楊建瑞

【摘要】問題是數(shù)學(xué)的心臟，將具有深刻數(shù)學(xué)背景的數(shù)學(xué)問題作為本源進(jìn)行開發(fā)，可以產(chǎn)生新的課堂教學(xué)案例，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】角化邊;邊化角;數(shù)形結(jié)合;演繹推理;極端原理

一、眾里尋它千百度——選例

那是一次試卷講評(píng)課，下面實(shí)錄師生的思維“遭遇戰(zhàn)”.眾里尋它千百度，踏破鐵鞋無覓處，課堂遭遇恰逢時(shí).

經(jīng)過積極討論學(xué)生們達(dá)成共識(shí)，解法1貌似有理，但仔細(xì)審題，發(fā)現(xiàn)他沒有應(yīng)用到“銳角三角形”這一條件，所得下界不夠“到位”.因?yàn)樗鼉H用了題意“銳角△ABC”的必要條件，不是充分條件，所以應(yīng)求“下確界”.

這是一道條件簡潔、形式對(duì)稱、結(jié)構(gòu)優(yōu)美并具有深刻內(nèi)涵的素養(yǎng)型試題.解法1：“角化邊”著重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);解法2：“邊化角”著重考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);解法3：“數(shù)形結(jié)合”著重考查直觀想象素養(yǎng);解法4：“演繹推理”著重考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng).教師因勢(shì)利導(dǎo)，抓住學(xué)生思維痛點(diǎn)，剝絲抽繭，可以全方位地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

三、接天蓮葉無窮碧——變式

高考試題的特點(diǎn)是“源于教材，但又略高于教材”.這就需要教師對(duì)課本例題、習(xí)題適當(dāng)改編，利用邏輯演繹法、推廣引申法、逆向思維法、極端原理法、知識(shí)重組法等，讓學(xué)生在開放的題海里感受解題過程.

從變式問題，我們可以看到解決這類問題的關(guān)鍵是“變化中的角B”的刻畫.解法2：直接把所求邊長問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用其有界性來解決，這種方法無疑是最直接也是最容易推廣的.解法3：出奇制勝地引入圓的模型描述變化中的角和“動(dòng)態(tài)平衡”下的三角形，這是對(duì)“范圍”最形象直觀的描述.解法4：從特殊位置和對(duì)稱位置入手，解題可以達(dá)到事半功倍的效果.而解法1借助邊來刻畫角的范圍是最抽象的，解法稍遜，但只要對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐錅?，?jīng)大量的計(jì)算也可以達(dá)到目的.

四、映日荷花別樣紅——感悟

預(yù)設(shè)誠可貴，生成價(jià)更高.課堂上從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密推導(dǎo)，先得出此題的繁解，再抓住題型特征通過分析獲得簡解，實(shí)現(xiàn)了分層思考、多角度思考、深度思考、逐步優(yōu)化的一題四解，最后將問題推廣到一般情形.

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，暴露思維過程是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”（涂榮豹教授語），數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)也應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)思考，數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是要教學(xué)生“怎樣思考”.我們要教大多數(shù)學(xué)生能想到的方法，教本源的方法，有技巧也要教技巧是怎么想出來的.古人詩云：“鴛鴦繡出任君看，莫把金針度與人.”作為教師，既要把繡出的“鴛鴦”給學(xué)生看，更要把“金針”授給學(xué)生，讓學(xué)生自己有能力去繡出更新更美的“鴛鴦”.

【參考文獻(xiàn)】

[1]杜紅全. 例談高考中的三角最值問題[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2018（05）：32-33.

[2]楊冠華. 對(duì)于解三角形中最值問題的思考[J].數(shù)理化解題研究，2017（31）：2-3.

[3]劉素梅. 三種數(shù)學(xué)思想在解三角形問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二）， 2016（09）：13.