丘燁 張亮

【摘要】學(xué)生接受數(shù)學(xué)定義中的前提假設(shè)的困難，是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的問題，幫助學(xué)生解決接受假設(shè)上的認(rèn)知困難也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).本文就高中部分?jǐn)?shù)學(xué)定義，利用數(shù)學(xué)史和問題驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)課堂引入部分.

【關(guān)鍵詞】接受假設(shè);數(shù)學(xué)史;問題驅(qū)動(dòng)

一、緒?論

2015年何小亞和張敏在貝特朗悖論之爭的終結(jié)上提出：學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何概率時(shí)肯定了假設(shè)前提的重要性，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何概型忽略了假設(shè)前提，會(huì)給后面的解題帶來困惑.高中的知識(shí)內(nèi)容不僅僅體現(xiàn)在概率統(tǒng)計(jì)方面，還會(huì)在函數(shù)、代數(shù)等問題上有所體現(xiàn).在數(shù)學(xué)歸納法問題上的假設(shè)條件如何用才能使得學(xué)生更容易接受，在數(shù)學(xué)建模過程中如何合理簡化模型假設(shè)，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.孫朝霞在函數(shù)問題上，從三角函數(shù)的兩個(gè)“假設(shè)”的角度談數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，這是基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)解決學(xué)生對這種前提假設(shè)的理解困難問題.類似這樣的基于解決學(xué)生在課堂上的困惑而進(jìn)行的教學(xué)方法的探討有很多，這些論文都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是提到的數(shù)學(xué)概念或原理中涉及了假設(shè)，而這些假設(shè)會(huì)引起學(xué)生的困惑.本文以此展開對這些問題的探討并給出自己覺得可行的策略.

二、借助數(shù)學(xué)歷史和文化滲透數(shù)學(xué)定義

數(shù)學(xué)的很多定義不是突然凌空出現(xiàn)的，而是通過數(shù)學(xué)的本質(zhì)，或者是數(shù)學(xué)的應(yīng)用背景，或是在數(shù)學(xué)文化傳播的過程中翻譯形成的.可以通過數(shù)學(xué)定義發(fā)展的歷史的視角，簡化該歷史的坎坷進(jìn)程，去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及里，抓住數(shù)學(xué)定義的重要元素并向?qū)W生呈現(xiàn).

（一）高中函數(shù)的定義

高中函數(shù)的定義是高度抽象概括的，這是學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難表現(xiàn)出來的其中一方面.函數(shù)定義的發(fā)展是曲折的，不斷完善的.對于英文的fuction和中文的函數(shù)，在翻譯的過程中，一個(gè)凸顯函數(shù)功能，一個(gè)凸顯函數(shù)本質(zhì).在我國，函數(shù)的概念是由清朝的數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯并傳播的.在古文中“函”是信件的意思，函數(shù)就是A，B兩個(gè)地域的“數(shù)”在相互通信的過程，兩個(gè)地域的人構(gòu)成的集合分別稱為定義域和值域.那么這個(gè)寄信的過程，必須有寄信人（定義域的值）和寄信的方式（對應(yīng)法則），才能成功地寄信，并且這個(gè)收信人是唯一的（值域中有唯一的值與其對應(yīng)）.這樣，就可以把函數(shù)的三要素和一對一，多對一的原則講得比較風(fēng)趣，也贊揚(yáng)了我國數(shù)學(xué)家的翻譯功底，減少學(xué)生的抵觸心理.

（二）任意角的定義

在高中人教版教材中，用擰螺絲的情境引入任意角的定義，這種引入的有效性是有待商榷的.在三角函數(shù)應(yīng)用的歷史中，一開始是用于航海學(xué)和天文學(xué)的，方便觀察日月的變化與季節(jié)的關(guān)系、與方位的關(guān)系，方便航海時(shí)定位及時(shí)間的記錄.但是這些相關(guān)知識(shí)，如果較真地深入研究，又是煩瑣和復(fù)雜的，這就需要簡化為比較原始的知識(shí).那么地球繞太陽運(yùn)動(dòng)可以近視看成圓周運(yùn)動(dòng)，360天對應(yīng)360°，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°是30天后，那么順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°就是30天前，記作-30°也很自然.那390°如何解釋？學(xué)生可以進(jìn)行探究.

