摘 要：“發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)”已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的中心任務(wù)，教師要從學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展角度出發(fā)，切實優(yōu)化教學(xué)環(huán)境，促使學(xué)生實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。直觀想象素養(yǎng)關(guān)系著高中生空間觀念的形成，本文將從動手操作積累直觀想象經(jīng)驗、借助實物拓展直觀想象空間、數(shù)形結(jié)合提煉直觀想象內(nèi)涵、綜合應(yīng)用發(fā)展直觀想象能力這四個維度來分析課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實踐與認(rèn)識。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);直觀想象;實踐與認(rèn)識

直觀想象素養(yǎng)是指通過圖形與幾何知識去探究事物之間的空間形式，積極遷移空間與幾何知識來分析空間形態(tài)與運動規(guī)律的一個數(shù)學(xué)素養(yǎng)，比如學(xué)生利用空間觀念去確定事物位置、以圖形運動去描述現(xiàn)實問題、以數(shù)形結(jié)合思想去解決問題等多種思維表現(xiàn)。直觀想象水平是衡量高中生理解數(shù)學(xué)的難易程度及數(shù)學(xué)探究能力高低的重要指標(biāo)。因此，課堂教學(xué)中要尋求發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的切實有效的途徑與策略。

一、 動手操作積累直觀想象經(jīng)驗

高中數(shù)學(xué)教學(xué)一直都是以教師講授數(shù)學(xué)知識為基本形式的，這種教學(xué)行為有效地增加了課時容量，可以提高學(xué)生的應(yīng)試成績，但卻難以提高學(xué)生的獨立思考能力。培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，首先便是要積累直觀想象經(jīng)驗，切實把握常見的空間形式與結(jié)構(gòu)變化規(guī)律。因此要鼓勵學(xué)生動手操作，如繪制幾何圖形、利用幾何畫板觀察圖形變化，制作幾何模型等。

【例1】 已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖均是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為_____。

分析：首先要根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，大部分學(xué)生都有畏難心理。解決三視圖問題，尤其是一些比較復(fù)雜的三視圖還原問題，需要極強的空間想象能力。我們可以用一個正方體作為載體對三視圖進(jìn)行還原。

如圖1，畫出正視圖的三個頂點的原象所在的線段，用粗線表示，即正視圖的三個頂點必定由圖中粗線上的點投影生成;如圖2，側(cè)視圖中的三個頂點必定由圖中粗線上的點投影生成;如圖3，俯視圖中的四個頂點必定由圖中粗線上的點投影生成。三個圖中三條粗線的交點即為原幾何體的頂點，如圖4。

教師用幾何畫板進(jìn)行示范，然后讓學(xué)生動手操作。通過動手操作，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引起學(xué)生內(nèi)心成功解決問題的渴望。在生生互動、師生互動中引導(dǎo)學(xué)生在“互辯”中尋求最佳方案，使學(xué)生的探究意識在不斷循環(huán)和矛盾中得到強化。通過練習(xí)反思，學(xué)生能夠掌握還原幾何體的基本思路和方法，積累直觀感知的經(jīng)驗。

二、 借助實物拓展直觀想象空間

高中數(shù)學(xué)教學(xué)以教材知識為中心，教師很少會利用生活資源來解釋數(shù)學(xué)知識，學(xué)生也不會主動利用數(shù)學(xué)所學(xué)去解釋生活現(xiàn)象、探索生活問題。憑空想象可能會引起學(xué)生的相異構(gòu)思，如果借助生活實物來展示事物的空間形狀與結(jié)構(gòu)特點，讓學(xué)生少走彎路，會起到事半功倍的作用。

【例2】 中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件左邊的小長方體是榫頭。若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）

分析：心理學(xué)研究表明人的抽象思維經(jīng)“具體→形象→抽象”這三個過程，若實際經(jīng)驗太少，或識圖水平較低，就難以理解三視圖的幾何意義，更難以通過三視圖還原直觀圖。借助如圖所示的實物，觀察實物的幾何結(jié)構(gòu)和空間位置，學(xué)生通過探究、比較、反思、感受榫卯將木構(gòu)件連接起的中華傳統(tǒng)偉大工藝，拓展了學(xué)生直觀想象的空間。

三、 數(shù)形結(jié)合提煉直觀想象內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)需要數(shù)形結(jié)合思想?yún)⑴c問題解決。

【例3】 如圖，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥平面ABCD。在線段AB上是否存在一點E，使平面PDE⊥平面PAC，如果存在，說明點E的位置;如果不存在，說明理由。

分析：在線段AB上存在點E，使平面PDE⊥平面PAC。因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DE。當(dāng)DE⊥AC時，有DE⊥平面PAC。又DE平面PDE，所以平面PDE⊥平面PAC。

