束長(zhǎng)軍

[摘? 要] “垂徑定理”是基于圓的對(duì)稱性構(gòu)建的特殊定理，其中涉及兩線關(guān)系、弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)等幾何內(nèi)容，是求解圓類問(wèn)題較為常用的定理. 垂徑定理可用于多種模型的構(gòu)建，文章結(jié)合實(shí)例，對(duì)其加以探討，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 垂徑定理;直角三角形;線段長(zhǎng)

“垂徑定理”是初中數(shù)學(xué)的核心定理，也是“圓”內(nèi)容的重要考點(diǎn). 該定理可以充分反映圓的重要性質(zhì). 教學(xué)中，我們除了需要使學(xué)生掌握定理及其推論外，還需要學(xué)習(xí)運(yùn)用定理構(gòu)建模型、解析問(wèn)題的方法，下面對(duì)其深入探究.

關(guān)于垂徑定理的解題應(yīng)用

垂徑定理及其推論反映了五大條件：①垂直于弦;②通過(guò)圓心;③平分弦;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧. 在明確其中任意兩個(gè)條件的情況下即可推理出其他的結(jié)論. 而在實(shí)際解題時(shí)，可根據(jù)定理構(gòu)建相應(yīng)的模型，求解相關(guān)的幾何問(wèn)題. 常見的應(yīng)用有構(gòu)建幾何直角、構(gòu)建等角模型、構(gòu)建等長(zhǎng)線段、構(gòu)建特殊四邊形等.

1. 構(gòu)建幾何直角，勾股定理化解

垂徑定理中存在關(guān)于“垂直”的內(nèi)容，因此，解題時(shí)可以利用垂徑定理來(lái)構(gòu)建直角三角形，用以求解相關(guān)線段長(zhǎng)的問(wèn)題. 具體思路是：關(guān)于圓內(nèi)的半徑、圓心，結(jié)合垂徑定理構(gòu)建直角三角形，然后根據(jù)勾股定理，利用半徑、弦心距和弦長(zhǎng)來(lái)列方程求解.

例1如圖1，在⊙O中，CD是圓的直徑，且CD與弦AB相交于點(diǎn)E，AM⊥BC于點(diǎn)M，與CD交于點(diǎn)N，連接AD. 若AB=8，ON=1，AE=BE，試求⊙O的半徑.

分析本題的目的是求⊙O的半徑，由題干條件“CD是圓的直徑”“AE=BE”可知滿足垂徑定理，進(jìn)而可得出AB⊥CD. 因此可以根據(jù)垂徑定理來(lái)構(gòu)建直角三角形，且求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，然后利用勾股定理來(lái)建立求解半徑長(zhǎng)的方程.

解答因?yàn)镃D是⊙O的直徑，AE=BE，所以CD⊥AB. 所以∠C+∠B=90°. 于是可得∠CNM=∠B=∠AND. 又∠D=∠B，所以∠AND=∠D. 所以AN=AD. 根據(jù)條件可知AE=BE=4，連接OA，如圖2，則△AOE為直角三角形. 設(shè)OE=x，由條件可知DE=NE=x+1，OD=OE+ED=2x+1，OA=OD=2x+1. 在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=OA2，即x2+42=（2x+1）2，又x>0，所以x=■. 所以O(shè)A=■，即⊙O的半徑為■.

評(píng)析 利用垂徑定理可以構(gòu)建直角三角形，構(gòu)建時(shí)需要關(guān)注其中的半徑或直徑、弦長(zhǎng)的平分情形以及對(duì)應(yīng)的平分弧，確保滿足垂徑定理使用的條件. 利用勾股定理建立方程時(shí)，要合理利用其中的弦長(zhǎng)、弦心距等線段的長(zhǎng).

2. 構(gòu)建相等圓周角，等角轉(zhuǎn)化求解

由垂徑定理的內(nèi)容可知，垂直于弦的直徑平分弦以及平分該弦所對(duì)的兩條弧長(zhǎng)，因此利用垂徑定理可以獲得等弧. 聯(lián)系等弧與對(duì)應(yīng)的圓周角關(guān)系就可以建立等角關(guān)系，從而用于求解角度、探索相似三角形的條件.

