王永靜

【摘要】在高等數(shù)學(xué)中，微積分理論作為其重要組成部分，該理論具有重要的哲學(xué)意義，只有對(duì)理論中所富有的哲學(xué)意義進(jìn)行充分理解與認(rèn)知，才能使微積分理論得到更好的學(xué)習(xí)和掌握，而這就需要在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維，幫助學(xué)生掌握辯證思維中的基本規(guī)律及其運(yùn)用方法，使學(xué)生能夠利用辯證思維來(lái)理解微積分理論中的哲學(xué)原理，從而提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)中微積分理論的教學(xué)成效.鑒于此，本文對(duì)高等數(shù)學(xué)微積分理論的辯證思維進(jìn)行相應(yīng)的探討.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)，微積分，辯證思維

微積分理論是高等數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容之一，微積分理論是由德國(guó)學(xué)者萊布尼茲與英國(guó)偉大的物理學(xué)家牛頓在17世紀(jì)所提出的，無(wú)論是萊布尼茲還是牛頓，不僅是杰出的科學(xué)家，同時(shí)也是令人矚目的哲學(xué)家，這也使微積分理論具有非常濃重的哲學(xué)色彩.微積分理論的提出，為物理學(xué)、天文學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域做出了巨大的貢獻(xiàn)，推動(dòng)了這些領(lǐng)域的發(fā)展，并對(duì)西方哲學(xué)產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響.在微積分理論中，其所涉及的概念與方法都有著極為深刻的哲學(xué)思想，只有充分理解這些哲學(xué)思想，才能使微積分理論得到更加透徹的理解和掌握，而這就需要通過(guò)辯證思維來(lái)對(duì)其哲學(xué)思想進(jìn)行深入的分析與研究.因此，本文對(duì)高等數(shù)學(xué)中微積分理論的辯證思維進(jìn)行探討與研究，明確了辯證思維中的基本規(guī)律，并闡述了辯證思維在高等數(shù)學(xué)微積分理論中的具體運(yùn)用方法.

