湯光霖

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 理學(xué)院， 北京 100083)

演繹推理的準(zhǔn)確表述與另一類非演繹推理
——兼論數(shù)學(xué)證明中的推理

湯光霖

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 理學(xué)院， 北京 100083)

在數(shù)學(xué)推理中，除演繹推理外，尚存在另一類推理；也就是邏輯學(xué)中增加了從數(shù)學(xué)推理中揭示出的另一類推理; 并且對(duì)演繹推理的傳統(tǒng)表述進(jìn)行了澄清，作出準(zhǔn)確的表述。

演繹推理; 非演繹推理; 推理規(guī)則; 邏輯推論

引 論

討論數(shù)學(xué)推理，需要先對(duì)邏輯作簡(jiǎn)單的回顧。命題是可判斷真、假的句子。從若干命題(前提)直接得出一個(gè)命題(結(jié)論)的思維過程稱為推理。演繹推理概念很早就有了，它的傳統(tǒng)表述有以下幾種：一、《中國大百科全書》哲學(xué)卷“推理”條中說“演繹推理的特點(diǎn)在于如果前提都是真，則結(jié)論必然是真”。二、在一些形式邏輯中的表述是：從一般性命題的前提推得特殊性的結(jié)論的推理稱為演繹推理。三、演繹推理就是由前提推出結(jié)論：如果前提真，則結(jié)論真。例如，在本文列舉的參考文獻(xiàn)[1]中，有這樣的表述：“由A1，……，An和A是任何命題，在演繹推理中，我們研究

1)由A1，……，An推出A

也就是

2)如果A1，……，An為真，則A真

是否成立的問題?！毖堇[推理與歸納類推理是傳統(tǒng)邏輯中的兩類基本推理。

一般均認(rèn)為數(shù)學(xué)推理就是演繹推理。這是根據(jù)演繹推理傳統(tǒng)表述得出的結(jié)論。由邏輯史看，形成這種觀點(diǎn)是自然的，也是行之有效的。但在數(shù)理邏輯的發(fā)展過程中，隨著1930年哥德爾完備性定理及1936年塔爾斯基的邏輯推論概念出現(xiàn)之后，上述演繹推理傳統(tǒng)表述是否與數(shù)理邏輯中邏輯演算的形式定理一致便是一個(gè)問題。于是建立在演繹推理傳統(tǒng)表述上的數(shù)學(xué)推理傳統(tǒng)觀點(diǎn)也就成為問題。

本文在數(shù)學(xué)推理中，揭示出存在既不是與形式定理一致的傳統(tǒng)表述的演繹推理，不是歸納類推理的推理，但它的結(jié)論必真，故把它稱為結(jié)論必真的非演繹推理。從而對(duì)數(shù)學(xué)推理屬于演繹推理的傳統(tǒng)觀點(diǎn)進(jìn)行反思，對(duì)數(shù)學(xué)推理得出了不同的結(jié)論; 并對(duì)演繹推理的傳統(tǒng)表述作了澄清，使澄清后的新表述與數(shù)理邏輯演算中的形式定理一致。這就是本文的主要內(nèi)容。

應(yīng)該說明，歸納類推理是結(jié)論具有或然性的非演繹推理，而結(jié)論必真的非演繹推理是與之不同的另一類非演繹推理。以下將結(jié)論必真的非演繹推理簡(jiǎn)稱“非演繹推理?！?/p>

一、演繹推理的準(zhǔn)確表述

為了澄清演繹推理的傳統(tǒng)表述，作為第一步，將演繹推理表述為：由前提中命題的邏輯性質(zhì)推出結(jié)論；如果前提真，則結(jié)論必真。前提與結(jié)論都是特定命題。

設(shè)有方程

ax2+bx+c=o

(1)

令A(yù)表“(1)是二次方程”，B表“(1)有兩個(gè)根”。如果“設(shè)A，則B”(前提);則必有“設(shè)非B，則非A”(結(jié)論)。這是一個(gè)演繹推理，它是根據(jù)假言命題“如果p，那么q”的邏輯性質(zhì)推導(dǎo)的，稱為假言易位推理。