這些場景不僅可以解決任意角的問題，也給隨后的象限角和終邊相同的角賦予了具體背景.這讓學(xué)生不會(huì)有太大的抵觸心理，方便學(xué)生接受任意角這一定義的假設(shè).

（三）虛數(shù)單位i的幾何意義

在學(xué)生接受“i2=1”之后，i的幾何意義又是什么？數(shù)與坐標(biāo)軸是如何一一對應(yīng)的？數(shù)的運(yùn)算在幾何中又是如何表示的？在高中教學(xué)應(yīng)該給出一個(gè)總結(jié)了.

虛數(shù)和復(fù)數(shù)的發(fā)展是從數(shù)學(xué)解方程的內(nèi)部矛盾開始的，物理上的應(yīng)用促進(jìn)其發(fā)展.復(fù)數(shù)的形式與向量一樣，具有方向性及幾何意義，但一下子涉及了物理的知識(shí)，會(huì)將數(shù)學(xué)問題復(fù)雜地融入物理問題中，所以還是需要將物理情境簡單化，最好聯(lián)系學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).結(jié)合學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置以下問題進(jìn)行驅(qū)動(dòng)教學(xué).

問題1：數(shù)在初中可以表示為數(shù)軸上的點(diǎn)，數(shù)的大小對應(yīng)線段的長度.對應(yīng)數(shù)的加法是線段的疊加，數(shù)的乘法是線段的伸縮.但是由于負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，讓數(shù)有了正負(fù)號(hào)，對應(yīng)線段也有了正反方向，這種正反方向表現(xiàn)為線段繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，例如，2×（-1）=-2.那么如何理解1×（-1）×（-1）=1？表示1旋轉(zhuǎn)了兩次180°，回到了1的位置.

問題2：那么“i×i=-1”應(yīng)該如何找到i的位置？經(jīng)過前面的鋪墊，學(xué)生很自然地想到1的位置旋轉(zhuǎn)90°成為i.

問題3：那如何表示-i？由此建立直角坐標(biāo)系就可以表示有關(guān)i及i的倍數(shù)的數(shù).利用平移還可以進(jìn)一步解決復(fù)數(shù)的表示形式問題.

（四）單調(diào)性的定義

單調(diào)性中的“令x1x2，還有為什么要這樣“令”等問題，這讓學(xué)生不解.對于這個(gè)問題我們可以借助情境分類討論，得出同增異減的結(jié)論.

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.我們在用一次函數(shù)圖像引入上升和下降趨勢中，按照從左往右的方向看和從右往左的方向看的趨勢是不一樣的，但是本質(zhì)是一樣的.例如，y=x的圖像，從左往右的方向看是上升的趨勢（類似上山），從右往左的方向看是下降的趨勢（類似下山），由此設(shè)置以下問題驅(qū)動(dòng).

問題1：如何來刻畫這樣的一種圖像所反映出來的特征呢？以此引出水平方向的變化量和豎直方向的變化量.

問題2：從左往右的方向看，x和y分別如何變化？

問題3：從右往左的方向看，x和y又分別如何變化呢，本質(zhì)上是一樣的嗎？這個(gè)問題的設(shè)置凸顯了單調(diào)性定義的方向性.

問題4：單調(diào)遞減區(qū)間該如何定義？

數(shù)學(xué)的定義有一個(gè)漫長的演變過程，并非所有的概念都可以還原真實(shí)的歷史，需要教師通過合情的推理，模擬其產(chǎn)生和發(fā)展的過程.