何華萍

[摘? 要] 動點問題具有復(fù)合性的特點，涵蓋多個知識點，在思維方面對學(xué)生的要求較高. 引導(dǎo)畫圖、動靜轉(zhuǎn)化、分類討論的策略，能讓學(xué)生找準解題“突破口”，切準解題“關(guān)鍵點”，提升解題“全面性”，從而高效地解決“動點問題”.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);動點問題;解題指導(dǎo)

動點問題對于初中生而言，具有一定的難度. 該問題一方面考查了圖形變換中的知識點，另一方面涵蓋了三角函數(shù)等知識，題型較為復(fù)雜，因此大部分學(xué)生不能完整地進行解答. 教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生的實際學(xué)習(xí)情況，對學(xué)生進行針對性的指導(dǎo)，排除學(xué)生解答過程中出現(xiàn)的問題，幫助學(xué)生在掌握相關(guān)知識的同時，鍛煉學(xué)生的解題能力. 動點問題具有復(fù)合性的特點，涵蓋了多方面的知識，在思維方面對學(xué)生的要求較高，所以教師在課堂上應(yīng)當(dāng)為學(xué)生制定與其學(xué)習(xí)水平及理解能力相適應(yīng)的指導(dǎo)，幫助學(xué)生攻克這一難關(guān).

引導(dǎo)畫圖——找準解題“突

破口”

初中數(shù)學(xué)中的動點問題均以幾何問題為基礎(chǔ)，因此面對這類問題時，應(yīng)先將其化為幾何問題，降低題目難度，并根據(jù)題目條件畫出相應(yīng)的幾何圖形，再以該圖形為基礎(chǔ)，有條理地想象動點的運動過程及圖形發(fā)生的變化，同時將相應(yīng)的變化反映到圖形中. 這一過程鍛煉了學(xué)生的理解能力及思維能力. 教師應(yīng)當(dāng)注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，通過不同的練習(xí)鍛煉學(xué)生的畫圖能力、抽象思維能力等，幫助學(xué)生有效地提升解題能力，使學(xué)生在解題時可以在較短的時間內(nèi)找到突破口.

例如，有這樣一道題：“已知△ABC的三個頂點A，B，C均在同一個圓的圓周上，BC是該圓的直徑，A為動點，且在圓周上運動. 當(dāng)點A運動到什么位置時，該三角形為等腰三角形？同時求出△ABC的面積隨著點A的運動而呈現(xiàn)的變化規(guī)律. ”對于這道題的解題指導(dǎo)，教師首先要讓學(xué)生以題目條件為基礎(chǔ)作圖，并引導(dǎo)學(xué)生探索點A的運動情況——當(dāng)點A在哪些位置時存在特殊情況，并根據(jù)上述情況探求三角形面積存在的規(guī)律，同時在圖形中做出相應(yīng)的變化，讓學(xué)生直觀地感受到隨著動點的運動而帶來的變化. 這樣做，一方面能細化學(xué)生的解題過程;另一方面，能提升學(xué)生的實踐動手操作能力.

引導(dǎo)學(xué)生畫圖，能讓學(xué)生有效地對“動點問題”進行正確審題，把抽象的“動點問題”形象化，這樣自然能讓他們快速地找到解決此類問題的突破口.

動靜轉(zhuǎn)化——切準解題“關(guān)

鍵點”

“動點問題”的特點是靜中有動、動中有靜，因此，解決動點問題時，要引導(dǎo)學(xué)生通過動靜結(jié)合的策略切準解題的關(guān)鍵點，以此達到高效解題之效.

1. 在動中尋靜，找到特殊點

動點問題區(qū)別于其他問題的最大特點為“動”，在平面的基礎(chǔ)上增添了變量，因此學(xué)生要隨著動點的變化在腦海中構(gòu)建相應(yīng)的思路，這一步對學(xué)生而言存在較高的難度. 初中數(shù)學(xué)中的許多幾何問題處于平面靜態(tài)維度，思考方式并不復(fù)雜，動點問題同樣以幾何為基礎(chǔ)，因此解決這類問題時應(yīng)當(dāng)參照普通幾何問題以靜制動，將不可控的動點問題轉(zhuǎn)化為可以進行直接思考的靜態(tài)問題. 教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目條件，在動點的變化中找到某一特殊位置，將看似復(fù)雜的動點問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生更容易理解的普通問題，引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)中提升解決問題的能力.

例如，有這樣一道題：“在正方形ABCD中，E是BC邊上的一個動點，∠AEF是直角，正方形ABCD的外角∠DCG的平分線CF與EF交于點F，證明：AE=EF. ” 對于這道題，教師要引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)題意畫出圖形，并問學(xué)生：要如何證明無論E運動到哪一個位置，AE都與EF相等？學(xué)生結(jié)合過去所學(xué)的知識，想通過全等三角形的知識來證明，卻因為E是一個動點，不能直接將其所在的線段作為解題條件而不知所措. 此時，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考“當(dāng)E運動到哪一個特殊位置時，會出現(xiàn)能夠證明三角形全等的條件”. 學(xué)生收到提示后，很快便發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點E在BC的中點時，該動點將成為“靜點”. 并可以進一步對該問題進行解答：在AB上截取BM=BE，連接EM，證明△AEM≌△EFC，由此得到AE=EF.

可見，動中尋靜的策略能讓學(xué)生掌握解題思路，能幫助學(xué)生面對此類問題時可以切準解題的關(guān)鍵點，從而正確、快速地解題.