若將演繹推理中A、B看成命題變?cè)?，便由演繹推理得到對(duì)應(yīng)的推理規(guī)則。在哥德爾完備性定理證明中，有三個(gè)特定命題(見[1]331)構(gòu)成的一個(gè)演繹推理(其結(jié)論便是該定理本身)對(duì)應(yīng)推理規(guī)則: 設(shè)A則B且設(shè)非A則非C; 那么設(shè)C真，則B真。這個(gè)推理規(guī)則的生成方法與前一個(gè)推理規(guī)則相同。在形式邏輯中講述了多種特殊的演繹推理，它們各自都有自己對(duì)應(yīng)的推理規(guī)則。由此可知，第一步表述的演繹推理均對(duì)應(yīng)一個(gè)推理規(guī)則。推理規(guī)則的特點(diǎn)是：不論命題變?cè)狝、B、C被以何種方式賦以真值t或假值f，如果前提真，則結(jié)論必真。

運(yùn)用邏輯聯(lián)結(jié)詞符號(hào)，例如將前一個(gè)推理規(guī)則的前提與結(jié)論符號(hào)化為數(shù)理邏輯中的合式公式A→B, ┑B→┑A(chǔ)，則凡賦值使A→B真，則必使┑B→┑A(chǔ)真。在數(shù)理邏輯中，把這種情況稱為后者是前者的邏輯推論，用符號(hào)“╞”表示：

A→B╞ ┑B→┑A(chǔ)

(2)

顯然，推理規(guī)則與對(duì)應(yīng)的邏輯推論是等價(jià)的; 也就是邏輯推論反映了推理規(guī)則 (見[1]316)；反之，亦然。這里所說的反映關(guān)系對(duì)謂詞邏輯也是成立的。

根據(jù)命題邏輯的完備性定理 (見[1]324)，如果邏輯推論(2)成立，則必有形式定理

A→B┣ ┑B→┑A(chǔ)

(3)

成立。(3)中的邏輯符號(hào)“┣”表示：在數(shù)理邏輯自然推理系統(tǒng)的形式公理(有若干條)及形式推理規(guī)則(由A→B和A推出B)下,由符號(hào)“┣”左邊的合式公式序列,用形式推理,推出符號(hào)“┣”右邊的合式公式。

在命題邏輯中，上述第一步表述的演繹推理必有數(shù)理邏輯中的形式定理與之相對(duì)應(yīng)，這就說明演繹推理的第一步表述與數(shù)理邏輯中的形式定理是一致的。

前面第一步表述的演繹推理需進(jìn)一步明確,把演繹推理的傳統(tǒng)表述改成如下的新表述。如果由前提為真推出結(jié)論必真的特定推理必定對(duì)應(yīng)一個(gè)推理規(guī)則，于是此特定推理稱為演繹推理。它的特征是：演繹推理必定對(duì)應(yīng)一個(gè)推理規(guī)則并對(duì)應(yīng)數(shù)理邏輯中的一個(gè)形式定理。因此新表述是演繹推理的準(zhǔn)確表述。

一個(gè)謂詞演繹推理必定對(duì)應(yīng)一個(gè)謂詞推理規(guī)則。根據(jù)前面所說的反映關(guān)系，此推理規(guī)則必對(duì)應(yīng)一個(gè)邏輯推論；再根據(jù)哥德爾完備性定理(見[1]336)必有謂詞邏輯的形式定理與之相對(duì)應(yīng)。因此，演繹推理的新表述與數(shù)理邏輯中的形式定理是一致的。

