宮建平

（晉中學(xué)院信息技術(shù)與工程學(xué)院，山西晉中030619）

（編輯 郭繼榮）

作為量子力學(xué)的一個(gè)經(jīng)典問題，氫原子一直是人們關(guān)注的對(duì)象，近年來關(guān)于氫原子概率密度在空間分布的討論一直持續(xù)不斷[1～10].氫原子的薛定諤方程是可以嚴(yán)格求解的為數(shù)不多的例子之一，能夠得到波函數(shù)嚴(yán)格的解析解，從而可以精確描繪出其電子的徑向、角向及整體的運(yùn)動(dòng)情況.近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，結(jié)合計(jì)算機(jī)繪圖軟件的強(qiáng)大功能，通過對(duì)氫原子電子分布的概率密度圖像的描繪，對(duì)氫原子中運(yùn)動(dòng)的圖像描繪更加直觀.近年來，人們利用數(shù)學(xué)軟件繪制了氫原子波函數(shù)的平面和立體圖形[1]，以及應(yīng)用三維重構(gòu)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了氫原子基態(tài)和各個(gè)激發(fā)態(tài)電子云的外觀圖[2]，通過數(shù)值計(jì)算分析了氫原子中電子概率密度的分布情況，并進(jìn)行了詳細(xì)的討論[3～4].

本文首先對(duì)氫原子的徑向概率密度分布展開討論，然后給出了氫原子的角向概率分布圖像，最后利用概率等值線圖和等概率曲面圖給出了氫原子的電子概率的三維空間分布圖像.從而對(duì)氫原子的運(yùn)動(dòng)形態(tài)有了更加直觀的印象，并澄清了關(guān)于氫原子角向概率分布存在的一些模糊認(rèn)識(shí)[11]68.

1 徑向概率密度分布

當(dāng)氫原子處于 ψnlm（r，θ，φ）態(tài)時(shí)，電子在（r，θ，φ ）點(diǎn)的周圍的體積元dτ＝r2sinθdrdθdφ 內(nèi)的概率是

將此式對(duì)θ從0→π，對(duì)φ從0→2π積分，并注意Ylmθ，（）φ是歸一化的，我們便得到半徑r到r→r+dr球殼內(nèi)找到電子的概率是

粒子的徑向函數(shù)為

式中Nnl是歸一化常數(shù).歸一化常數(shù)為氫原子的徑向概率密度為：

注意（1.5）式給出的徑向概率密度是指半徑r到r→r+dr球殼內(nèi)找到電子的概率，而并不是說在半徑為r的球面上真實(shí)空間的概率密度.比如我們熟知的玻爾半徑，是指在r＝ɑ的球面上總的概率取極大值，而不是在r＝ɑ的空間點(diǎn)上取極值.而空間沿徑向真實(shí)的概率密度值應(yīng)該由R2nl（r）給出.為了考察氫原子的概率密度在三維空間的真實(shí)分布，同時(shí)為了比較Wnl（r）與R2nl（r）的不同，下面給出不同的n，l分別由Wnl（r）、R2nl（r）繪制的曲線.比較發(fā)現(xiàn)兩者存在明顯不同.特別是W10（r）在rɑ＝1處（即玻爾半徑處）有一極大值，如圖1.3所示，而R210（r）只在rɑ＝0處有一最大值，如圖1.1所示.再者Wnl（r）在原點(diǎn)總是為零，而R2nl（r）則不一定，這是因?yàn)閃nl（r）＝R2nl（r）r2.

圖1 .1 取n＝1，l＝0時(shí)的R210（r）分布曲線

圖 1.2 分別取n＝2，l＝0，n＝2，l＝1時(shí)的 R220（r）（實(shí)線）和R221（r）（點(diǎn)線）分布曲線

圖1 .4 分別取n＝2，l＝0，n＝2，l＝1時(shí)的 W20（r）（實(shí)線）和W21（r）（點(diǎn)線）分布曲線

圖1 .3 取 n＝1，l＝0時(shí)的 W10（r）分布曲線

2 角向概率密度分布

氫原子的角向波函數(shù)是球諧函數(shù)Ylmθ，（）φ

式中Pml（cosθ）是締合勒讓德多項(xiàng)式，Nlm是歸一化常數(shù).l表征角動(dòng)量的大小稱為角量子數(shù)，m則稱為磁量子數(shù).由（2.1）式可知，對(duì)應(yīng)于一個(gè)l的值，m可以?。?l+1）個(gè)值.

