李付強

摘要：APOS理論是關于數(shù)學概念學習的基本模型，在小學數(shù)學概念教學中，教師可以根據(jù)操作或活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段教學，從而有效提高小學數(shù)學概念教學效果。教師應該根據(jù)小學數(shù)學的基本概念，結(jié)合教材的知識內(nèi)容，引入豐富的生活資源，合理設計相關活動，落實APOS理論，更好地提高小學數(shù)學概念教學效果。本文主要以青島版“三角形的認識”為例，探究這一教學方法。

關鍵詞：APOS理論;小學數(shù)學;概念教學;三角形;活動

數(shù)學概念是數(shù)學最為基礎的內(nèi)容。數(shù)學概念的基本內(nèi)涵，是人們在感性認識的基礎上，對客觀世界和事物等進行觀察、比較、分析、概括、判斷、綜合和抽象得出的理論，是在思維活動中逐步認識到世界和事物的本質(zhì)形成的。所以這就導致了數(shù)學概念具有高度的抽象性，不利于小學生理解和學習。因此，在小學數(shù)學教學中，為了讓學生更好地理解各類數(shù)學概念，教師常常會引入與概念相關的各類資源信息，包括文本、圖片、動畫和視頻等，而結(jié)合這些資源運用APOS理論教學，則能夠提升數(shù)學概念教學效果。

一、小學數(shù)學概念教學之APOS理論的活動階段

在小學數(shù)學概念教學中，運用APOS理論教學能夠更好地展現(xiàn)數(shù)學概念的形成流程，能夠引導學生個體通過自主探究掌握數(shù)學概念形成的全過程，更好地讓學生理解數(shù)學概念的本質(zhì)，從而更好地在數(shù)學概念的基礎上理解各類數(shù)學運算法則、基本規(guī)則等。在小學數(shù)學“三角形的認識”實際教學中，為了更好地落實APOS理論、提高概念教學效果，教師既要結(jié)合教材內(nèi)容進行教學，也應該根據(jù)實際需要打亂順序、改變和拓展知識內(nèi)容等。對于這節(jié)課的教學，教師應該在認真分析本課內(nèi)容的基礎上，主要探究與三角形相關的概念，比如三角形的“頂點、對邊、垂線、垂足、高、底”等概念。要如何讓學生理解呢？

基于APOS理論，在活動階段，教師可以指導學生觀察、回顧、思考、想象和判斷，引導學生通過實際操作、實驗和探究等更好地理解和掌握三角形的基礎概念，從而有效提升概念教學效果。例如，在三角形的基本定義概念教學中，教師可以先利用多媒體引入金字塔、斜拉橋、自行車結(jié)構(gòu)等與三角形相關的圖片，讓學生指出其中的三角形，之后讓學生回顧生活中還有哪些東西是三角形。教師再讓學生利用工具自己動手畫一個三角形，讓學生思考和判斷什么樣的圖形才是三角形，怎樣才能畫出規(guī)范的三角形。最后教師用大屏幕展示各類圖形，讓學生指出哪些是三角形。在有關三角形的底和高的概念教學中，教師可以先提出以下問題：回顧平行四邊形和長方形的基本特征，三角形也有底和高嗎？怎樣確定三角形的底和高？你能在剛才自己畫的三角形中畫出高嗎？接著用動畫展示三角形的高的形成示意圖，讓學生上講臺，利用工具動手畫出銳角三角形的高;接著教師再展示不同形態(tài)的三角形，指導學生通過不同頂點畫出這些三角形的高。

二、小學數(shù)學概念教學之APOS理論的過程階段

為了將外在的活動內(nèi)化為學生的思維過程，將學生頭腦中的思維直觀地展示出來，從而引導學生思考、分析和反思思維過程，抽象出概念的本質(zhì)特征，教師可以繼續(xù)落實APOS理論的過程階段。在前面活動的基'礎上，學生對數(shù)學基礎概念有了一般性認識，對數(shù)學概念的本質(zhì)有了更深層次的認識（認知），從最初的感性認識提升到理性認識，對于理解數(shù)學概念具有重要作用。

教師在落實過程階段中，為了讓學生更好地理解三角形的基本定義、三角形的底和高，可以分別指導學生描述出三角形的畫作過程，描述出什么樣的圖形才是三角形，辨別出三角形的底和高。在指導學生描述出三角形的畫作過程中，教師可以指導學生兩兩合作，一人描述畫三角形的流程和要求，一人根據(jù)流程和要求畫出對應的三角形。比如，某些學生要求按照正向/逆向順序畫，根據(jù)一條線段和線段外一點畫出等。在指導學生描述出什么樣的圖形才是三角形的過程中，教師可以先讓學生說出自己認為的三角形的特點，再舉出反例，在不斷修改和求證中將學生的思維直觀地展現(xiàn)出來，讓學生更好地理解三角形的定義。教師需要引導學生從說出“有三條邊的圖形就是三角形”到說出“三角形是三個角、三條邊和三個頂點的組合圖形”，并畫出三角形。在辨別三角形的底和高的過程中，教師同樣可以運用以上類似方法指導學生認知這些概念。

三、小學數(shù)學概念教學之APOS理論的對象階段

這個階段是一個內(nèi)在的思維活動過程。在對象階段，教師應該將學生概念形成的動態(tài)活動過程引導轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)關系，從而更好地幫助學生深入理解數(shù)學概念，對數(shù)學概念的本質(zhì)內(nèi)涵進行整體掌握。在“三角形的認識”概念教學中，在以上教學的基礎上，教師可以展示一個銳角三角形、一個直角三角形、一個鈍角三角形，讓學生試著說出每個三角形各部位的名稱，試著畫出這些三角形的高。教師可以讓學生結(jié)合銳角三角形三條高的畫法，思考直角和鈍角三角形三條高的畫法，指導學生結(jié)合“底和高的對應關系”理論以及三邊和三頂點畫出。教師在指導學生運用所學概念解決實際問題的過程中，更好地促進學生內(nèi)化和鞏固三角形的基本概念。

四、小學數(shù)學概念教學之APOS理論的圖式階段

這個階段是學生對數(shù)學概念進行更高層次、更深度的思維整合和加工的過程，有利于促進學生進一步深化理解數(shù)學概念。教師可以根據(jù)具體的概念內(nèi)容提出一些啟發(fā)性、探究性的問題，讓學生結(jié)合已學知識和經(jīng)驗進行獨立思考、合作探究等。比如，我們經(jīng)過以上學習，認知到了三角形定義、基本特征、底和高等概念。那么它們之間有什么聯(lián)系嗎？教師根據(jù)學生的回答進行總結(jié)：三條邊確定每個三角形都由三條邊組成，而每兩條邊組成一個角，每個角又有一個頂點，有了邊、角、頂點才能確定三角形。綜上所述，基于APOS理論視角下的小學數(shù)學概念教學，教師應該在分析APOS理論的基本內(nèi)涵基礎上，結(jié)合這一概念和基本的數(shù)學課程知識，引入與數(shù)學概念相關的圖片、動畫和視頻等資源，運用多媒體課件和微視頻等進行教學。教師根據(jù)APOS理論中的活動階段、過程階段、對象階段、圖式階段教學，從而提升小學數(shù)學概念的教學效果。