例如：一切自然數(shù)都有繼數(shù)，則不存在自然數(shù)沒有繼數(shù)。這個(gè)特定推理對(duì)應(yīng)謂詞邏輯的推理規(guī)則：如果一切x具有性質(zhì)A，則不存在個(gè)體x不具有性質(zhì)A。(驗(yàn)證從略)因此特定推理是謂詞邏輯中的演繹推理。規(guī)則中的x稱為個(gè)體，指稱個(gè)體對(duì)象；A稱為謂詞變?cè)硎救我庖环N性質(zhì)。可以通過域S={自然數(shù)}對(duì)A給定賦值ф(ф表示性質(zhì)“自然數(shù)有繼數(shù)”)說明特定推理是推理規(guī)則的特殊情況。將推理規(guī)則的前、后件符號(hào)化為合式公式

?xA(x)，┑?x┑A(chǔ)(x)

其中符號(hào)“?”表示“一切”、“全部”，“?”表示“至少存在一個(gè)”。根據(jù)前述反映論，推理規(guī)則對(duì)應(yīng)邏輯推論。

?xA(x)╞ ┑?x┑A(chǔ)(x)

再根據(jù)哥德爾完備性定理，則有謂詞邏輯形式定理

?xA(x)┣ ┑?x┑A(chǔ)(x)

與之相對(duì)應(yīng)。

完備性定理說明演繹推理在數(shù)理邏輯中必有形式定理與之相對(duì)應(yīng)。但存在符合演繹推理傳統(tǒng)表述(一)、(三)的推理無數(shù)理邏輯的形式定理與之相對(duì)應(yīng)(這在數(shù)學(xué)證明與非數(shù)學(xué)論證中都存在)。因此，演繹推理傳統(tǒng)表述與數(shù)理邏輯的完備性定理不一致，這說明演繹推理傳統(tǒng)表述存在問題，需要修改、澄清，而且這個(gè)工作本應(yīng)在1930年G?del完備性定理及1936年塔爾斯基的邏輯推論定義發(fā)表之后就應(yīng)該做。但數(shù)學(xué)與非數(shù)學(xué)卻仍然沿用傳統(tǒng)表述。沒有修改、澄清的原因很多，例如認(rèn)為可靠性定理及完備性定理只是對(duì)數(shù)理邏輯系統(tǒng)本身的評(píng)價(jià)問題；形式邏輯中列舉的各種常用演繹推理都是一致的，即在數(shù)理邏輯中都有形式定理與之相對(duì)應(yīng)，可能認(rèn)為傳統(tǒng)表述已符合完備性定理的要求；又如數(shù)學(xué)發(fā)展并未因沿用傳統(tǒng)表述而發(fā)生困難；況且演繹推理的傳統(tǒng)表述歷史悠久，已為人們所習(xí)慣等。但沒有修改、澄清的真正原因是忽視了那些不易引起注意的簡(jiǎn)單的與完備性定理不一致而又符合傳統(tǒng)表述的推理，或者是只把這類推理僅僅看作一般的簡(jiǎn)單自明的論述不把它們看作推理。但按推理定義，它們確是推理。

完備性定理是在數(shù)理邏輯中用形式推理研究非形式的演繹推理得到的最重要的結(jié)論，演繹推理是應(yīng)該遵守的。

3. 非數(shù)學(xué)推理舉例

例1 柯希第一定理 設(shè)函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a、b]內(nèi)定義著并且連續(xù)的，又在這區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得異號(hào)的數(shù)值。則在a與b之間必能求出一點(diǎn)c，在這點(diǎn)處函數(shù)等于零：

f(c)=0,(alt;clt;b)。(摘編自[2])