例2 如圖3，△ABC的外接圓為⊙O，BC為⊙O的直徑，連接AO，過(guò)點(diǎn)B作AO的垂線，與AC交于點(diǎn)D，與⊙O交于點(diǎn)E，求證：AB·BC=BD·AC.

分析 AB·BC=BD·AC可變形為■=■，顯然是△BAD與△CAB的相似性質(zhì). 兩三角形存在公共角，于是只需要證明圓周角∠ABD與∠C相等即可，后者可結(jié)合圓內(nèi)的垂徑定理來(lái)完成，即由定理獲得平分弦和弦所對(duì)的弧，然后由等弧來(lái)推導(dǎo)對(duì)應(yīng)的圓周角相等.

證明 因?yàn)锽E⊥AO，AO為⊙O的半徑，于是由垂徑定理可得AO平分弦BE，且■=■. 根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓周角相等”，可得∠ABD=∠C. 又∠BAD=∠BAC，所以△BAD∽△CAB. 所以■=■，即AB·BC=BD·AC.

評(píng)析？搖 垂徑定理涉及平分弦和平分弧，因此可完成“弧相等”到“所對(duì)圓周角相等”的過(guò)渡. 上述求證線段比值關(guān)系，根據(jù)其形式可以聯(lián)想到相似三角形，后續(xù)引入垂徑定理來(lái)構(gòu)建相等的圓周角，則變得水到渠成. 因此，求解圓內(nèi)的角度問(wèn)題時(shí)，可以充分提取垂徑定理成立的條件，完成角度轉(zhuǎn)化.

3. 構(gòu)建等長(zhǎng)線段，線段轉(zhuǎn)化求值

垂徑定理建立了角度、弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)等幾何量，根據(jù)定理同樣可以構(gòu)建等長(zhǎng)線段，為后續(xù)的幾何分析做基礎(chǔ). 另外，還可以利用垂徑定理的線段轉(zhuǎn)化來(lái)分析對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題.

例3 如圖4，AB為⊙O的直徑，定長(zhǎng)弦CD在⊙O上滑動(dòng)（點(diǎn)C，D不與圓上的點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為P，連接PM. 已知CD=3，AB=8，設(shè)PM=a，試求a的最大值.

分析因?yàn)镃D為動(dòng)弦，所以點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，這是造成線段PM長(zhǎng)度變化的根源. 可以采用線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化的方式，通過(guò)分析直觀線段的長(zhǎng)度變化來(lái)求PM的最大值. 已知CP⊥AB，則可以結(jié)合垂徑定理構(gòu)建等長(zhǎng)線段，即延長(zhǎng)CP與⊙O相交于點(diǎn)E，由定理可知點(diǎn)P為CE的中點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)可知“PM=■DE”始終成立，因此后續(xù)只需要分析DE的長(zhǎng)度變化即可.

解答延長(zhǎng)CP與⊙O相交于點(diǎn)E，連接DE. 根據(jù)垂徑定理可得CP=EP，即點(diǎn)P是線段CE的中點(diǎn). 又點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，所以PM為△CDE的中位線. 所以PM=■DE. 因?yàn)镈E是⊙O的動(dòng)弦，因此當(dāng)DE為圓的直徑時(shí)DE達(dá)到最長(zhǎng)，此時(shí)PM的長(zhǎng)也達(dá)到最大，且PM的最大值與⊙O的半徑長(zhǎng)相等，即PM■=4. 所以a的最大值為4.

評(píng)析 上述問(wèn)題是求線段的最值，解析時(shí)通過(guò)延長(zhǎng)線段構(gòu)建了滿足垂徑定理的條件，完成了線段轉(zhuǎn)化. 實(shí)際上，垂徑定理中的平分弦可以衍生出“中點(diǎn)”內(nèi)容，聯(lián)系中位線即可構(gòu)建線段關(guān)系或相似三角形.

4. 構(gòu)建特殊四邊形，性質(zhì)借用破題

垂徑定理是基于圓所構(gòu)建的，但求解圓內(nèi)問(wèn)題時(shí)有時(shí)需要借用其他幾何圖形的性質(zhì)特征，此時(shí)可以考慮利用垂徑定理的垂直弦來(lái)完成，如構(gòu)建矩形.

例4如圖5，AB和AC是⊙O內(nèi)兩條相互垂直的弦，已知AB=8，AC=6，試求⊙O半徑的長(zhǎng).

