趙書銀 張禮剛 馬麗紅 張 新 武小云

(河北建筑工程學(xué)院理學(xué)院，河北 張家口 075000)

0 引 言

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布是概率統(tǒng)計(jì)中的重要知識(shí)點(diǎn).連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度的計(jì)算的通用方法是使用定義先求其分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到概率密度，計(jì)算量較大.特殊情況是，多個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量的和的概率密度可以通過(guò)卷積運(yùn)算實(shí)現(xiàn).文獻(xiàn)[1]利用Fourier變換提供了一種算法,能計(jì)算多個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量線性組合的概率密度而且避免計(jì)算卷積.但是Fourier變換不僅要用到復(fù)數(shù)，而且很多常見的函數(shù)的Fourier變換都是廣義函數(shù).本文對(duì)相互獨(dú)立的有界連續(xù)型隨機(jī)變量的線性組合和非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量的正系數(shù)線性組合，使用Laplace變換及其逆變換，得到了計(jì)算效率更高的一種計(jì)算方法.

1 主要結(jié)論

因?yàn)長(zhǎng)aplace變換要求函數(shù)在(-∞，0)上取值為0，所以要對(duì)概率密度函數(shù)的支集包含負(fù)數(shù)的函數(shù)進(jìn)行處理，以使得其含于[0，+∞].為此需要對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行平移和縮放的操作.這里考慮Y是X的一次函數(shù)的結(jié)果，給出以下定理.

定理1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),則Y=kX+b(k≠0)的概率密度為

(1.1)

證明以k<0為例,此時(shí)Y的分布函數(shù)

于是有

當(dāng)k>0時(shí)同理.證畢.

所以當(dāng)有界隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的支集含有負(fù)數(shù)時(shí)，因X有界，設(shè)f(x)在(-∞,b]上等于0，則可以通過(guò)變換Y=X-b，使得Y的概率密度函數(shù)fY(y)=f(y+b)在y∈(-∞,0]上等于0，這樣就可以對(duì)fY(y)使用Laplace變換，如果需要還原X的概率密度，只需把fY(y)中的y替換成x-b就行了.

(1.2)

或?qū)憺?/p>

(1.3)

證明當(dāng)n=2時(shí),

其中*表示兩個(gè)函數(shù)的卷積運(yùn)算.由Laplace變換的卷積性質(zhì)，有

可見(1.2)成立.

(1.4)

兩邊取Laplace逆變換，就得到(1.4).

(1.5)

2 算法的意義和應(yīng)用

在文獻(xiàn)[1]中，給出了這個(gè)問(wèn)題的Fourier變換法，Laplace變換法和Fourier變換法對(duì)相互獨(dú)立的有界連續(xù)型隨機(jī)變量和非負(fù)隨機(jī)變量都能有效且可靠地求出它們的線性組合的概率密度.但是三者的計(jì)算效率差距很大，在符號(hào)計(jì)算軟件maple中取n=300時(shí)，計(jì)算相互獨(dú)立的參數(shù)都是1的指數(shù)分布之和的概率密度，所用的時(shí)間見下表.

表2-1 三種算法用時(shí)表

從表中可見使用Fourier變換的計(jì)算速度是直接使用卷積運(yùn)算速度的163倍還多，這得益于Fourier變換能夠把卷積運(yùn)算變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算.而這里給出的Laplace變換法在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高了運(yùn)算效率，又把速度提高了5.5倍.所以在求解相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的線性組合的概率密度時(shí)，如果能使用Laplace變換，那么Laplace變換的計(jì)算效率是最高的.

3 算法的局限性

求相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，原始的方法是進(jìn)行卷積運(yùn)算.Fourier變換和Laplace變換都能把卷積運(yùn)算變?yōu)槌朔e運(yùn)算，從而提高計(jì)算效率.但是Laplace變換只能對(duì)支集非負(fù)的函數(shù)運(yùn)算.對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言，要求其取值也非負(fù).Fourier變換則沒(méi)有這種局限性.本文提供的算法可以避免這種約束，保證對(duì)有界的情形也能使用Laplace變換，但是連續(xù)型隨機(jī)變量的取值沒(méi)有下界時(shí)還是無(wú)法使用.