一、高等數(shù)學(xué)微積分理論中辯證思維的基本規(guī)律

根據(jù)辯證唯物主義思想，人類所處的世界是由物質(zhì)所組成的，而這些物質(zhì)時(shí)刻都在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展，這也使世界萬(wàn)物具有非常緊密的聯(lián)系.通過(guò)唯物辯證法，可對(duì)事物在運(yùn)行、發(fā)展及變化過(guò)程中所具有的潛在規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，例如，質(zhì)量互變規(guī)律、對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律等都是以唯物辯證主義為核心，通過(guò)辯證思維的運(yùn)用所總結(jié)出的規(guī)律.對(duì)質(zhì)量互變規(guī)律來(lái)說(shuō)，該規(guī)律能夠?qū)κ挛锏淖兓憩F(xiàn)進(jìn)行統(tǒng)一描述，其認(rèn)為質(zhì)和量的統(tǒng)一形成事物，這也使事物在變化時(shí)會(huì)發(fā)生質(zhì)變和量變，通常而言，量變具有連續(xù)性和漸進(jìn)性的特點(diǎn)，如果事物中的量達(dá)到一個(gè)臨界點(diǎn)，該臨界點(diǎn)位于質(zhì)的區(qū)間中，則該事物便會(huì)出現(xiàn)質(zhì)變.而對(duì)對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律來(lái)說(shuō)，其主要是對(duì)微積分理論中關(guān)于微分和積分、有限和無(wú)限、變量和常量間的矛盾關(guān)系進(jìn)行總結(jié)的，該規(guī)律認(rèn)為無(wú)論是微分還是積分，無(wú)論是常量還是變量，無(wú)論是有限的還是無(wú)限的，其都具有相互對(duì)立但卻具有統(tǒng)一性的關(guān)系，當(dāng)其達(dá)到某種條件時(shí)，便會(huì)由對(duì)立關(guān)系轉(zhuǎn)化為包容關(guān)系，從而使其在特性上表現(xiàn)為對(duì)立且統(tǒng)一.微積分是以變量作為研究對(duì)象的，從微積分理論中的函數(shù)概念可以了解到，其分為一元函數(shù)和多元函數(shù)，在世界中，事物的數(shù)量既可以是一個(gè)，也可以是很多個(gè)，但其量變與質(zhì)變的范圍卻不只是處于區(qū)間中，還有可能是處于多維區(qū)域中，某些臨界點(diǎn)不僅位于邊界上，還可能位于區(qū)域的邊界.此外，還可采用其他特殊的形式來(lái)對(duì)臨界點(diǎn)及量變進(jìn)行表達(dá)，例如，∑an=a1+a2+…+an+…這一無(wú)窮級(jí)數(shù)便可以看作是有限項(xiàng)和的推廣，在該無(wú)窮級(jí)數(shù)中，其內(nèi)部既有著內(nèi)在的聯(lián)系，同時(shí)彼此之間有著巨大的差異.對(duì)有限項(xiàng)和來(lái)說(shuō)，其本身便可當(dāng)作一種具有特殊性質(zhì)的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)對(duì)待.不過(guò)通常來(lái)說(shuō)，普通的無(wú)窮極數(shù)在具體情形上還包括發(fā)散與收斂，當(dāng)無(wú)窮級(jí)數(shù)為收斂情形時(shí)，在某種程度上也可能難以滿足有限項(xiàng)和中的結(jié)合律及交換律.起始點(diǎn)為有限項(xiàng)和，終止點(diǎn)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，量變可以是求和項(xiàng)數(shù)，其只能按照正整數(shù)來(lái)進(jìn)行取值，因此，有限項(xiàng)和的變化可以看作是離散的.如果求和項(xiàng)數(shù)無(wú)窮盡時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)質(zhì)變，此時(shí)其質(zhì)變的臨界點(diǎn)也同樣是無(wú)限的，并且是無(wú)窮大的.同樣，對(duì)∫+∞af（x）dx這一定積分來(lái)說(shuō)，其推廣的形式是通過(guò)廣義積分來(lái)表現(xiàn)的，廣義積分出現(xiàn)的量變可以看成是積分區(qū)間發(fā)生了改變，而且其量變是具有連續(xù)性特點(diǎn)的，但如果廣義積分出現(xiàn)質(zhì)變，則其臨界點(diǎn)卻具有無(wú)窮大的特點(diǎn).總而言之，在微積分理論中，利用辯證思維來(lái)對(duì)其基本規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，可以了解到，如果以質(zhì)量互變規(guī)律來(lái)進(jìn)行辯證，則微積分理論的研究對(duì)象變量在維度上既可為一維，也可為多維，并且可能具備離散與連續(xù)兩種情形，而其臨界點(diǎn)卻既可能是有限的，但同樣可能是無(wú)窮的.

二、高等數(shù)學(xué)微積分理論中辯證思維的運(yùn)用方法

（一）辯證思維中分析和綜合的運(yùn)用

人類在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行處理和解決時(shí)，往往需要利用分析與綜合的方法來(lái)進(jìn)行，可以說(shuō)，分析與綜合也是辯證思維中的基礎(chǔ)，通過(guò)分析，可使復(fù)雜的問(wèn)題或事物得到有效分解，然后以孤立、靜止的方式對(duì)分解后的各個(gè)部分或階段進(jìn)行研究，進(jìn)而獲得事物所具有的細(xì)微性質(zhì).通過(guò)綜合，則可使人們將獲得事物的細(xì)微性質(zhì)進(jìn)行各個(gè)部分的有機(jī)整合，從而挖掘出事物在宏觀與整體層面上所具有的性質(zhì).通過(guò)將分析與綜合進(jìn)行結(jié)合運(yùn)用，可使人們利用辯證思維對(duì)事物的目的進(jìn)行有效的認(rèn)識(shí).在微積分理論中，辯證思維的運(yùn)用便是采用分析與綜合相結(jié)合的思維方法來(lái)實(shí)現(xiàn)的，進(jìn)而使其能夠?qū)Ω叩葦?shù)學(xué)中微積分理論進(jìn)行更好的學(xué)習(xí).以下以微積分理論中的定積分概念為例，對(duì)辯證思維中分析與綜合這兩種思維方法的運(yùn)用進(jìn)行說(shuō)明和探討.

