潘燦麗

[摘? 要] 數(shù)形結(jié)合不僅關(guān)系到數(shù)學(xué)能力的達(dá)成，同時(shí)對(duì)學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)也具有十分重要的意義. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)而言，數(shù)形結(jié)合已然成為十分重要的教學(xué)手段，文章在此基礎(chǔ)上結(jié)合新課標(biāo)的推進(jìn)趨勢(shì)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透進(jìn)行闡釋，并通過(guò)對(duì)具體例題的分析提供關(guān)于學(xué)生能力培養(yǎng)的新路徑.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;以形助數(shù);以數(shù)解形;數(shù)形互譯

數(shù)形結(jié)合是學(xué)生通過(guò)活動(dòng)對(duì)感性素材進(jìn)行的抽象，它是高度投入、高階認(rèn)知參與的一種培養(yǎng)學(xué)生能力的方法，同時(shí)它也是學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，相對(duì)于其他思想方法而言，形象、直觀是其顯著的特點(diǎn). 數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一，也是數(shù)學(xué)解題中直接性理解和創(chuàng)造性構(gòu)建的紐帶，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)具有重要意義. 本文結(jié)合具體例題分析數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的滲透，進(jìn)而提供關(guān)于學(xué)生能力培養(yǎng)的新路徑.

以教材內(nèi)容為載體，培養(yǎng)數(shù)形

結(jié)合

相較于小學(xué)數(shù)學(xué)，初中教材明顯更具有復(fù)雜性和抽象性，同時(shí)數(shù)形結(jié)合思想也貫穿于整個(gè)教材中，有效架起了抽象知識(shí)與直觀圖形的橋梁，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法. 這就要求教師深度挖掘教材內(nèi)容，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位，在數(shù)形轉(zhuǎn)化中培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的良好習(xí)慣.

1. 通過(guò)直觀性圖示，有所感知

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少抽象而復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以通過(guò)直觀圖示的“形”來(lái)加深理解，通過(guò)豐富的感性素材豐富學(xué)生的感性認(rèn)知，提高分析的精確度. 例如，教學(xué)“實(shí)數(shù)”，學(xué)生對(duì)正數(shù)已經(jīng)有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，教師再演示溫度計(jì)、水閘蓄水和放水等直觀圖示，導(dǎo)入負(fù)數(shù)概念和有理數(shù)的運(yùn)算法則，將抽象的正、負(fù)數(shù)的數(shù)量關(guān)系放于圖示中分析并解決，再輔以詳細(xì)的講解，為本節(jié)課難點(diǎn)的突破建構(gòu)橋梁. 因此，結(jié)合直觀性圖示進(jìn)行分析是滲透數(shù)形結(jié)合思想的第一步，它有助于提升學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的感知程度，有利于抽象思維的提升.

2. 通過(guò)實(shí)踐性活動(dòng)，有所體驗(yàn)

實(shí)踐性活動(dòng)是促進(jìn)概念理解最常用的方法，借助多種操作性活動(dòng)引出數(shù)學(xué)概念最抽象、最本質(zhì)的屬性，使學(xué)生有所體驗(yàn). 例如，引入“乘方”的概念時(shí)，可安排動(dòng)手折紙的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)或觀察拉面師傅拉面的場(chǎng)景，從而導(dǎo)出概念. 這樣的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)事物的剪、拼、拆、折等方法獲取必要的信息，逐步在腦海中形成清晰的表象，從而為問(wèn)題的探究和解決指明方向.

以習(xí)題特征為突破，培養(yǎng)數(shù)形

結(jié)合思想

在解題中，需關(guān)注到數(shù)與形的融合，細(xì)細(xì)斟酌問(wèn)題的具體特征，通過(guò)形來(lái)觀察數(shù)的問(wèn)題，借助數(shù)的方法去思考形的問(wèn)題，并合理掌控好二者的融合，使這兩種方法相輔相成、相得益彰，找尋到解決問(wèn)題的思路，開闊學(xué)生的解題思路.

1. 以形助數(shù)

例1？搖 如圖1，已知A（2，2）和B兩點(diǎn)是反比例函數(shù)y=■的圖像C與正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖像l的交點(diǎn)，將函數(shù)y=■的圖像與直線AB向右平移n（n>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像分別為C′和l′，已知圖像C′過(guò)點(diǎn)M（2，4）.

（1），（2）略.

（3）試直接寫出不等式■≤ax-1的解集.