茲將定理證明改寫如下，說明演繹推理及非演繹推理。為了確定起見，設(shè)f(a)lt;0,f(b)gt;0。

命題序列Ⅰ對(duì)應(yīng)命題成立原因1．用中點(diǎn)m=(a+b)/2將區(qū)間[a，b]分成相等的兩半。1．從略2．f(m)與0有僅有下列三種情況之一：f(m)=0，f(m)lt;0，f(m)gt;0。2．根據(jù)實(shí)數(shù)性質(zhì)，這是演繹推理結(jié)論，其對(duì)應(yīng)的推理規(guī)則是：由A蘊(yùn)含B及A推出B。3．設(shè)f(m)=0，則定理已證明。3．m是定理中要求的c，由命題2，僅用了不相容選言命題，便推出結(jié)論。推理不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，這是非演繹推理。4．設(shè)f(m)≠0，f(m)與0有且僅有下列兩種情況之一：f(m)lt;0，f(m)gt;05．下列兩種情況有且僅有一種成立：f(a)lt;0，f(m)gt;0；f(m)lt;0，f(b)gt;0。4．根據(jù)命題2及假設(shè)，推得結(jié)論。此推理是互不相容選言推理，對(duì)應(yīng)推理規(guī)則：設(shè)A或B，非A；則B。這是演繹推理。5．根據(jù)命題4及假設(shè)：f(a)lt;0，f(b)gt;0推得此結(jié)論。這是非演繹推理的結(jié)論。5．下列兩種情況有且僅有一種成立：f(a)lt;0，f(m)gt;0；f(m)lt;0，f(b)gt;0。5．根據(jù)命題4及假設(shè)：f(a)lt;0，f(b)gt;0推得此結(jié)論。這是非演繹推理的結(jié)論。6．m-a=(b-a)/2，b-m=(b-a)/2。6．根據(jù)等量代替原則：設(shè)a=b，則f(a)=f(b)。這是演繹推理的結(jié)論。7．存在閉區(qū)間[a1，b1]，且f(a1)lt;0，f(b1)gt;0，其中a≦a1，b1≦b；且b1-a1=(b-a)/2。7．由命題5的互不相容選言命題，必然存在[a1，b1]，并且f(a1)lt;0，f(b1)gt;0。推理不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，這是非演繹推理的結(jié)論。最后等式推導(dǎo)同6，從略。

在命題序列I中，有一點(diǎn)值得注意，即數(shù)學(xué)方法需要用推理來實(shí)現(xiàn)。此處的二等分區(qū)間法就是由演繹推理及非演繹推理實(shí)現(xiàn)的。命題序列1、2、4、5、7(等式b1- a1=(b-a)/2除外)是一個(gè)推理，它的前提是1,2,4,5；結(jié)論是命題7(等式b1- a1=(b-a)/2除外)，而且最后的結(jié)論是非演繹推理的結(jié)論。這樣由若干個(gè)簡(jiǎn)單的演繹推理與非演繹推理構(gòu)成的推理可稱作整體思維的非演繹推理。它在非數(shù)學(xué)領(lǐng)域也是常用的。

命題序列Ⅱ?qū)?yīng)命題成立原因1．存在閉區(qū)間[a1，b1]，其中f(a1)lt;0，f(b1)gt;0；a≦a1，b1≦b；b1-a1=(b-a)/2。1．由命題序列I得到。2．存在閉區(qū)間[a2，b2]，其中f(a2)lt;0，f(b2)gt;0；a1≦a2，b2≦b1；b2-a2=(b-a)/2?！璶．存在閉區(qū)間[an，bn]，其中f(an)lt;0，f(bn)gt;0；an-1≦an，bn≦bn-1；bn-an=(b-a)/2n?！Y(jié)論命題：存在內(nèi)含閉區(qū)間[a1，b1]，[a2，b2]…[an，bn]…其中后一個(gè)閉區(qū)間包含在前一個(gè)之內(nèi)，f(an)lt;0，f(bn)gt;0，并且有bn-an=(b-a)/2n→0。2．對(duì)[a1，b1]進(jìn)行二等分區(qū)間法，當(dāng)f(m1)≠0，m1=(a1+b1)/2……n．對(duì)[an-1，bn-1]進(jìn)行二等分區(qū)間法，當(dāng)f(mn-1)≠0，mn-1=(an-1+bn-1))/2……綜合以上無窮個(gè)命題得到的結(jié)

