唐巧莉

[摘? 要] 幾何探究題是初中數學重要的問題類型，通過以知識探究的形式來設置問題，具有綜合性強、拓展性高的特點. 該類試題的解答需要學生以幾何知識為基礎，結合探究的方法. 文章以一道圖形旋轉為背景的幾何探究題為例，探究其突破思路，并開展解后反思，提出相應的教學建議，與讀者交流、學習.

[關鍵詞] 幾何;探究;平行;特殊;一般;猜想

試題呈現(xiàn)

試題? （2019江蘇淮安中考）如圖1，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，點D是線段BC的中點.

小明對圖1進行了如下探究：在線段AD上任意取一點P，連接PB，然后將線段PB繞著點P逆時針旋轉80°，點B的對應點為點E，連接BE，于是得到了△BPE. 小明發(fā)現(xiàn)，隨著點P在線段AD上的位置變化，點E的位置也在發(fā)生變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側.

請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：

（1）當點E在直線AD上時，如圖2.

①∠BEP=______;

②連接CE，直線CE與直線AB的位置關系為______.

（2）請在圖3中畫出△BPE，使點E在直線AD的右側，連接CE，試判斷直線CE與直線AB的位置關系，并說明理由.

（3）當點P在線段AD上運動時，求AE的最小值.

探究突破

本題屬于中考常見的幾何探究題，以三角形的內容為基礎，結合幾何旋轉，通過問題探究的形式考查幾何綜合知識. 問題分為三小問，實際上問題之間具有關聯(lián)遞進性，下面逐步探究突破過程.

1. 第一步：把握特殊情形

第（1）問中的點E在直線AD上，屬于特殊情形的探究，需要關注原三角形ABC的性質及旋轉過程，同時適度結合猜想進行探究.

對于①問，如圖2，根據旋轉過程可以獲得兩方面的內容：一是由“逆時針旋轉80°”可得∠BPE=80°;二是由旋轉前后線段長不變可得PB=PE，進而可知∠PBE=∠PEB（等邊對等角）. 綜合上述可知△PBE是一個頂角為80°的等腰三角形，從而可計算出∠BEP=50°.

對于②問，線段之間的常見位置關系主要有平行和垂直，結合圖中的情形可以猜想CE與直線AB為平行關系，則只需結合兩直線平行的判定定理來探究等角或補角即可. 連接CE，如圖4，因為△ABC為等腰三角形，點D是線段BC的中點，所以AE是線段BC的垂直平分線. 所以EB=EC，AD⊥BC. 計算可得∠EBD=∠ECD=40°. 又∠BAC=100°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=40°，進而可得∠ABC=∠ECD. 所以AB∥CE（內錯角相等，兩直線平行），即直線CE與直線AB的位置關系為平行.

2. 第二步：一般情形推廣

第（2）問則需要確保點E位于直線AD的右側，屬于點E位置的另一種情形，需要明晰兩點：點E的位置由旋轉角和旋轉半徑BP兩者共同決定，但旋轉角始終為80°，則點E的位置就僅受BP長的影響. 進一步深究有：點P越靠近點A，BP就越長，則旋轉后點E就越向AD右側移動. 上述就是點E的動態(tài)旋轉過程，以及影響點E位置的因素. 實際分析時，可以采用特殊情形法，即只需取點E位于AD右側的某一位置即可，然后基于圖像結合第（1）問的解析方法，采用“猜想—證明”的思路來探究，具體如下.

如圖5，以點P為圓心、PB的長為半徑畫圓，使得旋轉后點B的對應點E位于直線AD的右側，然后連接PC. 顯然AD是BC的垂直平分線，則∠ABC=∠ACB=40°，PB=PC. 又∠BCE=■∠BPE=40°，從而有∠BCE=∠ABC. 所以AB∥EC. 所以直線CE與直線AB依然是平行關系.

3. 第三步：綜合拓展應用

第（3）問求點P在線段AD上運動時，AE的最小值，針對幾何探究題，需要充分結合前兩問的結論來構建思路. 由上述結論可猜想：無論點P在AD上如何移動，直線CE始終與AB平行. 而點C為頂點，則點E始終在射線CE上運動，即隨著點P在線段AD上運動，點E在射線CE上運動，如圖6. 過點A作射線CE的垂線，垂足為H，顯然當點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的長與線段AB的長相等，即AE的最小值為3.

解后反思

上述是以圖形變換為基礎的幾何探究題，整體設計由特殊到一般，由結論到應用，能夠充分體現(xiàn)知識探究應用的過程，不僅全面考查了學生對幾何知識的掌握情況，還考查了學生的探究能力. 筆者認為下面幾點需要深入反思.

