方萬(wàn)里

【摘要】對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，如果從幾何或者物理角度去解釋?zhuān)瑢?duì)初學(xué)者特別是一般高校的文科生存在理解和接受上的困難，通過(guò)引入相對(duì)概率這一概念，概率密度就如離散型隨機(jī)變量的分布律那樣容易理解和接受.

【關(guān)鍵詞】分布律;概率密度;相對(duì)概率

在大學(xué)開(kāi)設(shè)的高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這幾門(mén)數(shù)學(xué)課程中，概率論對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最難的.百度貼吧有個(gè)帖子做了個(gè)提問(wèn)式調(diào)查，問(wèn)這三門(mén)課程哪門(mén)最難，在明確給出答案的56個(gè)回帖中，有34個(gè)選擇了概率論，占比60.7%，可見(jiàn)概率論在學(xué)生的心目中的地位.概率論之所以難，其中一個(gè)原因就是學(xué)生對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)以及常見(jiàn)特殊連續(xù)型變量復(fù)雜概率密度函數(shù)的理解和記憶存在困難，比如，服從正態(tài)分布、T分布、x2分布和F分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).

在教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的講解，往往從幾何或者物理角度去解釋?zhuān)瑢?duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)還是較為抽象，存在理解和接受上的困難.此時(shí)可以借助于他們對(duì)高數(shù)基本知識(shí)以及離散型隨機(jī)變量及其特性的理解和掌握，通過(guò)引入相對(duì)概率這一概念展開(kāi)敘述，概率密度函數(shù)就如離散型隨機(jī)變量的分布律那樣容易理解和接受.

一、連續(xù)型與離散型隨機(jī)變量定義

設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值只有有限個(gè)或者可列無(wú)限多個(gè)，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量，假設(shè)X可能的取值為x1，x2，…，且取xk的概率為p（X=xk）=pk，k=1，2，…，稱(chēng)之為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律，其分布函數(shù)為：

對(duì)隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈（-∞，+∞），都有：則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x）為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)密度函數(shù)或概率密度.

在以上兩個(gè)定義中，離散型隨機(jī)變量的概念及其分布律較為容易理解，而連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及概率密度理解起來(lái)卻較為困難.通過(guò)“燈泡的壽命”等例子的講解，可以使初學(xué)者對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量有一個(gè)比較直觀的認(rèn)識(shí)，而對(duì)其概率密度的講解，往往從幾何或物理角度進(jìn)行.

二、概率密度的常規(guī)解釋

常規(guī)解釋即從字面進(jìn)行解釋?zhuān)紫然仡欀袑W(xué)物理中的密度公式：（1）對(duì)均勻物質(zhì)，其密度公式為ρ=mV;（2）對(duì)非均勻物質(zhì)，每點(diǎn)的密度可能不同，其中a點(diǎn)的密度為包含a點(diǎn)小塊物質(zhì)質(zhì)量與體積的比值極限ρa(bǔ)= limΔV→0ΔmΔV.

同理，連續(xù)型隨機(jī)變量X在任意點(diǎn)x（x∈（a，b））處的概率密度可以表示為：

所以稱(chēng)f（x）為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).

這種解釋對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)理解起來(lái)存在三個(gè)方面的難點(diǎn).首先，同樣是概率問(wèn)題，離散型變量的分布律很直觀，易于理解接受，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的解釋好像與離散型隨機(jī)變量的分布律完全不同，割裂了其與離散型變量的區(qū)別與聯(lián)系，有些初學(xué)者可能會(huì)理解，卻不大容易能接受.其次，很多學(xué)生特別是經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的文科生之前根本就沒(méi)有接觸非均勻物質(zhì)的密度公式，接受起來(lái)尚需要一個(gè)過(guò)程，更何況是在此基礎(chǔ)上引申出概率密度函數(shù)這個(gè)高階概念.第三，連續(xù)型隨機(jī)變量中的那個(gè)非負(fù)可積概率密度函數(shù)f（x）出現(xiàn)的太突然，它是怎么來(lái)的，學(xué)生表示很懵.

三、相對(duì)概率——概率密度的另一種解釋

我們完全可以基于學(xué)生對(duì)離散型隨機(jī)變量及其概率分布律的領(lǐng)會(huì)來(lái)解釋說(shuō)明連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).

從之前教學(xué)內(nèi)容的兩個(gè)命題開(kāi)始，“不可能事件的概率為0”，反之“概率為0的事件卻不一定是不可能事件”，對(duì)后者常用例證，如燈泡的使用壽命X（小時(shí)），有P（X=300）=0，但{X=300}卻不是不可能事件.實(shí)際上，這里P（X=300）=0中的“0”不是真正的0，而是無(wú)窮小量0（當(dāng)然，有的時(shí)候是真正的0，比如，P（X=-300）=0），即燈泡的壽命取300的概率非常非常小，以至于無(wú)法像離散型隨機(jī)變量取某個(gè)值的概率那樣用一個(gè)非0的數(shù)字來(lái)表示.

燈泡的壽命X便是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，要用非0數(shù)字來(lái)表示連續(xù)型隨機(jī)變量取某值的概率不是不可以，只要將這個(gè)無(wú)窮小量除以另一個(gè)無(wú)窮小量將其放大即可，我們將這個(gè)放大后的概率稱(chēng)為相對(duì)概率，即概率密度.推導(dǎo)如下：

與之相對(duì)的是，離散型隨機(jī)變量的概率可理解為絕對(duì)概率.

四、概率密度函數(shù)兩個(gè)性質(zhì)證明

即通過(guò)離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)，利用相對(duì)概率，推導(dǎo)出連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的性質(zhì)，即：

五、結(jié)束語(yǔ)

離散型隨機(jī)變量的定義、分布律及其性質(zhì)很容易理解，引入相對(duì)概率這一概念之后，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及其性質(zhì)就與離散型隨機(jī)變量的分布律及性質(zhì)相對(duì)應(yīng)起來(lái)，也變得容易理解和接受.推導(dǎo)過(guò)程可能不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但是對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生理解課程內(nèi)容還是有一定的價(jià)值.

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫榮恒.應(yīng)用概率論：第三版[M].北京：科學(xué)出版社，2016.