結(jié)論命題由命題序列II中前提的無窮個(gè)命題的內(nèi)容之間的密切聯(lián)系經(jīng)分析直接得到。由前提得到結(jié)論不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，因而這個(gè)前提都真結(jié)論必真的推理不是演繹推理，而是非演繹推理。命題序列II的結(jié)論命題為區(qū)間套定理提供了條件，因此，可證得結(jié)論；在區(qū)間[a,b]內(nèi)存在著一點(diǎn)c，滿足lim an=lim bn=c。以下討論從略。

例2 波萊爾預(yù)備定理 若閉區(qū)間[a,b]被一個(gè)開區(qū)間的無窮系Σ={σ}所遮蓋，則恒能從Σ里面選出有窮系Σ’={σ1,σ2, ……σn}，它同樣能遮蓋閉區(qū)間[a,b]。(摘編自[2])

證明：我們先考察區(qū)間[a,b]內(nèi)具有那種性質(zhì)的點(diǎn)x*，使得區(qū)間[a,x*]能用有窮個(gè)開區(qū)間σ來遮蓋。根據(jù)條件，點(diǎn)a位于某一個(gè)開區(qū)間σ內(nèi)，則σ∩[a,b]中的點(diǎn)就都含在這σ內(nèi)，因此，就都成為點(diǎn)x*≤b，于是就得到一個(gè)真命題A：點(diǎn)集{x*}是囿于上的，由此便聯(lián)想到已知的上確界定理，從而找到了演繹推理的前提。根據(jù)前提：上確界定理(即“設(shè)A則B”)及A，就可推得結(jié)論B：“sup{x*}=c≤b”。顯然，到此為止定理并未證明完畢，所以對(duì)結(jié)論B還要接著分析，還需證明“c也屬于點(diǎn)x*之列”，并且還要證明b=c，定理完畢。后兩步證明如下。

(1)證明“c也屬于點(diǎn)x*之列”。

命題序列Ⅱ?qū)?yīng)命題成立原因1．c位于某一σ。之內(nèi)。1．c∈[a，b]，并根據(jù)定理的條件，這是演繹推理的結(jié)論。2．在c之左且在σ0之內(nèi)有x?存在。2．sup{x?}=c，并根據(jù)上確界的性質(zhì)，是演繹推理的結(jié)論。3．在Σ中存在有窮個(gè)開區(qū)間σ1，σ2……σn遮蓋[a，x?]。3．根據(jù)x?的定義，是演繹推理的結(jié)論。4．此有窮個(gè)σ1，σ2……σn，σ0遮蓋[a，c]。4．x?及c均在σ0之內(nèi)，[x?，c]被σ0遮蓋，結(jié)論是由前提中命題的內(nèi)容相互聯(lián)系經(jīng)分析得到。

根據(jù)x*的定義，由命題4因此c屬于x*之列。這是演繹推理的結(jié)果。命題4是根據(jù)x*的定義進(jìn)行這個(gè)演繹推理的前提。

這個(gè)命題序列所表達(dá)的推理是根據(jù)命題1,2,3的內(nèi)容之間的聯(lián)系進(jìn)行分析得到命題4，由前提得到結(jié)論不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，因此，命題序列所表達(dá)的推理不是演繹推理，而是非演繹推理。此非演繹推理的結(jié)論即命題4是為下一步演繹推理提供前提。

既然由前提為真推得的結(jié)論必真，為什么推理不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則呢？原因如下：命題序列(一)中的命題1,2,3,4都是原子命題(即命題內(nèi)不含邏輯聯(lián)接詞。原子命題也稱作簡(jiǎn)單命題)，分別以命題符號(hào)A、B、C、D表之，于是由命題1,2,3推出命題4可看作由A，B，C推出D。現(xiàn)將A，B，C，D看作命題變?cè)?，?dāng)前提A，B，C都真，由于D不在前中出現(xiàn)，D不受A，B，C約束，D可真可假。按推理規(guī)則概念，前件A，B，C與后件D構(gòu)不成推理規(guī)則。進(jìn)一步言之，若以A，B，C與邏輯聯(lián)接詞組成任何命題A1，A2，…，An構(gòu)成前件，當(dāng)前件為真，由于前述同樣理由，也不能推出D必真。因此，可以斷定由命題1,2,3推出結(jié)論命題4不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，所以由命題序列 (一)表達(dá)的推理不是演繹推理而是非演繹推理。

