鄧宏江

摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，每年高考與三角函數(shù)、平面向量板塊輪換以解答題形式考試，難度一般較易或中等，當(dāng)然也有以壓軸題的難度考查的情況。在平時的教學(xué)中，教材上數(shù)列內(nèi)容無法滿足高考的需要，教師需額外補(bǔ)充的內(nèi)容較多。數(shù)列中核心概念教學(xué)一直以來不被教師重視，很多時候按教學(xué)大綱既定內(nèi)容安排教學(xué)，或根據(jù)自己對高考研究作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，筆者認(rèn)為補(bǔ)充教學(xué)內(nèi)容不是對教材內(nèi)容的延續(xù)，而是對教材內(nèi)容的深入應(yīng)用，希望本文能對大家以后的教學(xué)有一些啟發(fā)和幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;核心概念;教學(xué)策略

中圖分類號：G623.2? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2020）24-085

教育部《關(guān)于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務(wù)的意見》的文件提出，注重學(xué)生的核心素養(yǎng)、以及學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，落實到高中數(shù)學(xué)學(xué)科教育的終極目標(biāo)：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界;會用數(shù)學(xué)的思維思考世界;會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，具體到教學(xué)上來就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng)與能力。數(shù)列作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，教師應(yīng)該怎樣把握核心概念？怎樣突破核心能力？最終達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、數(shù)列中的核心概念

關(guān)于數(shù)列中的核心概念，它包括數(shù)列通項公式、推導(dǎo)公式、等差等比數(shù)列以及前n項和等知識的理解。它是高中學(xué)生需要清楚的核心概念，在數(shù)列知識推導(dǎo)過程中，涉及到各類轉(zhuǎn)化以及運算。關(guān)于等差數(shù)列知識理解的核心觀念，在通項公式方面，其數(shù)列地推公式可以表示為：an=an-1+an-2。

前n項和：一般地，我們稱a1+a2+a3+...+an為數(shù)列{an}的前n項和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+a3+...an。

二、核心概念的突破策略

1.追尋、遵循數(shù)學(xué)問題提出的內(nèi)在邏輯

數(shù)學(xué)問題是從數(shù)的方面或形的方面提出的，它的提出既是自然的、合理的，也是有意義，弄清楚數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景與內(nèi)在邏輯既有助于學(xué)生更好地理解知識的本質(zhì)，有助于學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)和解決問題。

2.將數(shù)學(xué)文化與核心概念教學(xué)完美結(jié)合

數(shù)學(xué)文化如同中國文化一樣博大精深，它不僅在數(shù)學(xué)研究方面有重要影響，而且在人類的生存發(fā)展和社會文明方面也有重要的指導(dǎo)作用，它與人類的進(jìn)步，發(fā)展密不可分。筆者作為一線數(shù)學(xué)教師，教師有義務(wù)在數(shù)學(xué)知識教授過程中將數(shù)學(xué)文化融入其中。

3.注重知識的內(nèi)涵，提升綜合運用能力

高中數(shù)學(xué)的魅力在于隨著對知識的深度研究，越來越體會到數(shù)學(xué)知識給人們帶來無窮的奧妙。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要將核心概念進(jìn)行深挖，理解核心概念，認(rèn)識核心思想，把握知識的內(nèi)涵，傳遞核心價值。使學(xué)生通過知識內(nèi)涵的深入學(xué)習(xí)，提升綜合運用能力。

4.利用生活實例，培養(yǎng)應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)中大部分內(nèi)容就是人們在生產(chǎn)生活實踐中總結(jié)與發(fā)展而來，運用生活實例服務(wù)于教學(xué)，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，真正實現(xiàn)用數(shù)學(xué)的思維思考生活，最終培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。

三、數(shù)列核心概念教學(xué)具體實施

1.數(shù)列定義

數(shù)列定義是眾多核心概念中最簡單，最基礎(chǔ)的。在數(shù)列概念認(rèn)知過程中，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識進(jìn)行總結(jié)，它突破了學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，如在《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》等名著中都有著很多與數(shù)列有關(guān)的一些趣味知識。運用這些有趣的數(shù)學(xué)文化作為課堂導(dǎo)入，既能弘揚中華五千年文化，還能在數(shù)學(xué)知識教學(xué)過程中，將數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，使得課堂教學(xué)效果變得更加高效。

2.通項公式與遞推公式

通項公式與遞推公式是給出數(shù)列的重要方式，通項公式能更具表達(dá)式直接求任意項，而遞推公式需要根據(jù)給出的一項逐項求解，有一定難度，因此高考命題熱衷于給出遞推公式求通項公式的考查。在教學(xué)中，多數(shù)教師將遞推公式求通項作為專題補(bǔ)充，認(rèn)為這樣更為系統(tǒng)，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時感覺內(nèi)容較多，記不住這么多的類型，即使記住又不能很好地運用。筆者認(rèn)為將這些題型分散學(xué)習(xí)更有利于學(xué)生的掌握，將相應(yīng)題型放置于等差等比數(shù)列的綜合運用教學(xué)，一是讓學(xué)生不至于感覺內(nèi)容太多，二是可以進(jìn)一步提升對等差等比數(shù)列的綜合運用能力。