對(duì)定積分概念來(lái)說(shuō)，其具有對(duì)應(yīng)的物理背景，在具體的實(shí)例中，需要對(duì)某個(gè)曲邊梯形的面積進(jìn)行求解，該曲邊梯形中的直線可表示為x=a，x=b，y=0，而曲線則表示為y=f（x）（x≥0），x∈[a，b]，該問(wèn)題是無(wú)法通過(guò)初等數(shù)學(xué)來(lái)進(jìn)行解決的.因此，在利用分析思維方法時(shí)，需要將該曲邊梯形進(jìn)行分割，使其能夠被劃分成i個(gè)較小的曲邊梯形，然后以靜止不變的角度對(duì)第i個(gè)曲邊梯形進(jìn)行研究，在研究過(guò)程中，[xi-1，xi]范圍內(nèi)的函數(shù)f（x）是固定的，也就是說(shuō)將第i個(gè)曲邊梯形當(dāng)作矩形來(lái)看待，則可得出它的寬是Δxi=xi-xi，而它的高則可表示為f（ξ），其中，ξ是[xi-1，xi]范圍內(nèi)的某個(gè)任意點(diǎn)，進(jìn)而得出該曲邊梯形的面積可表示為ΔSi≈f（ξ）Δxi，然后便可通過(guò)綜合法來(lái)進(jìn)行求和，從而得出所有小曲邊梯形的面積的近似總和，即S≈∑ni=1f（ξ）Δxi，通過(guò)對(duì)整個(gè)曲邊梯形進(jìn)行逐漸細(xì)化的分割，便可在分割極限下計(jì)算出整個(gè)曲邊梯形的總面積，該總面積也是某個(gè)極限的精確值，即S=lim‖T‖→0∑ni=1f（ξ）Δxi.

（二）辯證思維中抽象化與具體化的運(yùn)用

在辯證思維中，抽象化和具體化是其高級(jí)運(yùn)用形式，通過(guò)對(duì)客觀的事物進(jìn)行抽象化，可概括該事物的某項(xiàng)本質(zhì)，以感性具體為基礎(chǔ)，通過(guò)辯證思維中的分析與綜合方法的應(yīng)用，從而使思維變得具體化或理性化，進(jìn)而幫助人們能夠從多個(gè)方面來(lái)把握事物的屬性，并從抽象層面逐漸上升至具體方法，其以抽象邏輯為初始點(diǎn)，通過(guò)相應(yīng)的中介來(lái)實(shí)現(xiàn)思維具體化.運(yùn)用辯證思維來(lái)對(duì)微積分理論進(jìn)行抽象化和具體化時(shí)，不論是函數(shù)極限 limx→x0f（x）=A，還是數(shù)列極限 limn→∞an=a，或是其他類型，都可通過(guò)分析與綜合的辯證思維方法和抽象化與具體化的辯證思維方法來(lái)對(duì)其定義內(nèi)的“ε-δ語(yǔ)言”與“ε-N語(yǔ)言”進(jìn)行體現(xiàn).在極限過(guò)程中，其過(guò)程的變化是無(wú)限的，因此，為了使描述更加方便，需要將其進(jìn)行各個(gè)階段的劃分，使不同階段有著不同的變化，也就是通過(guò)函數(shù)f（x）或數(shù)列{an}來(lái)對(duì)部分階段進(jìn)行考慮，即|f（x）-A|<ε或|an-a|<ε.

在該表達(dá)式中，可采用0.01，0.001等正數(shù)來(lái)對(duì)ε進(jìn)行表示.針對(duì)各個(gè)階段的變化，以孤立且靜止的角度來(lái)進(jìn)行研究，其條件中的變化進(jìn)程應(yīng)由自變量n或x來(lái)進(jìn)行滿足，也就是說(shuō)，必須通過(guò)任意一個(gè)正整數(shù)N，確保n大于N，或是利用某個(gè)正數(shù)δ來(lái)確保|x-x0|位于0和δ之間，從而使這些階段的變化能夠利用極限過(guò)程來(lái)進(jìn)行具體化表達(dá).由于不同的變化階段非常多，甚至是無(wú)窮盡的，并且其特征是較為類似的，因此，需要通過(guò)抽象化的方式對(duì)其進(jìn)行概括，也就是對(duì)極限過(guò)程進(jìn)行相應(yīng)的定義.

三、結(jié) 語(yǔ)

總而言之，辯證思維作為微積分理論中的重要學(xué)習(xí)方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的微積分理論時(shí)，必須了解微積分理論中的哲學(xué)原理，通過(guò)辯證思維的運(yùn)用來(lái)分析高等數(shù)學(xué)和哲學(xué)之間的關(guān)系，以便于更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的微積分理論，從而提高高等數(shù)學(xué)中微積分理論的學(xué)習(xí)成效.

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