將（1.1）對(duì)r從0到∞積分，并注意到Rnl（r）是歸一化的，我們得到電子在方向（θ，φ）附近立體角dΩ＝sinθdθdφ 的概率是

因此得到

由于Wlm與φ角無關(guān)，所以這些圖形是繞z軸對(duì)稱的立體圖形.例如，在l＝0，m＝0時(shí)，概率是

它與θ無關(guān)，所以在角向概率圖是一個(gè)球面.又如l＝1，m＝±1時(shí)的概率

在θ＝π2（不論φ取任何值）有最大值，在極軸方向θ＝（）

0 的值為零.而 l＝1，m＝0 時(shí)，

情況則恰好相反，在θ＝0，π處概率有最大值，θ＝π 2處概率為零.

圖2 .1 取l＝0，m＝0時(shí)s電子的角向概率密度分布的空間圖像

圖2 .3 取l＝1，m＝±1時(shí)p電子的角向概率密度分布的空間圖像

圖2 .5 取l＝2，m＝±1時(shí)d電子的角向概率密度分布的空間圖像

圖2 .2 取l＝1，m＝0時(shí)p電子的角向概率密度分布的空間圖像

圖2 .4 取l＝2，m＝0時(shí)d電子的角向概率密度分布的空間圖像

圖2 .6 取l＝2，m＝±2時(shí)d電子的角向概率密度分布的空間圖像

利用（2.3）式可繪制出不同l，m時(shí)的Wlm（θ，φ ）圖，即為角向概率密度分布圖.比如l＝0，m＝0的s電子的角向概率密度分布，它的分布是球?qū)ΨQ的.l＝1，m＝0，±1的p電子的角向概率密度分布，l＝2，m＝0，±1，±2的d電子的角向概率密度分布，它們?nèi)鐖D2.1~圖2.6所示.它們都是關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的.而教材中的角向概率分布圖，其實(shí)是角向概率密度平面極坐標(biāo)圖形[11]，并非角向概率密度三維立體分布圖形.此處的三維圖形可以看作平面極坐標(biāo)圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)形成的.

3 氫原子的概率密度空間分布圖像

氫原子的定態(tài)波函數(shù)是處于這個(gè)態(tài)時(shí)ψnlm與n，l，m三個(gè)量子數(shù)有關(guān).

知道了氫原子的波函數(shù)，就可以進(jìn)一步討論氫原子內(nèi)電子在空間各點(diǎn)的概率分布.當(dāng)氫原子處于ψnlm（r， θ ，φ）態(tài)時(shí)，電子在（r，θ，φ ）點(diǎn)的周圍的體積元dτ＝r2sinθdrdθdφ 內(nèi)的概率是

根據(jù)（3.2）式可以繪制出氫原子空間的概率密度分布圖像.

10氫原子處于ψ100（r，θ，φ）態(tài)時(shí)的概率密度空間分布圖像.

從圖1.1可以看出R210（r）只有在rɑ0＝0處有一極（最）大值，而從圖2.1可以看出 ψ100（r，θ，φ）2角分布是球?qū)ΨQ的，所以我們可以推測(cè)出處于基態(tài)的氫原子的概率分布應(yīng)該如圖3.1a所示，在xoz平面上xɑ0＝0，zɑ0＝0點(diǎn)處概率密度取最大值，并非在玻爾半徑r＝ɑ0處取極大值.雖然在玻爾半徑r＝ɑ0的球面上，概率密度并非取極大值，但徑向概率密度Wnl（r）＝R2nl（r）r2是指在玻爾半徑附近的球殼找到粒子的概率是最大.由于 Wnl（r）＝R2nl（r）r2與r2成正比，所以雖然在原點(diǎn)處電子的概率密度取極大值，但Wnl（r）＝R2nl（r）r2仍然為零，在玻爾半徑r＝ɑ0（即rɑ0＝1）的球面上雖然電子的概率密度并非取極大值，但Wnl（r）＝R2nl（r）r2卻為極大值.由圖觀察明顯看到處于基態(tài)的氫原子的概率密度分布呈球?qū)ΨQ分布.注意R210（r）的極大值為R210（0）＝4，而W100（r，θ，φ）的極大值為W100（r，θ，φ）＝1π＝0.3183.由于基態(tài)氫原子各向同性，且相同的r概率密度相同，所以等概率密度曲面為一球面，如圖3.1b.

圖3 .1a 取n＝1，l＝0，m＝0時(shí)基態(tài)氫原子電子的概率密度分布在xoz平面的等高線

圖3 .1b 取n＝1，l＝0，m＝0時(shí)基態(tài)氫原子電子的概率密度相同的點(diǎn)組成的曲面

20氫原子處于ψ200r，θ，（）φ態(tài)時(shí)的概率密度空間分布圖像.

