夏瑞

摘 要：數(shù)據(jù)分析模塊教學(xué)中主要遇到兩處難點(diǎn)：一是準(zhǔn)確選擇描述集中趨勢或離散趨勢的統(tǒng)計(jì)量;二是隨機(jī)觀念的培養(yǎng)和概率意義的理解?！敖y(tǒng)計(jì)與概率”模塊的教學(xué)資源開發(fā)不夠，缺乏成熟好用的教學(xué)資源，涉及統(tǒng)計(jì)量意義的理解時(shí)概念體系坍塌。傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)中側(cè)重強(qiáng)調(diào)概念，大多知識通過直白敘述而缺乏基本活動經(jīng)驗(yàn)。文章主要談?wù)勛髡咴跀?shù)據(jù)分析教學(xué)過程中的幾點(diǎn)思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)分析觀念;概念名詞解釋;隨機(jī)觀念;概率意義

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2095-624X（2020）11-0002-02

一、問題提出

作為一線教師，在“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊教學(xué)中，若要發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，還存在以下制約因素。第一，“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊的教學(xué)資源開發(fā)不夠，缺乏成熟好用的教學(xué)資源，涉及統(tǒng)計(jì)量意義的理解時(shí)概念體系坍塌。第二，傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)中側(cè)重強(qiáng)調(diào)概念，大多知識通過直白敘述而缺乏基本活動經(jīng)驗(yàn)。例如，2018年1月廈門九年級數(shù)學(xué)質(zhì)檢卷第21題學(xué)生意識到要用樣本估計(jì)總體，但是估計(jì)的方法有誤。對“平均數(shù)”“中位數(shù)”“眾數(shù)”“方差”等統(tǒng)計(jì)量的意義和“頻率估計(jì)概率”的意義掌握不深刻，做題時(shí)不知選擇哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量。在做2018年5月廈門九年級數(shù)學(xué)質(zhì)檢第21題時(shí)，學(xué)生知道要計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，但是理不清哪一行是“數(shù)據(jù)”，哪一行是該數(shù)據(jù)的“權(quán)重”，容易將“數(shù)據(jù)”與“權(quán)重”混淆。

二、教學(xué)思考

本研究者節(jié)選“加權(quán)平均數(shù)”“列舉法求概率”“用頻率估計(jì)概率”等重點(diǎn)內(nèi)容，著重分析了學(xué)生在學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”時(shí)的學(xué)習(xí)行為和學(xué)習(xí)成效。筆者通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對“權(quán)”“結(jié)果”“頻率”等概念的理解混淆導(dǎo)致了后續(xù)學(xué)習(xí)障礙和綜合運(yùn)用掣肘。筆者緊扣“權(quán)”“結(jié)果”“頻率”等核心概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，輔以數(shù)學(xué)游戲（數(shù)學(xué)試驗(yàn)），提高學(xué)生對這些核心概念的體驗(yàn)，提出如下建議。

1.注意數(shù)學(xué)名詞解釋，示范辨析變式概括

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是需要“咬文嚼字”的，對數(shù)學(xué)名詞的準(zhǔn)確理解是學(xué)習(xí)知識的必要前提。“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊中“加權(quán)平均數(shù)”“中位數(shù)”“眾數(shù)”“方差”“結(jié)果”“頻率”等名詞的解釋是發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的關(guān)鍵。結(jié)合課本例題所給的背景，或?qū)Ρ缺嫖?，或游戲體驗(yàn)，以達(dá)成對概念的理解，將生活的體驗(yàn)?zāi)苡酶怕式y(tǒng)計(jì)的語言和書寫方式輸出。

例如，在“加權(quán)平均數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們可以比較細(xì)致地列舉“權(quán)”的形式，“權(quán)”可以是題目直接賦予的整數(shù)、百分?jǐn)?shù)、數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，更是直接明了地指出在“數(shù)據(jù)”和“權(quán)”樣式容易混淆時(shí)，跟題目要求（或給定）的“平均數(shù)”的單位一致的是“數(shù)據(jù)”，不一致的就是其相應(yīng)的“權(quán)”。這樣學(xué)生只需要根據(jù)問題特征判斷這是一道求加權(quán)平均數(shù)的題，而這個(gè)問題，根據(jù)“平均”這個(gè)關(guān)鍵詞就可以肯定。這也是物理學(xué)科常用的單位法。