一般言之，將前提為真結(jié)論必真的特定推理符號(hào)化，如果或?qū)τ騍={t，f}，或?qū)€(gè)體域S的某一集合，存在一特定賦值，使符號(hào)化后的前件為真，后件為假；根據(jù)推理規(guī)則概念，前、后件構(gòu)不成推理規(guī)則，則該特定推理不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，從而確定該特定推理不是演繹推理，而是非演繹推理。

關(guān)于非演繹推理應(yīng)注意兩點(diǎn)：第一，推導(dǎo)過程(即命題序列及其成立的原因)不能有遺漏或省略，推導(dǎo)必須是完整、嚴(yán)格的。否則，能把原本是演繹推理變成“非演繹推理”；第二，不能根據(jù)已得到的推理，編造一個(gè)不是已知的定理或定義，作為所得到的推理的“大前提”。以免將原本是非演繹推理變成“演繹推理”。以上是就最常用的推理規(guī)則：如果“設(shè)A則B真及A真，則B真”而言的。

(2)證明b=c

命題序列對(duì)應(yīng)命題成立原因已知sup{x?}=c≤b。設(shè)b≠c，1．clt;b2．c位于某一σ0之內(nèi)3．在c之右且在σ0∩[a，b]之內(nèi)取一點(diǎn)x4．存在有窮個(gè)開區(qū)間σ1，σ2……，σn 遮蓋[a，c]。5．此有窮個(gè)開區(qū)間σ1，σ2……，σn，σ0便遮蓋[a，x]。1．因c≤b，又設(shè)b≠c。這是互不相容選言推理的結(jié)論，即演繹推理的結(jié)論。2．c∈[a，b]，根據(jù)定理的條件，是演繹推理的結(jié)論。3．σ0∩[a，b]不空。4．由(一)，已知c屬于x?之列，根據(jù)x?定義，這是演繹推理的結(jié)論。5．c與x均在σ0之內(nèi)。

這個(gè)命題序列所表達(dá)的推理是根據(jù)命題1,2,3,4的內(nèi)容之間的聯(lián)系進(jìn)行分析得到結(jié)論命題5，由前提得到結(jié)論不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，因此由命題序列所表達(dá)的推理不是演繹推理，而是非演繹推理。根據(jù)x*的定義，由命題5，所以x也屬于x*之列，這是演繹推理的結(jié)論。命題5是這個(gè)演繹推理的前提。由于xgt;c，根據(jù)上確界的定義，c不能是點(diǎn)集{x*}的上確界，從而產(chǎn)生矛盾。因此，開始的假設(shè)b≠c不成立，因此，b=c。

例3 有頂點(diǎn)連接圖如下

已知：命題1、2、3、4

1.頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)2有一條實(shí)線連接。

2.虛線表示兩頂點(diǎn)之間不能有實(shí)線連接。

3.上排頂點(diǎn)與下排頂點(diǎn)之間有且只有一條實(shí)線連接。

4.按頂點(diǎn)ABC順序用實(shí)線連接。

5.根據(jù)已知條件命題1.2.3.4必然推出頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)3有實(shí)線連接。

6.根據(jù)命題1.3.5必然推出頂點(diǎn)C與頂1有實(shí)線連接。

由命題1.2.3.4必然推出命題5(即由圖1推出圖2)，這一步推理由前提到結(jié)論不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，因此，這是非演繹推理。由命題1.3.5必然推出命題6(即由圖2推出圖3)同樣是非演繹推理。因此，由條件命題1.2.3.4用非演繹推理推出上排、下排頂點(diǎn)之間的最大匹配實(shí)線連接圖，這是一個(gè)極簡(jiǎn)單的圖論問題，屬于“二分圖的匹配”。(本問題摘編自圖論教材。A，B，C表示三個(gè)球隊(duì)，1,2,3表示競(jìng)賽名次。)

