蘇順文

【摘要】隨著時(shí)代的發(fā)展，教改的推進(jìn)，家長(zhǎng)對(duì)學(xué)生的期望值越來越高，這就要求我們教師在教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，必須要教會(huì)學(xué)生解題的方法.事實(shí)證明，學(xué)生學(xué)會(huì)一套有效的數(shù)學(xué)解題方法將會(huì)終身受益.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)，解題思想，解題方法，探討交流

所謂的數(shù)學(xué)解題思想方法，指的是運(yùn)用一定的技巧，在已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，通過大量的解題練習(xí)，從中得出解題規(guī)律，并最終歸納總結(jié)形成一種模式，這種模式適用于整個(gè)同類型題目的解法.下面分析的是中考中幾種最常用的解題思想，分享給同人們.

一、整體的數(shù)學(xué)思想

整體思想是指我們應(yīng)該把注意力和著眼點(diǎn)都放在數(shù)學(xué)問題的整體上，通過縱觀整個(gè)題目，研究問題的形式和結(jié)構(gòu)，進(jìn)而做出整體性的分析、處理，最終達(dá)到順利解題的目的.

例1 （2017·北京）如圖1所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，作半徑為單位長(zhǎng)度1的圓，則圖中陰影部分的面積之和為多少？

分析 仔細(xì)觀察題中條件后可以知道，n個(gè)扇形的圓心角恰好是n邊形的n個(gè)外角，其和等于360°，于是，利用整體思想可以將這一問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)半徑為1的圓的面積，從而得出陰影部分的面積之和為π.

二、化歸的數(shù)學(xué)思想

化歸的數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)是一種由陌生向熟悉轉(zhuǎn)化、由未知向已知轉(zhuǎn)化、由非基本問題向基本問題轉(zhuǎn)化的解題策略.[1]

例2 （2016·廣西）判斷下列各數(shù)3555 ，4444，5333的大小關(guān)系.

分析 本題要直接計(jì)算每個(gè)數(shù)，顯然是非常龐大的，可是如果將它們化歸為異底數(shù)同次冪的結(jié)構(gòu)形式，再比較底數(shù)的大小，那么就可以順利地解決問題.

解 3555=（35）111=243111，4444=（44）111=256111，5333=（53）111=125111，125<243<256，

所以5333<3555< 4444.

三、分類的數(shù)學(xué)思想

分類討論在解決數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常出現(xiàn)，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想.在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類的時(shí)候，我們要找的是一種解題思維方法，尋找它的目的是克服思維的片面性，防止遺漏.[2]

例3 （2017·山西）已知在一個(gè)直徑為50 cm的圓中，弦AB的長(zhǎng)為40 cm， 弦CD的長(zhǎng)為48 cm，而且AB∥CD，求AB，CD間的距離.

分析 在本題中，由于圓具有對(duì)稱性，因此兩條弦的位置會(huì)出現(xiàn)兩種情況，這一點(diǎn)學(xué)生在做題的時(shí)候往往會(huì)忽略，一般只會(huì)考慮 圖2這一種情況.

解 過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，直線OE交直線CD于點(diǎn)F，

∵AB∥ CD，∴OF⊥CD，

連接OA，OC.

第一種情況：如圖2，當(dāng)AB和CD位于點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，AB與CD之間的距離為：

OA2-AE2-OC2-CF2=252-202-252-242=8（cm）.

第二種情況：如圖3，當(dāng)AB和CD位于點(diǎn)O的異側(cè)時(shí)，

AB與CD間的距離為：

OA2-AE2+OC2-CF2=252-202+252-242=22（cm）.

所以AB與CD間的距離為8 cm或22 cm.

四、方程的思想

數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的.初中最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系，其次是不等量關(guān)系，而最常見的等量關(guān)系就是方程.比如等速運(yùn)動(dòng)中，路程、速度和時(shí)間三者之間就有一種等量關(guān)系，可以建立一個(gè)相關(guān)等式：速度×?xí)r間=路程，在這樣的等式中，一般會(huì)有已知量，也有未知量，像這樣含有未知量的等式就是方程，而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程.學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)接觸過簡(jiǎn)易方程，而七年級(jí)則是比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解一元一次方程，并總結(jié)出解一元一次方程的五個(gè)步驟.學(xué)生如果學(xué)會(huì)并掌握了這五個(gè)步驟，那么就能夠順利地解出任何一個(gè)一元一次方程.八年級(jí)、九年級(jí)學(xué)生還將學(xué)習(xí)解一元二次方程、二元一次方程組、簡(jiǎn)單的三角方程;到了高中，還將學(xué)習(xí)指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、線性方程組、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等.解這些方程的思維幾乎是一致的，都是通過一定的方法將它們轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用我們熟悉的解一元一次方程的五個(gè)步驟或者一元二次方程的求根公式加以解決.物理中的能量守恒，化學(xué)中的化學(xué)平衡式，以及現(xiàn)實(shí)中的大量實(shí)際應(yīng)用都需要建立方程，通過解方程來解決問題.因此，學(xué)生一定要將解一元一次方程和解一元二次方程的方法學(xué)好，這樣才能學(xué)好其他形式的方程.