圖3 .2a 取n＝2，l＝0，m＝0狀態(tài)時(shí)氫原子電子的幾率密度分布在xoz平面r a0＜1.5區(qū)域的等值線圖

圖3 .2b 取n＝2，l＝0，m＝0狀態(tài)時(shí)氫原子電子的幾率密度分布在xoz平面r a0＞1.5區(qū)域的等值線圖

圖3.2c 取n＝2，l＝0，m＝0狀態(tài)時(shí)氫原子電子的等概率密度面,可以看出它是一些同心球面，此時(shí)只可以看到兩個(gè)等概率面.

圖3 .2d 取n＝2，l＝0，m＝0狀態(tài)時(shí)氫原子電子的等概率密度面,可以看出它是一些同心球面,從此剖面圖只可以看到三個(gè)等概率面

處于ψ200r，θ，（）φ態(tài)的氫原子仍然具有球?qū)ΨQ性，即各向同性.從圖1.2可以看出在原點(diǎn)和rɑ0≈4處徑向概率存在兩個(gè)極大值.但在原點(diǎn)處的最大值比rɑ0≈4處的極大值高出幾十倍，所以很難在一張圖中表示，故用圖3.2 a、圖3.2b分別表示rɑ0＜1.5和rɑ0＞1.5區(qū)域的等概率線圖.在rɑ0等于零及rɑ0約為4處取極大值.由于概率分布各向同性，所以此時(shí)的等概率面仍然是一球面，從R220（r）曲線看，只要概率密度值取得合適（足夠?。┛梢杂腥齻€(gè)不同的r滿足它，所以此時(shí)的等概率面應(yīng)當(dāng)是三個(gè)不同半徑的同心球面，從圖3.2c只可以看到兩個(gè)同心球面，從圖3.2d可以看到三個(gè)同心球面.這與我們的分析結(jié)論一致.

圖3.3a 取n＝2，l＝1，m＝0時(shí)氫原子電子的幾率密度分布在xoz平面的等值線圖

圖3 .3b 取n＝2，l＝1，m＝0時(shí)氫原子電子的概率密度相同的點(diǎn)組成的曲面

30氫原子處于ψ210r，θ，（）φ態(tài)時(shí)的概率密度空間分布圖像.

處于ψ210（r，θ，φ）態(tài)的氫原子其徑向概率分布如圖1.2中點(diǎn)線所示，R221在rɑ0≈2處有一極大值，其角向分布如圖2.2，在θ＝0，π處概率有最大值，θ＝π 2處概率為零.這些分析的結(jié)論，可從氫原子在xoz平面的概率分布等值線圖3.3a得到印證，而此時(shí)的等概率曲面圖3.3b即為圖3.3a中某一條等概率線繞z軸旋轉(zhuǎn)得到.

40氫原子處于ψ21±1r，θ，（）φ態(tài)時(shí)的概率密度空間分布圖像.

圖3 .4a 取n＝2，l＝0，m＝±1時(shí)氫原子電子的幾率密度分布在xoz平面的等值線圖

圖3 .4b 取n＝2，l＝0，m＝±1時(shí)氫原子電子的概率密度相同的點(diǎn)組成的曲面

處于ψ21±1（r，θ，φ）態(tài)的氫原子其徑向概率分布如圖1.2點(diǎn)線所示，R221在rɑ0≈2處有一極大值，其角向分布如圖2.3所示，與處于ψ210（r，θ，φ）態(tài)的情況則恰好相反，在 θ＝0，π處概率有最大值，θ＝π 2處概率為零.處于ψ21±1（r，θ，φ）態(tài)的氫原子在xoz平面的概率分布等概率線如圖3.4a所示，將此圖中的某一條等值線繞z旋轉(zhuǎn)一周即構(gòu)成等概率曲面，如圖3.4b所示.

4 總結(jié)

認(rèn)識(shí)氫原子概率密度的空間分布要從概率的徑向（此處是指R2nl（r） 和角向分布兩方面入手，空間某一點(diǎn)的概率由二者決定.比如空間某一點(diǎn)取極大值，必須是R2nl（r）在此半徑的球面上取極大值，同時(shí)要求角向概率在此方向上也取極大值才行，兩者缺一不可.再者考慮概率分布與φ角無關(guān)，所以空間的概率分布是關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的.所以將xoz平面或yoz平面的等概率線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即可得到空間的概率分布.按照此方法可以將氫原子的其他狀態(tài)的空間概率分布繪制出來，但鑒于篇幅關(guān)系在此不再討論.

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（SchoolofInformationandEngineering，JinzhongUniversity，JinzhongShanxi，030600China）