李 軒 袁 琦 高志華，2

(東北師范大學(xué) 1物理學(xué)院, 2物理學(xué)國家級實驗教學(xué)示范中心，吉林 長春 130024)

量子力學(xué)作為四大力學(xué)之一，在物理類本科學(xué)習(xí)階段非常重要。但因其涉及的諸多物理問題與經(jīng)典理論相差較大，相關(guān)理論的推導(dǎo)過程亦較為繁雜，故量子力學(xué)對于初學(xué)者來說接受起來往往較為困難。隨著現(xiàn)代化教學(xué)手段的發(fā)展，基于Matlab等一些軟件平臺對一些物理問題進(jìn)行可視化模擬被得到廣泛研究[1-5]。本文利用Matlab軟件中的GUI功能對氫原子或類氫離子中電子的概率密度分布問題進(jìn)行可視化設(shè)計，利用該程序輸入核電荷數(shù)、主量子數(shù)、角量子數(shù)和磁量子數(shù)等就可以直接得到相應(yīng)的概率密度分布圖像，方便快捷。

1 類氫離子中電子的概率密度

類氫離子中電子的定態(tài)波函數(shù)為

ψn lm(r，θ，φ)=Rn l(r)Yl m(θ，φ)

(1)

其中，Rn l(r)為徑向分布函數(shù)；Yl m(θ，φ)為角向分布函數(shù)；n、l、m分別是主量子數(shù)、角量子數(shù)和磁量子數(shù)，每一組量子數(shù)(n，l，m)對應(yīng)一組波函數(shù)。

類氫離子的徑向分布函數(shù)和角向分布函數(shù)分別為

利用徑向波函數(shù)，可以求得電子在(r，r+dr)球殼中的概率為

(4)

同理，可以求得電子在(θ，φ)方向的立體角dΩ中的概率為

wl m(θ，φ)=|Yl m(θ，φ)|2dΩ

(5)

2 基于GUI類氫離子中電子概率密度的可視化設(shè)計

2.1 類氫離子中電子概率密度的徑向角向圖像可視化設(shè)計

圖1 類氫離子中電子概率密度分布可視化流程圖

圖1給出基于GUI得到類氫離子中電子概率密度分布的流程圖。由圖可知，概率密度分布界面包括了設(shè)置可編輯文本框、單功能按鈕、繪圖等控件屬性及編寫相應(yīng)的回調(diào)函數(shù)(call-back)?？紤]可編輯文本框輸入的量子數(shù)之間必須滿足l=0，1，…，n-1；m=-l，-l+1，…，l；在編寫回調(diào)函數(shù)時，利用如圖2所示的錯誤對話框以確保所輸入的量子數(shù)準(zhǔn)確有效。

圖2 錯誤對話框提示

在量子力學(xué)教材和一些文獻(xiàn)中，容易找到低階量子態(tài)氫原子或類氫離子中電子的概率密度分布圖像。為驗證程序的正確性，下面以氦離子為例，取Z=2，給出部分量子數(shù)下的電子概率密度分布圖像。同時考慮角向概率密度分布為三維圖像，利用max函數(shù)和text語句得到角向分布的最大概率密度值，如圖3所示。

圖3 氦離子(Z=2)中電子概率密度分布運行圖示(a) n=11，l=10，m=1時,He+中電子概率密度分布圖像；(b) n=11，l=10，m=2時,He+中電子概率密度分布圖像；(c) n=11，l=10，m=3時,He+中電子概率密度分布圖像；(d) n=11，l=10，m=4時,He+中電子概率密度分布圖像；(e) n=11，l=10，m=5時,He+中電子概率密度分布圖像；(f) n=11，l=10，m=6時,He+中電子概率密度分布圖像；(g) n=11，l=10，m=7時,He+中電子概率密度分布圖像；(h) n=11，l=10，m=8時,He+中電子概率密度分布圖像；(i) n=11，l=10，m=9時,He+中電子概率密度分布圖像；(j) n=11，l=10，m=10時,He+中電子概率密度分布圖像

對于高階量子態(tài)氫原子或類氫離子中電子的概率密度分布，由于波函數(shù)形式非常復(fù)雜，所以一般在量子力學(xué)教材中很少涉及。通過該可視化軟件可以得到任意一組量子數(shù)對應(yīng)的電子概率密度分布圖像。

圖4所示的氦離子中電子概率密度分布圖像由于核電荷數(shù)和量子數(shù)大小的增加，圖像變得更為復(fù)雜。徑向概率密度分布曲線存在14個極大值和13個節(jié)點，主極大距原子核距離較大，同時主極大的相對概率密度較低；角向概率密度分布圖像呈帶有圓盤的雙缽狀，與相關(guān)理論相符。

圖4 n=25，l=11，m=9時，He+(Z=2)中電子概率密度分布運行圖示

2.2 主量子數(shù)一定時，類氫離子中電子徑向概率密度分布比較的可視化設(shè)計

為更好地研究在主量子數(shù)n一定時，氫原子或類氫離子中電子徑向概率密度隨角量子數(shù)l的分布規(guī)律，設(shè)計出圖5所示的可視化程序，通過該程序輸入核電荷數(shù)和主量子數(shù)即可得到不同角量子數(shù)下的徑向概率密度分布比較圖像。

圖5 n=3時，氫原子(Z=1)中電子概率密度分布運行圖示

圖5說明在主量子數(shù)n已知的情況下，角量子數(shù)可取值l=0，1，…，n-1；每條曲線有n-l個峰，n-l-1個節(jié)點。特別地，對于l=n-1對應(yīng)的“圓軌道”，峰對應(yīng)的橫坐標(biāo)為r=n2az，此時峰值為曲線的最大值，與已知理論一致，表明該可視化程序是正確的。

3 結(jié)語

利用Matlab制作人機交互界面，直接輸入或改變相應(yīng)參數(shù)就可得到所需氫原子或類氫離子中電子概率密度分布圖像，有助于量子力學(xué)等課程的多維度教學(xué)，為理解高階量子態(tài)氫原子或類氫離子中電子概率密度分布提供了一種途徑，對Matlab更好地在物理教學(xué)中發(fā)揮作用做出有益的嘗試。