成靜

摘 要：格點(diǎn)問題是中考中常見的題型，其中以方格為背景的幾何作圖、證明與計(jì)算對學(xué)生更具挑戰(zhàn)性。這類題主要考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。研究格點(diǎn)問題，提煉思想方法，對平常教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)具有積極意義。

關(guān)鍵詞：格點(diǎn)問題;推理作圖;核心素養(yǎng)

一、格點(diǎn)問題中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)

類型一：以方格為背景的幾何作圖

例1.原題呈現(xiàn)（湖北武漢2019中考試題第20題）

如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).四邊形ABCD的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，點(diǎn)E是邊DC與網(wǎng)格線的交點(diǎn).請選擇適當(dāng)?shù)母顸c(diǎn)，用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖，保留連線的痕跡，不要求說明理由。

（1）如圖1，過點(diǎn)A畫線段AF，使AF∥DC，且AF=DC;

（2）如圖1，在邊AB上畫一點(diǎn)G，使∠AGD=∠BGC;

（3）如圖2，過點(diǎn)E畫線段EM，使EM∥AB，且EM=AB.

試題解析：

本題的第一小問和第三小問均可利用構(gòu)造平行四邊形得到結(jié)果，而難點(diǎn)在于第二小問，在邊AB上尋找一個(gè)點(diǎn)G，使∠AGD=∠BGC。如何由方格問題轉(zhuǎn)化成角相等的問題，這是學(xué)生思維轉(zhuǎn)換的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，那么學(xué)生可能會(huì)先猜想點(diǎn)G為AB邊上的兩個(gè)格點(diǎn)，由兩角的銳角三角函數(shù)值得出角度關(guān)系，或者利用構(gòu)造兩角所在的三角形相似或全等來判斷，可以很容易發(fā)現(xiàn)AB邊上的兩個(gè)格點(diǎn)均不能滿足條件，那么點(diǎn)G將不在格點(diǎn)上，必須尋找另外的思路。解決此題有以下兩種方法。

方法一：利用對頂角相等及等腰三角形的性質(zhì)來解決，先大致想象一個(gè)點(diǎn)G的位置，延長DG構(gòu)造∠BGM，則∠BGM=∠AGD（對頂角相等），要使∠AGD=∠BGC，則需M∠BGM=∠BGC，結(jié)合AB⊥BC，這就出現(xiàn)了等腰三角形三線合一的基本圖形，于是利用等腰三角形的性質(zhì)即可找到格點(diǎn)M，連接DM交AB于點(diǎn)G（如圖3）。

方法二：此題可以轉(zhuǎn)化成尋求∠ADG=∠BCG，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，再結(jié)合等腰三角形三線合一的基本性質(zhì)得以解決。

無論是哪一種方法，首先需要學(xué)生通過直觀識(shí)圖進(jìn)行猜想，再通過邏輯推理驗(yàn)證，從而發(fā)現(xiàn)AB邊上的格點(diǎn)不符合條件，再充分結(jié)合方格中的平行、垂直建立等腰三角形三線合一的基本圖形來解決問題，其中也出現(xiàn)M型的相似圖形，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

類型二：以方格為背景的證明與計(jì)算

例2.原題呈現(xiàn)（2019年廣東省中考題第22題）

在如圖4所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，以點(diǎn)A為圓心的與BC相切于點(diǎn)D，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.

（1）求△ABC三邊的長;

（2）求圖中由線段EB、BC、CF及所圍成的陰影部分的面積.

試題解析：

本題第一小問難度不大，學(xué)生均可通過勾股定理來計(jì)算△ABC三邊的長，第二小問用割補(bǔ)法求解陰影部分面積的方法也是常見的一種方法，但如何求△ABC的面積及扇形AEF的面積是本小題的易錯(cuò)點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)一：未辨別△ABC的形狀，即直接將AB和AC的長度當(dāng)作底和高來求解;易錯(cuò)點(diǎn)二：在求扇形的半徑時(shí)，連接AD，把點(diǎn)D默認(rèn)為方格中的一個(gè)格點(diǎn)，用勾股定理進(jìn)行求解。部分學(xué)生算出的答案雖然是正確的，但缺少了幾何證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，這就反映了一個(gè)學(xué)生是否具備邏輯推理的核心素養(yǎng)。而邏輯推理是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的核心，也是教師培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的重要途徑。

二、格點(diǎn)問題對課堂教學(xué)的啟示

1.課堂教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，創(chuàng)新學(xué)習(xí)

格點(diǎn)問題的解決要求學(xué)生能從一個(gè)實(shí)際背景中，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合基本經(jīng)驗(yàn)去建立基本圖形，并能運(yùn)用嚴(yán)密的邏輯推理來表述數(shù)學(xué)特征，得出數(shù)學(xué)結(jié)論。對格點(diǎn)問題的分析使我們明確，在課堂教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的基本核心素養(yǎng)，必須注重知識(shí)的形成過程，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與數(shù)學(xué)建模三大核心素養(yǎng)的類似之處便是從一個(gè)實(shí)際的情景或者圖形中用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)—形成—猜想—論證，從而結(jié)合“特殊與一般”思想、“數(shù)形結(jié)合”思想來促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，而這一過程正是我們課堂教學(xué)中的必備過程。

2.關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂，老師成了學(xué)生學(xué)習(xí)的輔助，不再是學(xué)生學(xué)習(xí)的主體。地位的改變使學(xué)生對學(xué)習(xí)更加感興趣，我把動(dòng)手實(shí)踐、自主探究與合作交流作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，讓學(xué)生在合作交流、與人分享和獨(dú)立思考的氛圍中傾聽、質(zhì)疑、發(fā)展、提高，使學(xué)生有充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間[1]。

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立起來的認(rèn)識(shí)、理解和處理周圍事物時(shí)所具備的品質(zhì)，通常是在人們與周圍環(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)所表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略[2]。

參考文獻(xiàn)：

[1]李良川.如何在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].教師，2019（21）.

[2]張健.“核心素養(yǎng)”如何在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中落地生根[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（25）.

編輯 常超波