2. 在以靜制動中找到變量點

將動點問題化為靜態(tài)問題后，需要運用函數(shù)的圖像體現(xiàn)動點的運動變化，并探究該函數(shù)所具有的內(nèi)涵，以圖形存在的變量為基礎(chǔ)，構(gòu)建與之相對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，運用動態(tài)的目光觀察相關(guān)變量的聯(lián)系，以此破解該類問題.

例如，有這樣一道題：“有一只螞蟻在扇形OAB（O為扇形所在圓的圓心）中從點O處開始，沿著整個扇形外沿移動，將螞蟻的爬行時間設(shè)為t，螞蟻與出發(fā)點的距離設(shè)為s，求s關(guān)于t的函數(shù)圖像. ”在這道題中，當(dāng)螞蟻從點O運動到點A時，螞蟻與原點O的距離s越來越大;當(dāng)螞蟻從點A運動到點B時，螞蟻與原點O的距離s并未發(fā)生變化;當(dāng)螞蟻從點B運動到點O時，螞蟻與原點O的距離s越來越小.

從上述問題的分析過程中我們可以總結(jié)出相關(guān)規(guī)律，可以讓學(xué)生將其應(yīng)用到其他相似的題型之中. 如：在邊長為4厘米的正方形ABCD中，P為動點，點P以每秒2厘米的速度從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的方向，在正方形上運動，最終到達點D. 設(shè)點P運動了t秒時，△APD的面積為S，求S的變化規(guī)律.

3. 在動靜互換中找到隱含點

當(dāng)遇到求最值或特殊幾何圖形的動點問題時，動點一般來說都存在特殊位置形成的特殊的數(shù)量關(guān)系或圖形當(dāng)中. 所以解決此類動點問題，需要動靜相互轉(zhuǎn)換，這主要體現(xiàn)在要重點抓住圖形變化時隱含的靜止情況. 分析這一情況，能夠?qū)⒁话愕膯栴}特殊化，進而幫助學(xué)生理清動和靜的內(nèi)在關(guān)系. 除此之外，一些動點問題還可以利用理論逆推的方法來解決——理論逆推能夠有效地找到結(jié)論成立的條件，進而快速解決問題. 因此，解決動點問題時，要注重抓住動點運動的特殊位置，以掌握好其運動規(guī)律.

例如，有這樣一道題：“在邊長為2厘米的正方形ABCD中，對角線AC上有一動點P，BC的中點為Q，連接PQ與PB，在怎樣的情況下，△PBQ的周長最??？”在△PBQ中，因為P為動點，因此PQ與PB的長度不確定. B，Q位于AC的同側(cè)，所以可以以AC為對稱軸，作點Q的對稱點H（H與CD的中點重合），然后連接BH與AC交于點P，此時的點P就是滿足條件的位置. 可以得到PQ=PH，所以PQ+PB=PH+PB≥BH. 所以△PBQ的最小周長為BH+BQ的長.

在解決上述問題的過程中，也可以求出下面問題的具體答案：“如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4■，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F(xiàn)分別是AB，AC的中點. 固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位長度的速度沿BC方向運動（如圖2），直到點D與點C重合時停止. 設(shè)運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為D′E′F′G′，在運動過程中，四邊形BD′G′G能否是菱形？若能，請求出此時x的值;若不能，請說明理由.”

可見，在解題的過程中，有效利用動靜互換的方式，可以較好地對初中數(shù)學(xué)中的動點問題進行解決.

分類討論——提升解題“全

面性”

分類討論是初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想方法，這一數(shù)學(xué)思想方法在動點問題中同樣重要，其原因在于動點運動到不同位置時，呈現(xiàn)出來的圖形不一樣，所以存在多種情況，需要分類討論. 如動點運動到某個位置時，形成直角三角形，學(xué)生將分類討論動點運動到哪些位置時出現(xiàn)直角. 大部分學(xué)生可以很快地想到一種解決方案，便專注地將這一思路寫得盡善盡美，從而忽視了其他情況的存在. 因此，教師在課堂上應(yīng)當(dāng)潛移默化地讓學(xué)生養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣，從而提升學(xué)生解題的完整度.

例如，有這樣一道題：“在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4■，∠B=45°. M與N為動點，M從點B出發(fā)向點C勻速運動，運動速度為每秒2個單位長度;N從點C出發(fā)向點D勻速運動，運動速度為每秒1個單位長度. M，N同時運動，假設(shè)運動了t秒，那么當(dāng)t為多少時，△MNC是等腰三角形？”對于這道題，單純地從圖形出發(fā)，可以看出MC與MN較為相似，可能距離相等，因此大部分學(xué)生會將MC與MN作為等腰三角形中兩條相等的邊. 教學(xué)中，教師可以利用電子白板演示動點在圖形中的運動路徑，并隨著動點的運動形成三種類型，引導(dǎo)學(xué)生對此展開討論. 同時著重提醒學(xué)生在面對動點問題時，應(yīng)盡量做多種方案的假設(shè)，力求得到最詳盡的答案.

綜上所述，“動點問題”是初中數(shù)學(xué)中的重點問題，也是難點問題. 教學(xué)中，教師要基于學(xué)生的實際學(xué)習(xí)情況，找到最佳解決方法，讓學(xué)生可以有效地解決“動點問題”. 學(xué)生通過這一過程，可以學(xué)會如何解決重點問題，從而提升解決問題的信心，獲得更多直面中考的勇氣和能力.