分析求⊙O半徑的長(zhǎng)，實(shí)際上就是求線段AO的長(zhǎng). 已知AB⊥AC，可以進(jìn)一步利用垂徑定理來(lái)構(gòu)建矩形，則AO就是矩形的對(duì)角線，后續(xù)可利用矩形的性質(zhì)求解.

解答分別取AB和AC的中點(diǎn)D， E，連接OE，OD，從而可得OE⊥AC，OD⊥AB，即四邊形ADOE為矩形，AO為矩形的對(duì)角線. 分析可知AD=4，OD=AE=3，則矩形的對(duì)角線AO=■=5，即⊙O的半徑為5.

評(píng)析根據(jù)垂徑定理可以構(gòu)建直角關(guān)系，利用該關(guān)系就可以構(gòu)建含有直角的幾何圖形，如直角三角形、矩形、正方形等，因此解決問(wèn)題時(shí)利用特殊圖形的性質(zhì)即可快捷解題，于是可以合理利用垂徑定理來(lái)完成圖形構(gòu)建.

關(guān)于垂徑定理學(xué)習(xí)的思考

垂徑定理是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的定理之一，利用該定理可以建立角度、弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)之間的關(guān)聯(lián)，因此可以作為綜合問(wèn)題的突破工具. 上述是關(guān)于垂徑定理的四個(gè)應(yīng)用點(diǎn)探討，其適用題型和構(gòu)建思路具有一定的參考價(jià)值，下面對(duì)其做進(jìn)一步思考.

1. 關(guān)注定理核心，理解定理本質(zhì)

垂徑定理是基于圓特性所總結(jié)的綜合性定理，充分解析可知定理中還隱含著對(duì)稱內(nèi)容，即等長(zhǎng)弦、中點(diǎn)、等長(zhǎng)弧，實(shí)際上是對(duì)圓對(duì)稱特性的一種體現(xiàn). 同時(shí)，在教學(xué)論證時(shí)也常通過(guò)折紙、軸對(duì)稱分析來(lái)完成. 學(xué)習(xí)定理時(shí)需要關(guān)注定理的對(duì)稱核心，理解定理內(nèi)容構(gòu)建的基礎(chǔ)是圓的對(duì)稱性. 而在實(shí)際教學(xué)中，可以首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形，然后通過(guò)求證圓的軸對(duì)稱性來(lái)逐步向定理過(guò)渡.

2. 深入拆分定理，逐步拓展推廣

通過(guò)對(duì)垂徑定理的剖析可知，其中涉及五大內(nèi)容，包括垂直于弦、過(guò)圓心、平分弦、平分優(yōu)弧和平分劣弧，學(xué)習(xí)時(shí)需要掌握定理的互推關(guān)系，并聯(lián)系關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行拓展推廣. 例如結(jié)合“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”推廣到角度證明，利用其中的垂直關(guān)系來(lái)構(gòu)建直角三角形、矩形等. 教學(xué)垂徑定理時(shí)，不能局限于定理本身，還應(yīng)關(guān)注定理的拓展點(diǎn)，這是利用該定理破解綜合題的關(guān)鍵. 完成定理教學(xué)后，可以結(jié)合變式問(wèn)題對(duì)定理進(jìn)行深度挖掘，以逐步提升學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用能力.

3. 總結(jié)反思定理，發(fā)展解題思維

垂徑定理作為圓內(nèi)問(wèn)題最為常用的定理之一，具有極高的應(yīng)用性，上述展示了垂徑定理在線段、角度、最值等問(wèn)題中的應(yīng)用，其應(yīng)用思路具有一定的參考價(jià)值. 應(yīng)用垂徑定理時(shí)，首先需要明晰定理適用的條件，然后基于定理內(nèi)容推導(dǎo)結(jié)論，可以采用數(shù)形結(jié)合、圖形拆分等模型構(gòu)建的手段. 定理應(yīng)用過(guò)程中可以鍛煉解題思維，教學(xué)時(shí)需要教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思定理的內(nèi)容，深度挖掘定理背后的思想內(nèi)涵和方法價(jià)值，逐步形成自我解題策略，促進(jìn)學(xué)生解題思維的發(fā)展.