此外，通過多種學具也可以實現(xiàn)算理的互通。如：《運中有智慧 算中有妙法——小學生運算能力培養(yǎng)的思考》一文中，作者借助現(xiàn)實模型、平面圖形引導學生進行算理的探究、理解。在《猜想—驗證，有助于培養(yǎng)學生的高階思維》《直面核心知識關注理法相融——小學數(shù)學運算能力培養(yǎng)例談》中，作者提出可利用直觀學具、幾何模型等學材。

我們發(fā)現(xiàn)，教師在幫助學生理解算理時，需要根據(jù)內容的不同選擇合適的材料。

（2）善用資源，提升思維

在《讓學生經(jīng)歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)之旅——記一堂“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的練習課》一文中，沈秋紅老師將一節(jié)練習課與“面積”單元的內容進行整合。從立足學生立場、巧用生成資源、善用再生資源、數(shù)形有效結合四方面，體現(xiàn)數(shù)學練習課的層次性、綜合性、拓展性，以激發(fā)學生探究的積極性，發(fā)展高階思維。這節(jié)課最吸引人的地方是其層層遞進的練習設計，這是一篇有實踐、有思考的好文章。

（3）以練促評，內化知識

好的練習設計不僅能促進學生對于算理的理解，更能以整體的視角建構知識。在理解了“退一作十”后，卞航萍老師設計了這樣三個層次的練習。層次一：1□-9；層次二：1□-8；層次三：1□-□，通過三個層次的練習，引導學生在計算過程中進一步體會到：只要出現(xiàn)個位不夠減時，就可以用十位上的1 當十來減，這個方法叫“退一作十”，這種計算叫“退位減法”。這組對于退位減法的理解的練習，基于具體的例子，又高于具體的例子，使學生對知識的學習達到系統(tǒng)化、結構化，最終提升學生的思維品質。

3.重視思維習慣的養(yǎng)成

在《運中有智慧 算中有妙法——小學生運算能力培養(yǎng)的思考》一文中，作者強調了重視思維習慣養(yǎng)成的重要性。在文中，作者提出了三問：能簡算嗎？——喚醒“簡算意識”；有根據(jù)嗎？——發(fā)展“依據(jù)意識”；算得對、算得巧嗎？——深化“反思意識”。其實，如果從運算的三個階段來看，這也就是指學生要養(yǎng)成這樣的習慣：運算前，分析條件、抓住特征；運算時，有理有據(jù)、條理清晰；運算后，反思程序、優(yōu)化提升?；蛟S有了這些習慣的養(yǎng)成，學生能真正從會正確運算慢慢走向方法合理，實現(xiàn)從“能”到“巧”的蛻變。

二、從“想了沒有”到“怎么想”——空間想象能力

空間想象能力指的是在頭腦中（心理上）對幾何體的形狀、結構、特征以及位置關系，有意識地進行加工改造乃至全新創(chuàng)造的過程，是一種高級的思維活動，是空間觀念發(fā)展的重要指標之一。對于空間想象能力的培養(yǎng)不能僅停留在學生“想了沒有”，更應關注學生“怎么想”的過程。這一期文章中對于空間想象能力的培養(yǎng)策略各不相同，但是總體來說以下三點非常突出。

（一）虛實結合——在“畫”中“想”

在《“承前啟后”求突破“虛實結合”促發(fā)展——“三角形的認識”一課的教學實踐與思考》一文中，陳凡和金錫根老師提出：認識一個圖形，始于觀察和操作，即為“實”；更需空間想象，即為“虛”。觀察、操作是空間想象的基礎，空間想象是觀察、操作的高層次能力要求。在教學這一課時，作者安排了四次“畫”。第一次“畫”是獨立畫三角形，抽象其共同特點；第二次“畫”是過一個頂點畫對邊的垂線段，明確垂線段就是高后，引導學生閉上眼睛想象剛才畫高的過程；第三次“畫”是畫三角形指定底邊上的高，畫后引導學生思考高在哪里，反思畫的過程；第四次“畫”是在某一頂點水平左右移動時，讓學生想象頂點還會在哪，然后將這些三角形以及底邊上的高畫出來。因此，教學中可以嘗試通過先“想”后“畫”，邊“想”邊“畫”，“畫”后再“想”這樣的教學策略，讓“想”貫穿于“畫”的全過程。

（二）動態(tài)驗證——在“變”中“想”