1. 探究突破的關鍵點

問題以幾何旋轉為基礎，由點的位置討論進行探究深入，分設了三個小問，每一問的突破均需要充分利用前一問的結論及論證過程. 因此對于（1）問，其突破的關鍵是融合感性認識與理性分析，充分利用旋轉特性來論證猜想. 而對于后兩問，則需要充分了解分類情形出現(xiàn)的根源，結合（1）問的結論來適度猜想，并嚴謹論證. 總體而言，深刻認識旋轉特性是求解該類試題的基礎，從旋轉的過程中提煉出“變”與“不變”的條件是解題的關鍵.

2. 值得學習的內容

幾何探究題的問題形式突出“探究”這一特點，即試題具有一定的開放性，通過問題形式可以引導學生遞進思考，獲得相應的探究能力. 以上述考題為例，實際上三小問就是圍繞幾何旋轉特性開展的幾何探究，其特殊之處在于動態(tài)特性的轉化形式. 如第（2）問，借助幾何圓來呈現(xiàn)幾何旋轉，由圓的特性來轉化旋轉特性，利用隱形圓可以簡潔地突破難點. 而第（3）問則是對第（2）問結論的深入拓展，以此為基礎構建了相應的動點軌跡，即以特殊點的位置為依托，由“點”成“線”，以“線”定“位”.

3. 問題的深度變式

對于上述問題，了解其命題核心后，可以依托幾何知識對其適度變式.

變式1？搖 （原試題的條件不變）請在圖3中畫出△BPE，分析直線AD的右側是否存在點E，使得直線CE與直線AB平行. 若存在，請判斷存在的個數，并說明理由.

參考思路？搖 在直線AD的右側任意作出一點E，結合旋轉特性和兩線平行的判定條件來構建思路并加以論證，從而可判定這樣的點有無數個.

變式2？搖 （原試題的條件不變）當點P在線段AD上運動時，試分析點E的運動軌跡，并求出直線AE的取值范圍.

參考思路？搖 結合上述探究結論，很容易判斷出點E的運動軌跡為一條線段，則只需要根據點P在線段AD上的運動范圍即可確定AE的最大值和最小值.

教學建議

1. 注重引導設問，倡導獨立思考

幾何探究題突破的難點是如何利用題干條件來提出猜想的，這需要學生掌握相應的探究方法，包括對條件的解讀和思考方向. 以上述考題為例，兩直線常見的位置關系有兩類：平行和垂直，因此問題的實質就是挖掘平行或垂直的判定條件. 分析時只需要關注其中的角度即可. 而在教學培養(yǎng)時，可以采用引導設問的方式，給出核心條件，以此為出發(fā)點設置關聯(lián)問題，利用問題的指向性來引導學生思考，逐步培養(yǎng)學生獨立思考的能力.

2. 注重解后思考，總結解題方法

幾何探究題是中考常見的問題形式，該類題的特點是設問具有關聯(lián)性，以探究應用為主. 解決該類試題時，需要教師引導學生對其加以解讀，提煉相應的解題思路. 以上述幾何旋轉為背景的探究題為例，探究時需要合理利用“從特殊到一般”的數學思想，采用“猜想—論證”的解題思路來加以突破. 另外，解題突破時，還應注意總結模型構建的方法，例如上述所涉及的繪制“隱形圓”、連點成線等. 解題過程不僅是解題策略的融合，還是解題思想的綜合過程，在解后思考階段，教師應提煉解題過程中的數學思想，使學生逐步理解數學思想的內涵.

3. 注重問題變式，拓展解題思維

“解一題，同類題”是開展考題教學的意義所在，即需要通過類型考題講解使學生充分認識考題結構，深入理解解題方法. 而開展問題變式是重要的教學方法. 變式探究的過程可實現(xiàn)問題重構、思維重組，學生的思維可以獲得極大的鍛煉. 以上述考題為例，通過變式1，學生可以充分認識到兩線平行的一般性;由變式2學生可以認識到動點的運動軌跡. 因此，教學中，需要教師在解后回顧階段針對教學目的合理設置一些變式問題，引導學生思考，深入探究問題，以拓展學生的思維.

寫在最后

幾何探究題具有極高的教學價值，是知識與能力融合最為緊密的代表性問題，教學時應注重探究方法的講解，合理設問，逐步引導，使學生在突破問題的同時獲得相應的探究方法. 探究題的拓展性很強，在解后反思階段，有必要引導學生反思解題過程，總結解題思路，并通過適度的變式來提升學生的解題思維，以促進學生數學素養(yǎng)的發(fā)展.