所謂的方程思想就是對(duì)于數(shù)學(xué)問題，特別是現(xiàn)實(shí)中碰到的未知量和已知量的錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，善于用方程的觀點(diǎn)去構(gòu)建有關(guān)的方程，進(jìn)而用解方程的方法去解決問題.

五、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

大千世界，“數(shù)”與“形”無處不在.任何事物，去除它的質(zhì)的方面，就只剩下形狀和大小這兩個(gè)屬性需要數(shù)學(xué)去研究了.初中數(shù)學(xué)有兩個(gè)分支——代數(shù)和幾何，代數(shù)是研究“數(shù)”的，幾何是研究“形”的.但是，研究代數(shù)要借助“形”，研究幾何要借助“數(shù)”，“數(shù)形結(jié)合”是一種趨勢(shì)，越往下學(xué)，“數(shù)”與“形”就越密不可分.到了高中，就出現(xiàn)了專門用代數(shù)方法去研究幾何問題的一門課，叫作“解析幾何”.在九年級(jí)，建立平面直角坐標(biāo)系后，研究函數(shù)的問題就離不開圖像了.借助圖像往往能使問題明朗化，比較容易找到問題的關(guān)鍵所在，從而解決問題.在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生重視“數(shù)形結(jié)合”的思維訓(xùn)練，任何一道題，只要與“形”能沾得上一點(diǎn)邊，就應(yīng)該根據(jù)題意畫出草圖來分析一番，這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強(qiáng)，容易找出解決問題的切入點(diǎn)，對(duì)解題大有益處.這樣學(xué)生就會(huì)養(yǎng)成一種“數(shù)形結(jié)合”的思維習(xí)慣.

數(shù)形結(jié)合思想在初中階段就開始學(xué)習(xí)并運(yùn)用，在高中乃至大學(xué)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是非常實(shí)用的一種數(shù)學(xué)方法，具體指的是將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究，最終解決問題的一種方法.[3]

例4 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（4，0），（4，3），動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)，并以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于點(diǎn)P，連接NP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.[3]

（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)（用含x的式子表示）;

（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值;

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△NPC是一個(gè)等腰三角形？簡(jiǎn)要說明理由.

解 （1）由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為x，3-3[]4x.

（2）由（1）知△NPC的高為3[]4x，則

S=12（4-x）×34x=38（-x2+4x）=-38（x-2）2+32，

∴S的最大值為3[]2，此時(shí)x=2.

（3）如圖5，延長(zhǎng)MP交CB于點(diǎn)Q，則有PQ⊥BC.

①若NP=CP，

∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x，

∴3x=4，

∴x=43.

②若CP=CN，

∵CN=4-x，PQ=3[]4x，CP=CQ2+PQ2=x2+3[]4x2=5[]4x，

∴4-x=54x，∴x=169.

③若CN=NP，

∵CN=4-x，CQ=x，∴NQ=4-2x.

又PQ=34x，

在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，

∴（4-x）2=（4-2x）2+34x2，∴x=12857.

綜上，x=4[]3或x=16[]9或x=128[]57.

總之，我們?cè)诰唧w解題時(shí)，一定要認(rèn)真審題，緊緊抓住題目中的所有條件，不要忽略了任何一個(gè)條件.一道題和一類題之間有一定的共性，可以想想這一類題的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住這一道題的特殊性，以及這一道題與這一類題不同的地方.數(shù)學(xué)的題目幾乎沒有相同的，總有一個(gè)或幾個(gè)條件不盡相同，因此思路和解題過程也不盡相同.有些學(xué)生對(duì)于老師講過的題會(huì)做，其他的題就不會(huì)做，只會(huì)依樣畫瓢，題目稍有些小的變化就無從下手.其實(shí)，我們做題時(shí)可以選擇一個(gè)或幾個(gè)條件作為解題的突破口，看由這個(gè)條件能得出什么結(jié)論，得出的結(jié)論越多越好，然后從中選擇與其他條件有關(guān)的，或與題目中的隱含條件有關(guān)的結(jié)論進(jìn)行推理或演算.一般難題都有多種解法，我們要相信利用這道題的條件，加上自己學(xué)過的知識(shí)，一定能推出正確的結(jié)論.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]羅小偉.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].南寧：廣西民族出版社，2000.

[3]齊鳳華.開展中學(xué)數(shù)學(xué)小組合作，努力提高課堂效率[J].新課程學(xué)習(xí)（中），2014（12）：78.