要確定點E的位置，對于平面幾何知識比較薄弱的學(xué)生就束手無策了。教師要引導(dǎo)學(xué)生采用建系的方法解決問題。以C為原點，CD，CB，CP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A（2，1，0），B（0，3，0），D（2，0，0）。設(shè)E（x，y，0），AE=λAB，則（x-2，y-1，0）=λ（-2，2，0），故E（2-2λ，1+2λ，0），DE=（-2λ，1+2λ，0），CA=（2，1，0）。由DE⊥CA，所以DE·CA=0，即-4λ+1+2λ=0，λ=12，故E（1，2，0），因此E為AB的中點。

建系解決立體幾何問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用，把較難感知的幾何直觀問題轉(zhuǎn)化為較容易操作的代數(shù)運算問題也是直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵表征。

四、 綜合應(yīng)用發(fā)展直觀想象能力

圖形演示可以將抽象、枯燥的文字轉(zhuǎn)化成圖形，給學(xué)生帶來直觀的視覺感受，由此簡化數(shù)學(xué)問題的抽象度，便于學(xué)生進(jìn)一步展開數(shù)學(xué)探究。因此，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生用圖、識圖的能力，豐富學(xué)生的讀圖經(jīng)驗，促使學(xué)生養(yǎng)成良好的空間想象能力，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。當(dāng)然也有一部分學(xué)生不善于直觀想象而無法展開幾何推理，所以會采用代數(shù)方法去分析解決數(shù)學(xué)問題，這也是直觀想象素養(yǎng)的逆向表現(xiàn)。

【例4】 銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S。若sin（A+C）=2Sb2-c2，則角C的取值范圍是 。

錯解：由sin（A+C）=2Sb2-c2，得sinB=acsinBb2-c2，

即b2-c2=ac。cosC=a2+b2-c22ab=a+c2b>b2b=12，∴0

學(xué)生錯解的原因是忽略了銳角三角形這一條件。事實上若能把握b2-c2=ac即b2=c（c+a）的幾何意義，則問題將變得非常簡單。如圖所示：延長AB到D使BD=a，連接CD，易得△ACB相似于△ADC，故∠D=∠ACB，所以∠ABC=2∠D=2∠ACB。因此B=2C，A=π-3C。由0<2C<π2，0<π-3C<π2，得π6

正解：因為△ABC為銳角三角形，所以b2+c2>a2，b2+a2>c2，a2+c2>b2。由上可知b2-c2=ac，代入三個不等式得c

若能把一個復(fù)雜的抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、具體化，變抽象為形象，直觀想象把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，解法將會簡捷優(yōu)美。

五、 結(jié)語

1. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。利用直觀想象解決平面幾何問題和空間幾何問題只是直觀想象素養(yǎng)的淺層表征，經(jīng)過實物展示和動手操作訓(xùn)練，能夠提升學(xué)生的直觀感知和識圖技能，提高學(xué)生的直觀想象能力。事實上，直觀想象更注重的是建立數(shù)學(xué)中的代數(shù)與幾何的聯(lián)系，幾何問題可以通過建立直角坐標(biāo)系或通過向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，代數(shù)問題也可以建立模型回歸為幾何問題，這是直觀想象素養(yǎng)的核心含義，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要課題。

2. 幾何直觀是數(shù)學(xué)語言的一種翻譯，是個性化的特殊數(shù)學(xué)語言，把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為幾何直觀是學(xué)生自主建構(gòu)的過程。在這個建構(gòu)過程中，由于學(xué)生學(xué)習(xí)風(fēng)格的多樣性以及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累的程度不同，可能導(dǎo)致學(xué)生幾何直觀想象上的偏差。例5：數(shù)列{an}的通項公式為an=n2-kn，若{an}為遞增數(shù)列，求k的取值范圍。很多學(xué)生的答案是：k2≤1即k≤2。究其原因，學(xué)生把數(shù)列看成一般的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出答案。學(xué)生在思考時遺漏了k2>1且2-k2>k2-1，即2

3. 直觀想象與合情推理一樣，是數(shù)學(xué)問題的提出、尋找數(shù)學(xué)問題解決的有效方法。直觀想象不是萬能的，不能代替文字?jǐn)⑹?，也不能代替邏輯推理。如?用定義解題如下：因為{an}為遞增數(shù)列，所以an+1>an，即（n+1）2-k（n+1）>n2-kn，也就是k<2n+1對任意的正整數(shù)恒成立，故k<3，邏輯推理的威力可見一斑。直觀想象、數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，但在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)盡可能地通過多元化的教學(xué)方式和手段引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)可以切實展現(xiàn)學(xué)生利用幾何與空間知識解決現(xiàn)實問題的思維能力。因此，高中數(shù)學(xué)教師要以豐富的動手操作、實物探索、數(shù)形結(jié)合、讀圖識圖等活動發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，將直觀想象與邏輯推理結(jié)合起來，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。

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作者簡介：

劉榮坤，福建省福安市，福建省福安市第一中學(xué)。