例如，在“隨機(jī)事件與概率”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生對隨機(jī)事件的“結(jié)果”的準(zhǔn)確理解十分重要。什么是概率的“結(jié)果”：有限個(gè)、等可能。反過來講，如果不滿足上面兩個(gè)條件則不可作為隨機(jī)事件的“結(jié)果”。例如，一個(gè)袋中裝有三個(gè)黃球兩個(gè)白球，除顏色外無差別。從袋中取出一個(gè)球，如果學(xué)生列舉所有可能的結(jié)果：黃，白。那么學(xué)生思維里是根據(jù)顏色不同來劃分的，但很顯然，黃色和白色不是等可能的被取到的，所以不能直接作為結(jié)果并列列舉。實(shí)際上五個(gè)球每個(gè)球都有可能被摸到，它們被摸到的可能性是相等的。列舉所有可能的結(jié)果應(yīng)該是黃1，黃2，黃3，白1，白2。

例如，在“用頻率估計(jì)概率”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，“頻率”是什么？是小數(shù)還是分?jǐn)?shù)/百分?jǐn)?shù)？這些問題并不是所有學(xué)生都能理解。試驗(yàn)一和試驗(yàn)二在講解時(shí)應(yīng)停頓，讓學(xué)生理解頻率如何計(jì)算，作為結(jié)果它可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。但是為了跟概率進(jìn)行比較，需要將其化為小數(shù)才能看清趨勢。

2.重視隨機(jī)觀念的培養(yǎng)，加強(qiáng)概率意義的理解

深挖教材，注重知識的前后聯(lián)系。例如對“結(jié)果”的兩個(gè)限制①有限個(gè)，②等可能，緊扣這兩個(gè)條件，發(fā)現(xiàn)很多我們生活中的“結(jié)果”是一種感性認(rèn)知，不同于數(shù)學(xué)意義上的“結(jié)果”是一種理性分析。

例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，朝上一面的所有結(jié)果：“正面向上”或“反面向上”。對于一步完成的簡單隨機(jī)事件，我們可以直接鋪陳列舉所有結(jié)果，通過小試驗(yàn)就能驗(yàn)證，思想試驗(yàn)與真實(shí)試驗(yàn)同步。

拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，直接想象結(jié)果（正正、一正一反、反反）難以保證“等可能”，這點(diǎn)可以通過試驗(yàn)驗(yàn)證不是等可能出現(xiàn)的。于是，我們先進(jìn)行思想試驗(yàn)解決該問題，分為“兩步”，先扔一枚硬幣再扔一枚硬幣，與同時(shí)扔兩枚硬幣的結(jié)果是一致的。通過列表格，第一步所有等可能的“結(jié)果”并列列舉在橫行，第二步所有等可能的“結(jié)果”并列列舉在豎行。同理畫樹狀圖，第一步所有等可能的“結(jié)果”并列列舉在第一層，第二步所有等可能的“結(jié)果”并列列舉在第二層。直至多步問題的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們都是一以貫之地強(qiáng)化了“結(jié)果”的“等可能性”。這種一以貫之的教學(xué)設(shè)計(jì)有助于學(xué)生抓住核心知識，融會貫通，有利于教師進(jìn)行整體教學(xué)。

3.鼓勵(lì)學(xué)生參與試驗(yàn)，緊密聯(lián)系生活實(shí)際

在第25章“概率初步”的教學(xué)設(shè)計(jì)案例中，都可以將平時(shí)教學(xué)時(shí)容易忽略的試驗(yàn)“用”起來。借助撲克牌、硬幣、計(jì)算機(jī)模擬軟件等師生常見的道具，遵循“精簡實(shí)用”原則，進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)M，讓學(xué)生充分參與活動，增加基本活動經(jīng)驗(yàn)，形成深刻體驗(yàn)。

例如，在對“用頻率估計(jì)概率”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以問題為線索組織學(xué)習(xí)活動。

主線1：（少量試驗(yàn)時(shí)）頻率與概率差別很大，看不出關(guān)聯(lián);

主線2：（大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)）頻率趨于穩(wěn)定;