分析? 不等式■≤ax-1可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=■的圖像都位于y=ax-1的函數(shù)圖像上方，它們的交點(diǎn)分別為（3，2）和B（-1，-2），解集為x<-1或0

評(píng)注? 從本題中可以看出，若采用常規(guī)代數(shù)方法解決這個(gè)問(wèn)題顯然是不大可行的，但若借助圖形特征，則可使本題的難點(diǎn)迎刃而解.

2. 以數(shù)解形

例2？搖 如圖2，已知平面直角坐標(biāo)系中有Rt△OAB，且其中的一個(gè)頂點(diǎn)A位于x軸正半軸，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，■），邊OA上的一點(diǎn)C的坐標(biāo)為■，0，點(diǎn)P在斜邊OB上移動(dòng)，則PA+PC的最小值為（? ）

分析? 這道題我們往往習(xí)慣選擇以幾何方法進(jìn)行解決，但通過(guò)合理作圖，很容易看出來(lái)，如果以勾股定理解決，則可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，從而彌補(bǔ)幾何問(wèn)題的一些缺憾. 本題這樣思考：作點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DC交OB于點(diǎn)P，那么該點(diǎn)P則為所求的點(diǎn). 構(gòu)造直角三角形通過(guò)勾股定理即可求出CD.

評(píng)注? 本題為一道幾何問(wèn)題，在對(duì)題目的條件和問(wèn)題進(jìn)行分析和整合的過(guò)程中，深入觀察并理清題目中的圖形特征，然后再將這些特征借助相應(yīng)的公式、定理建立關(guān)聯(lián)，通過(guò)代數(shù)方法解決問(wèn)題.

3. 數(shù)形互譯解決應(yīng)用問(wèn)題

在解決問(wèn)題中，常常需要運(yùn)用到數(shù)形互譯的數(shù)形結(jié)合，從而轉(zhuǎn)化抽象的數(shù)量關(guān)系，在觀察、分析和聯(lián)想中解決問(wèn)題.

例3？搖 小李和小陸從A地出發(fā)去B地，沿著同一行駛路線，圖3為他們距離A地的距離s（單位：km）與行駛時(shí)間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系圖像，觀察圖中信息，可得：①小李和小陸都行駛了20 km;②小陸行駛?cè)桃还灿昧?.5 h;③兩人相遇后，小李的速度比小陸的小;小李在行駛過(guò)程中停留了0.5 h. 以上說(shuō)法中正確的有（? ? ?）

A. 1個(gè) B. 2個(gè)

C. 3個(gè)D. 4個(gè)

分析? 本題的解決需要學(xué)生精準(zhǔn)分析圖形，讓原本模糊的問(wèn)題逐步清晰，學(xué)生從圖示以及數(shù)量關(guān)系著手，通過(guò)數(shù)形互譯，找尋到相關(guān)解題公式，搭建解題路徑.

評(píng)注? 若本題僅僅在“形”上進(jìn)行分析和觀察，則會(huì)出現(xiàn)一系列學(xué)生不易察覺的解題錯(cuò)誤.

注意事項(xiàng)

1. 數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用中，大多涉及作圖問(wèn)題，有些問(wèn)題只需通過(guò)一個(gè)草圖作為輔助手段搭建解題路徑，也有一些題目需要精確作圖，此時(shí)則需要避免因作圖不夠精確而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

2. 數(shù)形結(jié)合思想在解題中，還需關(guān)注到圖形的合理性以及分析問(wèn)題的各種情形，做到不漏不重.

例4？搖 如圖4，已知網(wǎng)格中有一個(gè)直角三角形（且網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度），現(xiàn)以此直角三角形的一條邊為公共邊畫出一個(gè)新的三角形與原直角三角形構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且此新三角形的頂點(diǎn)位置不限，并與原直角三角形僅有一條公共邊，不存在任何公共點(diǎn)，則滿足該要求的新三角形有______個(gè).

分析? 從題意出發(fā)，可以探究得出，以原直角三角形的每條邊為底邊可以構(gòu)造2個(gè)新三角形與原直角三角形構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，那么新三角形的個(gè)數(shù)則為6個(gè);再以原直角三角形的斜邊為腰考慮，可以構(gòu)造1個(gè)新三角形，故新三角形的個(gè)數(shù)共有7個(gè).

總之，數(shù)學(xué)解題不是就題論題的過(guò)程，而是通過(guò)教學(xué)策略使學(xué)生萌生數(shù)學(xué)思想，并轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題的策略，再到數(shù)形結(jié)合中體悟核心思想的啟發(fā)性成分，進(jìn)而生成有效的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升. 雖然本文只是以一些單一的例題為例，但其實(shí)具有普遍性的意義，對(duì)此我們需做到思之再三.