圖1

圖2

圖3

以上3例是從數(shù)學(xué)推理中揭示出的非演繹推理(即結(jié)論必真的非演繹推理)；其實(shí)，它在非數(shù)學(xué)領(lǐng)域也是常見的，下面舉出兩例。

例1 小心誤診

下面的命題序列是根據(jù)媒體報(bào)導(dǎo)稿編寫的。

命題序列

1.某地每年有1.2萬人死于醫(yī)生誤診及醫(yī)療事故。

2.該地每年有150人死于槍擊事件。

3.該地人死于醫(yī)生誤診及醫(yī)療事故的危險(xiǎn)高于槍擊事件的危險(xiǎn)。

這是一個(gè)推理。如果統(tǒng)計(jì)無誤，命題1、2、是真命題。由命題1、2的內(nèi)容對(duì)比分析，很自然地得出命題3為真的這個(gè)結(jié)論。由前提一次推出結(jié)論并且具有“簡(jiǎn)單、直觀、自明”的特點(diǎn)。前提中不包含、推導(dǎo)過程不根據(jù)任何定理、定義、公式、定律、原理、原則等，因此，這個(gè)推理不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，因此，它是非演繹推理?？蓱?yīng)用例2中說明推理不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則方法進(jìn)行驗(yàn)證。

例2 科學(xué)技術(shù)問題

本例內(nèi)容是摘自論文《科技是第一生產(chǎn)力和新產(chǎn)業(yè)革命》，作者為錢學(xué)敏等五人，原載于1991年12月28日《科技日?qǐng)?bào)》。

現(xiàn)摘錄一段論文原文如下，其中(1)，(2)，(3)，(4)是本文作者加進(jìn)的。

…“(1)認(rèn)識(shí)客觀世界的革命，是科學(xué)革命。(2)科學(xué)革命是技術(shù)革命的先導(dǎo)。(3)科學(xué)革命，技術(shù)革命，最終要引起生產(chǎn)力革命，并進(jìn)而導(dǎo)致產(chǎn)業(yè)革命。(4)所以在今天，科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力?！?/p>

這一段論述是一個(gè)推理，準(zhǔn)確地說，這是一個(gè)非演繹推理，茲說明如下。(1)，(2)是真命題，以(1)，(2)為前提必然得到結(jié)論(3)，這是一個(gè)非演繹推理。以(3)為前提必然得到結(jié)論(4)，這同樣是一個(gè)非演繹推理；而且這是得到最后結(jié)論的非演繹推理，所以，以(1)，(2)，(3)為前提，以(4)為結(jié)論的推理是整體思維的非演繹推理。

4.非演繹推理的概念及推理形式

1.根據(jù)本文第3節(jié)的例證，總結(jié)出結(jié)論必真的非演繹推理概念如下:

(1)由若干個(gè)真命題為前提，由其內(nèi)容之間的密切聯(lián)系與相互關(guān)聯(lián)進(jìn)行分析，必推出一個(gè)真命題作為結(jié)論。

(2)推理不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則。

2.推理形式：非演繹推理概念中的(1)可具體化為下列兩種推理形式。

(1)基本推理形式

基本推理形式是最簡(jiǎn)單的非演繹推理，它由一個(gè)或幾個(gè)真命題作為前提，必然一次直接推出一個(gè)真命題作為結(jié)論。一般言之，此類推理具有簡(jiǎn)單、直接、自明的特點(diǎn)。

根據(jù)上節(jié)提供的例證，基本推理形式有下列幾種：

1)設(shè)A則B形式，例如非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的例2中由(3)推出(4)。