在《“承前啟后”求突破“虛實結合”促發(fā)展——“三角形的認識”一課的教學實踐與思考》一文中，作者兩次借幾何畫板讓三角形動起來，學生在思考、想象、辨析等活動中對三角形高的概念有了更清晰的認識，同時發(fā)展了空間觀念。在《觀察、操作、想象：讓空間觀念發(fā)展清晰可見——“‘圖形的運動’練習課”教學實踐與評析》一文中，郭建平老師在笑臉拼圖被打亂后，讓學生先討論還原過程，再用課件動態(tài)演示進行驗證，接著，任意打亂拼圖后憑想象還原。在交流別人的方法時，教師在學生想象后，適時跟進演示，逐步幫助學生擺脫實物操作，提升想象能力。可見，動態(tài)演示并不是為了替代學生想象，而是有機結合課件，還原學生頭腦中的畫面，并且在學生想不到的地方將動態(tài)延續(xù)。

（三）語言描述——在“說”中“想”

《觀察、操作、想象：讓空間觀念發(fā)展清晰可見——“‘圖形的運動’練習課”教學實踐與評析》一文還特別強調了用語言規(guī)范地描述圖形運動的重要性。在情境中，學生觀察后回答“1 號圖形要回到原來的位置可以向右平移兩格”，教師強調了平移的兩個要素：方向和距離。在操作時，學生回答“2號圖形要回到原來的位置可以怎么運動”，教師引導學生描述旋轉時要講清楚旋轉中心、方向和角度。在深化探究環(huán)節(jié)，學生在實現(xiàn)還原后及時記錄方法，匯報時用語言清晰地描述還原的過程。語言是思維的外顯，完整、規(guī)范地用語言描述圖形的運動是將頭腦中空間想象的過程再現(xiàn)，是對空間想象能力的更高要求。

可見，觀察是為了更好地操作，而操作是為了更好地想象。只有感知到位才能留下表象，只有表象清晰才能印象深刻。我們需要向上述作者學習，不斷開發(fā)有效的數(shù)學活動。通過觀察、操作等讓“想”有“跡”可循，通過推理、想象等讓“象”更加明晰。

三、從“知其然”到“知其所以然”——推理能力

推理是數(shù)學的基本思維方式，是獲得數(shù)學知識的最基本手段。推理一般包括合情推理和演繹推理。本期中關于推理能力的文章有2篇，它們又有什么共通之處呢？

在《不止于“實驗與猜想”，也需要“邏輯與證明”——例談數(shù)學推理能力培養(yǎng)的幾種方法》一文中，金秀葉老師提出：在教學中既需要通過實驗與猜想等方式重視合情推理能力的培養(yǎng)，也需要通過邏輯與證明等方式讓學生學會演繹推理。如此，不僅解決推理“是什么”的問題，更讓學生走向對“為什么”的理解，進而學會靈活運用，讓學習從淺表走向深刻。

對比內容。作者分析了人教版、北師大版、蘇教版等教材，發(fā)現(xiàn)對于“比例的基本性質”一課整個教學過程只有不完全歸納法。在教學中，一般都是經(jīng)歷“舉例—猜想—驗證”這樣的過程，僅此而已?；诖?，作者分別從學生視角和教師視角提出了三點不足。①止于不完全歸納，未能深挖本質；②止于零散的學習，未能實現(xiàn)整合；③止于單一的路徑，未能呈現(xiàn)多樣。如果只有不完全歸納，其實就停留在“知其然”;只有討論“為什么”，找出必然聯(lián)系，那才是“知其所以然”。

尋求突破。作者根據(jù)這三點不足重構“比例的基本性質”一課，突出推理的過程。經(jīng)歷這樣的推理學習的體驗，不僅還原了數(shù)學本質，更重要的是感受了推理的價值。作者又通過四種方法提升學生邏輯與證明的能力。①強化說理，學習邏輯化；②豐富路徑，形式多樣化；③質疑突破，探究層次化；④聯(lián)系整合，促進結構化。由此，不僅讓學生知道“是什么”，更要明了“為什么”，從而學會“前聯(lián)后延”，真正培養(yǎng)學生的推理能力。

夏小林、朱新強老師在《推理能力培養(yǎng)三部曲——以“多邊形內角和”教學為例》一文中，以“多邊形的內角和”為載體，助力學生推理能力的培養(yǎng)。文章從以下幾個方面展開：把握本質，讓知識成為思維的載體；形成猜想，讓學生站在推理的起點；經(jīng)歷過程，讓學生體悟推理的方法。以實例測量形成猜想，用合情推理驗證“三角形的內角和是180°”，進而運用演繹推理證明四邊形、五邊形內角和。合情推理、演繹推理兩種推理方式互為補充，使學生不僅“知其然”，而且“知其所以然”，切實提升推理能力。

通過閱讀，我們明白這兩篇文章都在強調“為什么”的重要性，以及“是什么”與“為什么”之間緊密的聯(lián)系。

學科關鍵能力的培養(yǎng)，需要我們不僅要有意識，更要有探索。而這些生動的例子恰恰給我們的探究指明了新的方向，也給我們的思考提供了新的角度。