3.等差數(shù)列、等比數(shù)列

等差、等比數(shù)列是兩大基本數(shù)列，在教學(xué)中一是可以通過數(shù)學(xué)文化的引入增加趣味性，二是深刻理解定義，把握核心實質(zhì)，三是注重對兩種數(shù)列的對比、聯(lián)系，四是注重聯(lián)系生活。兩種數(shù)列在教學(xué)模式上是一致的，主要對定義等差等比中項、通項公式進(jìn)行研究，在此基礎(chǔ)上，可以增加與證明等差等比數(shù)列有關(guān)的遞推公式求通項問題，加深對等差等比數(shù)列的理解，也能夠由此總結(jié)遞推公式求通項公式的解決方法。

4.前n項和

在數(shù)學(xué)知識教學(xué)過程中，一定要對等差數(shù)列等比數(shù)列求和、錯位相減、裂項相消、并項求和等等知識做出類比，在公式推導(dǎo)過程中，注重問題設(shè)置的難度。由淺入深，幫助學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)問題內(nèi)在規(guī)律，教師利用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)探究、自主總結(jié)，尤其是多種方法推導(dǎo)對比更能加深學(xué)生的理解掌握。

四、核心概念教學(xué)案例初探

課題：等差數(shù)列

例：已知哈雷彗星每隔一段時間就會從地球經(jīng)過，最近人們看到哈雷彗星的年份分別為：1761年，1936年，1911年和1986年，請同學(xué)們根據(jù)已有的數(shù)列知識，預(yù)測下一次的哈雷彗星出現(xiàn)年份。

實際上，1761，1836，1911，1986，2061是一類特殊的數(shù)列，這類數(shù)列我們稱為等差數(shù)列。什么樣的數(shù)列是等差數(shù)列，它有哪些特殊的性質(zhì)？帶著這些問題進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)。

【問題1】觀察下列數(shù)列，發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的變化規(guī)律？

（1）已知有一列數(shù)，從0開始，每隔3數(shù)一次，我們可以得到的數(shù)列為____？

（2）在某項運動比賽中，已知跳遠(yuǎn)運動員的體重為一個特定數(shù)值，他們組成了一項數(shù)列：45，50，55，60，65;

（3）已知為了保護(hù)某地的生態(tài)環(huán)境，水庫人員每天都會認(rèn)真監(jiān)測水庫內(nèi)的水位，并定期做好放水。在水庫放水進(jìn)行工作清理過程中，在幾天之內(nèi)，其水位組成了一個數(shù)列，它的數(shù)值為：7，16，25，34……

（4）常值數(shù)列：2，2，2，2，2，…;

可以看到：

對于數(shù)列（1），很明顯能夠發(fā)現(xiàn)，從第二項開始，它與前一項的差值就是3;

對于數(shù)列（2），每個數(shù)字與前一個數(shù)字的差值為5;

對于數(shù)列（3），從第2項起，每一個數(shù)字與前一個數(shù)字的差值為9;

對于數(shù)列（4），整個數(shù)列的數(shù)值都為2，但是其差值卻為0;

【歸納定義】

對于等差數(shù)列的求取過程而言，如果某一個數(shù)列從第二項開始，它的前一項與其差為一個常數(shù)，這個數(shù)列就可以被稱作為等差數(shù)列。常數(shù)則被稱作是公差，用d表示。

【問題2】你能舉幾個等差數(shù)列的例子嗎？

【問題3】數(shù)列（1）（2）（3）（4）的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？

（1）an=3n-3;

（2）an=5n+43;

（3）an=-2.5n+20.5;

（4）an=2。

【問題4】這些通項公式有什么共同的特點？

【問題5】在某一條件下，若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則an=？

法一：根據(jù)等差數(shù)列的定義：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…

所以，a2=a1+d，

a3=a2+d=a1+2d，

a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……

猜想：an=a1+（n-1）d。

法二：可將an分解為n個式子相加，即：

an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+...+（an-an-1）

【公式解讀】

（1）公式中含有a1，n，d，an共4個變量，要求其中任意一個量須知其余3個量;

（2）an=dn+（a1-d）說明an是關(guān)于n的一次函數(shù);

（3）公式可變形為an-a1n-1=d。

【思考】已知在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出通項公式an=3n-5的數(shù)列的圖像與函數(shù)y=3x-5的圖像。兩者之間的規(guī)律是怎樣的？通過自己已探討的規(guī)律，自主探索an=pn+q的圖像與y=px+q的圖像之間的關(guān)系。

五、核心概念教學(xué)反思

數(shù)學(xué)是一門有規(guī)律的學(xué)科，只有不斷地潛心鉆研才能揭開它神秘的面紗，發(fā)現(xiàn)它的核心規(guī)律，延續(xù)它精彩的生命。核心概念教學(xué)的重點在于教師對課堂教學(xué)內(nèi)容的把握，教師必須從核心概念內(nèi)容出發(fā)，考究核心概念教學(xué)中心，數(shù)列核心概念雖然相對于其他板塊來說較少，但通過完整的學(xué)習(xí)數(shù)列知識，卻能夠構(gòu)建學(xué)生全面分析思維，符合高考考查的要求，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力。

參考文獻(xiàn)：

[1]狄理磊.起始課中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實踐與反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（15）：13—14+18.

[2]李昌官.尋找數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量（修改版）[M].寧波：寧波出版社，2016.

（作者單位：四川省廣元外國語學(xué)校，四川 廣元 628000）