2)由兩個(gè)或兩個(gè)以上的若干個(gè)真命題必然一次推出一個(gè)真命題作為結(jié)論形式。例如第3節(jié)中的例2，由(一)的命題序列中命題1，2，3推出命題4。

3)由任意大的n個(gè)真命題必然一次推出真命題作為結(jié)論命題形式。例如第3節(jié)例1中的命題序列II。

(2)整體思維的非演繹推理形式

參見第3節(jié)例 1中的命題序列I下面的說明。

(3)非演繹推理的判斷方法

按演繹推理的新定義，如果一個(gè)前提為真結(jié)論必真的特定推理不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，則此特定推理是非演繹推理，至于為何不對(duì)應(yīng)推理規(guī)則，可參閱第3節(jié)例2的(一)之下的論述。

5．結(jié)束語 現(xiàn)在把常用的推理表列如下：

一般的常用推理

注：根據(jù)演繹推理的新定義及完全歸納法的結(jié)論必真，完全歸納法應(yīng)屬于結(jié)論必真的非演繹推理。

顯然，傳統(tǒng)表述的演繹推理被分為新定義的演繹推理與結(jié)論必真的非演繹推理。為什么要分？根據(jù)就是數(shù)理邏輯中的完備性定理；不僅如此，這兩類推理從前提推出結(jié)論的方法也不同。茲說明如下：結(jié)論必真的非演繹推理由前提推出結(jié)論是根據(jù)前提中真命題的內(nèi)容之間密切聯(lián)系經(jīng)分析推出結(jié)論；而且前提常是由一個(gè)或幾個(gè)真命題開始推出新的真命題作為前提，如此遞增，推出結(jié)論，例如第3節(jié)中的例2。新定義的演繹推理是由前提推出結(jié)論；如果前提真，則結(jié)論必真。其中推導(dǎo)是根據(jù)前提中各種命題如“選言命題”,“假言命題”等的邏輯性，以及形式邏輯中的三個(gè)定律。因此，傳統(tǒng)表述的演繹推理本身存在問題；它既包含非形式推理又包含形式推理。

引論中的演繹推理的傳統(tǒng)表述(2)不能表達(dá)演繹推理的一般概念，它只是相當(dāng)于“假言推理”的肯定前件式的推理形式。

總結(jié)以上論述，本文提出了三個(gè)基本觀點(diǎn)：一是符合數(shù)理邏輯的完備性定理的演繹推理新定義；二是存在一類新的一般的常用推理，即“結(jié)論必真的非演繹推理”；三是在數(shù)學(xué)證明中不僅僅是演繹推理，另外還有結(jié)論必真的非演繹推理。

[1] 胡世華，陸鐘萬數(shù)理邏輯基礎(chǔ)[M]. 北京 科學(xué)出版社，1982.

[2] Г.M菲赫金哥爾茨. 微積分教程：第一卷. [M]. 北京 人民出版社，1995.

[3] 中國大百科全書：哲學(xué)卷[Z]. 北京.上海 中國大百科全出版社，1987.

[4] 張景中.數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].北京：中國少年兒童出版社，2003.

[5] 黃華新，王繼同.新邏輯學(xué)[M]. 浙江大學(xué)出版社，1989.

[6] 楊樹森.普通邏輯學(xué)[M].安徽師范大學(xué)出版社，2001.

Exactexpressionofdeductiveinferenceandanothernon-deductiveinference

TANG Guang-lin

(China university of mining amp; technology, Beijing 100083,China)

In the mathematical inference, there still exists a new inference except the deductive inference, that is to say, the mathematical inference is not only the deductive inference, but also a new inference discovered in mathematics that is added into logic. Also, this study clarifies the tranditional expression of the deductive inference, and defines an exact expression.

Deductive inference; Non-deductive inference; Inference rule; Logical deduction

O143

A

1009-105X(2013)03-0020-06

2013-02-20

2013-05-13

湯光霖(1922-)，男，中國礦業(yè)大學(xué)(北京)數(shù)學(xué)系教授。