主線3：（大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)）頻率的穩(wěn)定值就是理論概率，數(shù)學(xué)家已經(jīng)通過嚴(yán)密的邏輯推理證明了這一點(diǎn)。

只有躬身入局，才能體驗(yàn)深刻。作為初學(xué)者，學(xué)生經(jīng)?？吹侥切┛此茻o解的局面，但是往往忘了，如果把自己放進(jìn)去，置身其中，也許對局面就會有所了解。每一個(gè)初學(xué)者都曾經(jīng)站在數(shù)學(xué)學(xué)科面前，抄著手只顧表態(tài)，這不僅無濟(jì)于事，甚至這種姿態(tài)本身就影響學(xué)生更好地觀察和感知數(shù)學(xué)知識。應(yīng)該讓學(xué)生都成為躬身入局者，成為一個(gè)用真實(shí)體感和數(shù)學(xué)融為一體的人。

4.核心思想兩種“估計(jì)”，發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率是“統(tǒng)計(jì)與概率”模塊的兩大核心思想。

用樣本估計(jì)總體。具體說是用樣本的特征值——平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，頻率，概率（大量重復(fù)試驗(yàn)），分布等，來估計(jì)總體相應(yīng)的特征值——平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，頻率，概率（大量重復(fù)試驗(yàn)），分布。樣本容量越大，估計(jì)就越精確。

用頻率估計(jì)概率。在拋擲硬幣50次，次數(shù)累加500次時(shí)，得到的“頻率”有可能很接近“理論概率”，但這是因?yàn)樵囼?yàn)的結(jié)果也具有偶然性。很可能這500次的頻率趨于穩(wěn)定，換一個(gè)班級做另外的500次試驗(yàn)，頻率不一定趨于穩(wěn)定，所以我們的500次試驗(yàn)結(jié)果也具有偶然性。因此，數(shù)學(xué)歷史上要由不同的數(shù)學(xué)在不同的時(shí)候做成千上萬次試驗(yàn)，而最終需要再通過嚴(yán)密理論進(jìn)行證明：在大量重復(fù)試驗(yàn)下，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于理論概率（事實(shí)上數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明）。反之，我們可以抽取樣本進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，先得到隨機(jī)事件的概率，再反過來進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

三、反思與展望

盡管試驗(yàn)體驗(yàn)式學(xué)習(xí)具備諸多價(jià)值，通過數(shù)學(xué)游戲來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，讓學(xué)習(xí)的過程變得不再枯燥無味。但是，把游戲融入教育視域中，有一個(gè)不可回避的事實(shí)是：游戲激發(fā)的到底是游戲動機(jī)還是學(xué)習(xí)動機(jī)，激發(fā)的動機(jī)是否可以遷移到其他學(xué)習(xí)活動中？如果學(xué)生只喜歡做游戲而沒有領(lǐng)悟數(shù)學(xué)游戲（試驗(yàn)）的意義和內(nèi)涵，那么這么上課是不可取的。我們必須警醒地意識到，試驗(yàn)與教學(xué)的融合必須是教育式的，而不是簡單地把教學(xué)的內(nèi)容披上試驗(yàn)的外殼，背后要輸入的是試驗(yàn)的思想。

我們還可以更深入地做一些基礎(chǔ)研究。運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)手段（模擬實(shí)驗(yàn)、微視頻等），選擇典型的、具有時(shí)代氣息的現(xiàn)實(shí)問題作為例子進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)處理的方法，理解統(tǒng)計(jì)的概念和原理。通過梳理數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的內(nèi)涵以及初中統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)內(nèi)容的課程要求和相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學(xué)發(fā)展史，提高研究者自身的學(xué)科素養(yǎng)。同時(shí)，研究成果可供一線教師直接使用，共享資源，減少教學(xué)損耗，幫助學(xué)生深刻理解一些基本統(tǒng)計(jì)量和概率模型的算理，開發(fā)有價(jià)值的案例，促進(jìn)教學(xué)長效發(fā)展。

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課題項(xiàng)目：廈門市思明區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年立項(xiàng)微型課題“發(fā)展初中生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐研究”研究成果（Z2018W0104）。

作者簡介：夏 瑞（1985—），女，一級教師，碩士，研究方向：基礎(chǔ)教育、初中數(shù)學(xué)教學(xué)。